萬(wàn)華平，張梓楠，葛薈斌，羅堯治

(浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江，杭州 310058)

結(jié)構(gòu)參數(shù)不可避免存在不確定性，引起結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的因素很多，比如加工容差、裝配磨損、環(huán)境侵蝕、參數(shù)自身固有的隨機(jī)性。參數(shù)不確定性必然導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有不確定性，準(zhǔn)確量化結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不確定性大小有利于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與決策[1-3]。蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation，MCS)[4]是常用的不確定性量化方法，需要對(duì)不確定性參數(shù)進(jìn)行大量采樣，然后進(jìn)行相應(yīng)的有限元模型計(jì)算，再對(duì)模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。MCS方法具有適用范圍廣、穩(wěn)定性好、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但大量次數(shù)的有限元模型分析會(huì)導(dǎo)致計(jì)算成本很高，難以應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的不確定性量化。為克服MCS法計(jì)算效率低的不足，代理模型方法采用數(shù)學(xué)模型近似代替結(jié)構(gòu)物理模型，后續(xù)不確定性量化無(wú)需原始物理模型，大大降低了計(jì)算成本。用于不確定性量化的代理模型包括響應(yīng)面[5]、Chebyshev 多項(xiàng)式[6]、多項(xiàng)式混沌展開(kāi)[7]、高斯過(guò)程模型(又稱克里金模型)[8]等。其中，高斯過(guò)程模型(Gaussian processmodel,GPM)是一種非參數(shù)概率模型，可量化預(yù)測(cè)不確定性，且不受特定函數(shù)形式的限制，模擬復(fù)雜模型能力強(qiáng)。近年來(lái)，WAN 等[9- 10]提出了基于GPM的不確定性量化方法，將均值和方差的復(fù)雜高維積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單一維積分問(wèn)題，得到了統(tǒng)計(jì)矩的解析結(jié)果。

GPM的建立涉及訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練樣本精度越高，建立的模型越準(zhǔn)確。高精度樣本數(shù)據(jù)的獲取需要建立復(fù)雜的有限元模型，這在一定程度上也會(huì)增加計(jì)算成本，導(dǎo)致采用高精度樣本建模效率較低。針對(duì)此問(wèn)題，出現(xiàn)了多精度高斯過(guò)程模型，較常見(jiàn)的是協(xié)同高斯過(guò)程模型(co-Gaussian processmodel,co-GPM)[11-13]。co-GPM 使 用 較 多的低精度樣本和較少的高精度樣本進(jìn)行建模，采用少量高精度樣本就可達(dá)到滿意的建模精度。co-GPM 克服了低精度樣本建模精度低和高精度樣本計(jì)算成本高的問(wèn)題，在保證較高預(yù)測(cè)精度的同時(shí)進(jìn)一步節(jié)約了計(jì)算成本。co-GPM由于不考慮低精度模型的預(yù)測(cè)值誤差，需要滿足樣本嵌套的條件，即高精度樣本必須是低精度樣本的子集，不適用于樣本非嵌套情況。

本文提出采用廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型(generalized co-GPM,GC-GPM)，同時(shí)適用于嵌套樣本和非嵌套樣本。通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立過(guò)程分別建立低精度高斯過(guò)程模型和差值高斯過(guò)程模型，二者組合構(gòu)成GC-GPM。在GC-GPM 框架里計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值和方差，將高維積分問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化為一維積分問(wèn)題，并推導(dǎo)出解析表達(dá)式。三個(gè)空間結(jié)構(gòu)算例用來(lái)驗(yàn)證GC-GPM方法的有效性，結(jié)果表明：與傳統(tǒng)GPM方法相比，本文方法具有高精度和高效率的優(yōu)勢(shì)。

1 廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型

1.1 高斯過(guò)程模型

GPM完全由其均值函數(shù)m(x)和平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)C(x,x′)決定[14]，它可定量地給出預(yù)測(cè)值的均值和方差，量化了預(yù)測(cè)值的不確定性。高斯過(guò)程模型表達(dá)如下：

式中：均值函數(shù)m(x)通常采用常數(shù)形式，比如均值函數(shù)為μ[9-10]；平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)C(x,x′)表示如下：

式中：η2為協(xié)方差函數(shù)變化尺度；lk為協(xié)方差函數(shù)的變化速率；xk為第k個(gè)參數(shù)；d為參數(shù)的維度；協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)Θ ={l1,l2,···,lk,···,ld,η2}通常稱為超參數(shù)。

假設(shè)有n個(gè)觀測(cè)值的樣本點(diǎn)集D =(X,Y)，其中，X=[xT1,xT2,···,xTn]T，Y=[y1,y2,···,yn]T，上標(biāo)T 為矩陣轉(zhuǎn)置。根據(jù)高斯過(guò)程假設(shè)，模型輸出服從高斯(正態(tài))分布：

