孫亞燕
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”)指出,課程教學(xué)要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,并且把幾何直觀作為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。課標(biāo)指出,幾何直觀有助于把握問(wèn)題的本質(zhì),明晰思維的路徑。下面以“探索直線平行的條件”教學(xué)為例,談自己在教學(xué)中的一些實(shí)踐。
一、教材與學(xué)情分析
“探索直線平行的條件”是蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第7章“平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)”第一節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生在七年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單的平面圖形(線和角),初步研究了簡(jiǎn)單圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,嘗試進(jìn)行推理,初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有條理地表達(dá)。
本節(jié)課作為章起始課,既要喚醒學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的回憶,又要培養(yǎng)學(xué)生研究幾何問(wèn)題的方法和思維,為后續(xù)研究?jī)?nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角提供學(xué)習(xí)支持。本課通過(guò)幾何畫板提供動(dòng)態(tài)的圖形變換,引導(dǎo)學(xué)生理解圖形,挖掘概念內(nèi)涵,建立空間觀念,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀,從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。
二、教學(xué)目標(biāo)
依據(jù)課標(biāo),從單元設(shè)計(jì)視角出發(fā),確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo):
1.通過(guò)幾何畫板,借助幾何直觀,理解同位角的概念。
2.在復(fù)雜圖形中,正確識(shí)別同位角。
3.掌握基本事實(shí):兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。
4.經(jīng)歷探索直線平行的