中，e為元素全為1的n維列向量；

1.2 廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型

GC-GPM的基本思想：基于較多低精度樣本集建立一個(gè)低精度高斯過(guò)程模型，用于擬合輸入輸出關(guān)系的整體趨勢(shì)；基于較少高精度樣本集建立一個(gè)差值高斯過(guò)程模型，用于修正先前建立的低精度高斯過(guò)程模型。

假設(shè)分別有n1、n2個(gè)觀測(cè)值的的訓(xùn)練樣本集分別表示低精度的輸入值和觀測(cè)值；分別表示高精度的輸入值和觀測(cè)值，n1＞n2。預(yù)測(cè)值可由一個(gè)低精度預(yù)測(cè)值和一個(gè)高斯誤差線性組合表示：

式中：y1(x)為 低精度的高斯過(guò)程預(yù)測(cè)值；y2(x)為高精度的高斯過(guò)程預(yù)測(cè)值；δ2(x)為高斯過(guò)程誤差； ⊥為相互獨(dú)立； ρ1為一個(gè)比例系數(shù)。

采用低精度訓(xùn)練樣本集 D1建立高斯過(guò)程模型，如下所示：

其中：

考慮預(yù)測(cè)值誤差，預(yù)測(cè)均值與真實(shí)值之間的關(guān)系可表示為：

式中，ε1(x)為模型預(yù)測(cè)值誤差，對(duì)于兩個(gè)不同的輸入值， ε1(x)是 相互獨(dú)立的，即對(duì)任何x≠x′，有Cov(ε(x),ε(x′))=0。

由高斯過(guò)程模型的性質(zhì)可得：

聯(lián)立式(9)和式(13)，可將y2(x) 與 ρ1y1(x)的差值δ2(x)表示為：

δ2(x)服從高斯分布：

將y2(x)-ρ1y?1(x)記 為 δ′2，建立高斯過(guò)程模型：

其中：

因此，高精度模型預(yù)測(cè)均值為：

預(yù)測(cè)方差為：

將式(11)和式(12)分別代入式(20)和式(21)，得到y(tǒng)2(x)的預(yù)測(cè)均值y?2和 方差vy2：

廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型的兩個(gè)超參數(shù)Θ1={l1,1,l1,2,···,l1,k,···,l1,d,} 、Θ2={ρ1,l2,1,l2,2,···,l2,k,···,l2,d,}可通過(guò)最大化邊緣似然函數(shù)求得，即最小化負(fù)對(duì)數(shù)邊緣似然函數(shù)、：

2 基于GC-GPM的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的解析計(jì)算

2.1 均值和方差的解析表達(dá)式推導(dǎo)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理，均值和方差的表達(dá)式為：

利用協(xié)方差函數(shù)的分離特性，式(22)和式(23)可以寫(xiě)成：

將式(28)和式(29)代入式(26)和式(27)中，得：

2.2 一維積分計(jì)算

由式(30)和式(31)可知，基于廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型，響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的高維積分轉(zhuǎn)化為了一維積分和。一維積分可統(tǒng)一地表達(dá)為：

當(dāng)參數(shù)為正態(tài)分布或均勻分布時(shí)，一維積分有解析結(jié)果[9- 10]：

式中：x～Nx(ξ,θ2)為 參數(shù)x服從均值為ξ、方差為θ2的正態(tài)分布；x～U(x,xˉ)為參數(shù)x服從上下限分別為、x的均勻分布；

當(dāng)參數(shù)xi服從其他分布時(shí)，可根據(jù)概率相等的原則將其轉(zhuǎn)化為服從正態(tài)分布或均勻分布的參數(shù)ui，采用上式解析結(jié)果。不同概率分布轉(zhuǎn)化表達(dá)式如下：

3 方法驗(yàn)證

3.1 算例1：球面網(wǎng)殼

凱威特型單層網(wǎng)殼(圖1)用來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性，該網(wǎng)殼跨度為10m，矢高2.0m，周邊支承，整個(gè)網(wǎng)殼均由截面為φ80-2.0的鋼管組成。采用ANSYS軟件建立該網(wǎng)殼的有限元模型，桿件采用BEAM 188梁?jiǎn)卧M，分別建立高、低精度有限元模型。高精度有限元模型將每根梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐?個(gè)單元，共624個(gè)單元；低精度有限元模型將每個(gè)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐?個(gè)單元，共156 個(gè)單元。高、低精度有限元模型及其前五階振動(dòng)模態(tài)如圖2所示。

圖1 凱威特網(wǎng)殼/m Fig.1 Kew itte single-layer spherical latticed shell

圖2 凱威特網(wǎng)殼高低精度有限元模型及前五階模態(tài)Fig.2 High and low-fidelity finite element model and the first-five-order modesof single-layer spherical latticed shell

假定鋼管半徑、鋼材密度和彈性模量為不確定性參數(shù)(見(jiàn)表1)，網(wǎng)殼的前5階固有頻率為分析對(duì)象，計(jì)算不確定參數(shù)下網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)固有頻率的統(tǒng)計(jì)矩(均值和方差)。GC-GPM 和co-GPM均用來(lái)結(jié)構(gòu)固有頻率的統(tǒng)計(jì)矩計(jì)算，均采用15個(gè)高精度樣本和40個(gè)低精度樣本。同時(shí)MCS法(104個(gè)高精度樣本)用來(lái)近似固有頻率的統(tǒng)計(jì)矩真值。GCGPM 法、co-GPM法和MCS法的計(jì)算結(jié)果列于表2。由表2可知，GC-GPM法與MCS法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，均值的最大誤差僅為0.0099%，方差的最大誤差僅為0.6251%，表明GC-GPM法用于不確定性量化計(jì)算精度高。在非嵌套樣本情況下，GC-GPM法的計(jì)算精度明顯高于co-GPM 法的計(jì)算精度。GC-GPM方法在嵌套和非嵌套樣情況下計(jì)算精度均非常高，表明其適用于嵌套和非嵌套樣本兩種情況。

表1 不確定性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征(算例1)Table1 Statistical characteristics of the uncertain parameters(Example 1)

為進(jìn)一步驗(yàn)證GC-GPM法的優(yōu)勢(shì)，將其與傳統(tǒng)GPM 法對(duì)比。分別采用20個(gè)、30個(gè)、40個(gè)、50個(gè)高精度樣本點(diǎn)建立GPM，并計(jì)算該網(wǎng)殼前5階固有頻率的均值和方差，同時(shí)與MCS法對(duì)比，計(jì)算結(jié)果列于表3。由表2、表3可知，要達(dá)到15個(gè)高精度樣本點(diǎn)的GC-GPM法的計(jì)算精度，傳統(tǒng)GPM法需要40個(gè)高精度樣本點(diǎn)，獲取高精度樣本的計(jì)算成本相對(duì)較高。以上分析表明，GCGPM 法具有高精度高效率的優(yōu)勢(shì)。

表2 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例1)Table2 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 1)

表3 GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例1)Table 3 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 1)

3.2 算例2：折板式網(wǎng)殼

采用如圖3所示的折板式網(wǎng)殼進(jìn)一步驗(yàn)證所提解析方法的有效性。該折板式網(wǎng)殼為混凝土薄殼，跨度為24m，矢高為6m，長(zhǎng)度為32m。在ANSYS中建立該折板式網(wǎng)殼的有限元模型，屋面板殼采用SHELL63殼單元模擬，其他構(gòu)件均采用BEAM 188梁?jiǎn)卧M，分別建立高、低精度有限元模型。在高精度有限元模型中，對(duì)密肋板做了模擬，將每個(gè)殼單元?jiǎng)澐?6個(gè)單元，共有2636個(gè)單元；低精度有限元模型采用加厚的等效板模擬密肋板，共有308個(gè)單元。高、低精度有限元模型及其一階屈曲模態(tài)如圖4所示。

圖3 折板式網(wǎng)殼/m Fig.3 Folded plate latticed shell

圖4 折板式網(wǎng)殼高低精度有限元模型及一階屈曲模態(tài)Fig.4 High and low-fidelity finite element model and the first-order buckling mode of folded plate latticed shell

假定該折板網(wǎng)殼共有5個(gè)不確定性參數(shù)(見(jiàn)表4)，其一階屈曲荷載系數(shù)為分析對(duì)象。分別在嵌套樣本、非嵌套樣本條件下建立GC-GPM 和co-GPM，均采用32個(gè)高精度樣本和170個(gè)低精度樣本。MCS法(3 ×104個(gè)高精度樣本)計(jì)算結(jié)果作為真值近似值，GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法的計(jì)算結(jié)果如表5所示。對(duì)比結(jié)果再次表明GC-GPM法的計(jì)算結(jié)果與MCS法的計(jì)算結(jié)果吻合程度較高，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的GC-GPM法的計(jì)算精度較高。同樣地，采用不同數(shù)量的高精度樣本點(diǎn)建立GPM，并分別計(jì)算一階屈曲荷載系數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩，計(jì)算結(jié)果及相對(duì)誤差列于表6。由表5和表6可知，要達(dá)到32個(gè)高精度樣本點(diǎn)的GCGPM 法的計(jì)算精度，傳統(tǒng)GPM法則需要180個(gè)高精度樣本點(diǎn)，其計(jì)算時(shí)間是GC-GPM法的2.3倍。以上分析結(jié)果表明，本文的GC-GPM解析方法同時(shí)適用于嵌套樣本數(shù)據(jù)和非嵌套樣本數(shù)據(jù)，且具有高精度低成本的優(yōu)勢(shì)。

表4 不確定性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征(算例2)Table4 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 2)

表5 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例2)Table5 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 2)

表6 GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例2)Table 6 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 2)

3.3 算例3：板片式網(wǎng)殼

板片式短線程網(wǎng)殼(如圖5)用來(lái)驗(yàn)證本文所提方法的可靠性。網(wǎng)殼球半徑24m，頻數(shù)為3，桿均由截面為φ160-5.0的鋼管組成，鋼板厚度為20 mm。該結(jié)構(gòu)的有限元模型在ANSYS中建立，所有桿件采用BEAM 188梁?jiǎn)卧M，鋼板由SHELL63殼單元模擬，分別建立高、低精度有限元模型。高精度模型的殼單元?jiǎng)澐譃?8個(gè)單元，共2760個(gè)單元，低精度模型的殼單元?jiǎng)澐譃?2個(gè)單元，共840 個(gè)單元。假設(shè)該板片式短線程網(wǎng)殼承受100 N/m2的恒載和500 N/m2的活載，1.2倍恒載和1.4倍活載組合進(jìn)行靜力分析。高、低精度有限元模型及節(jié)點(diǎn)變形云圖如圖6所示。

圖5 板片式網(wǎng)殼/m Fig.5 Plate latticed shell

圖6 板片式網(wǎng)殼高低精度有限元模型及節(jié)點(diǎn)變形云圖Fig.6 High and low-fidelity finite element model and the node deformation contour plot of plate latticed shell

假定該板片式網(wǎng)殼共有4個(gè)不確定性參數(shù)(見(jiàn)表7)，分析對(duì)象為節(jié)點(diǎn)最大撓度。分別采用嵌套樣本數(shù)據(jù)和非嵌套樣本數(shù)據(jù)建立GC-GPM和co-GPM，均采用35個(gè)高精度樣本和100個(gè)低精度樣本。GC-GPM法、co-GPM 法與MCS法(3×104個(gè)高精度樣本)的計(jì)算結(jié)果如表8所示。對(duì)比結(jié)果表明GC-GPM法的計(jì)算結(jié)果與MCS法的計(jì)算結(jié)果吻合程度較高，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的GC-GPM法的計(jì)算精度高。與co-GPM 法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明GC-GPM 法同時(shí)適用于嵌套和非嵌套樣本，在兩種情況下均有較高可靠性。

表7 不確定性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征(算例3)Table7 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 3)

同樣地，采用不同數(shù)量的高精度樣本點(diǎn)建立GPM，計(jì)算節(jié)點(diǎn)最大撓度的統(tǒng)計(jì)矩，計(jì)算結(jié)果列于表9。由表8和表9可知，要達(dá)到35個(gè)高精度樣本點(diǎn)的GC-GPM法的計(jì)算精度，傳統(tǒng)GPM 法則需要120個(gè)高精度樣本點(diǎn)。以上分析結(jié)果表明，本文的GC-GPM解析方法具有高精度高效率的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)適用于嵌套和非嵌套樣本情況。

表8 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例3)Table 8 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 3)

表9 GPM 法和MCS法計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例3)Table 9 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 3)

4 結(jié)論

針對(duì)代理模型用來(lái)不確定性量化，存在高精度樣本計(jì)算成本高和低精度樣本建模精度低的問(wèn)題，本文提出了基于廣義協(xié)同高斯過(guò)程模型(GCGPM)的解析方法。GC-GPM 法克服了上述問(wèn)題，同時(shí)適用于嵌套樣本和非嵌套樣本情況。基于GC-GPM，響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的高維積分轉(zhuǎn)化為一維積分，并可解析計(jì)算出。三個(gè)空間結(jié)構(gòu)算例用來(lái)驗(yàn)證了GC-GPM方法的有效性，得到的主要結(jié)論：

(1)在非嵌套樣本情況下，GC-GPM法的計(jì)算精度高于co-GPM 法的計(jì)算精度，表明GC-GPM法均適用于嵌套和非嵌套樣本兩種情況。

(2)GC-GPM解析方法計(jì)算結(jié)果與MCS法計(jì)算結(jié)果高度吻合，均值最大誤差為0.0181%，方差最大誤差為1.6238%，表明GC-GPM解析方法計(jì)算精度高。

(3)與傳統(tǒng)的GPM法相比，GC-GPM法采用少量高精度樣本就達(dá)到良好的計(jì)算精度，而GPM法則需要3倍～5倍的高精度樣本，計(jì)算時(shí)間是GC-GPM法的1.5倍～2.4倍，表明GC-GPM法相對(duì)于傳統(tǒng)的GPM法具有高效率的優(yōu)勢(shì)。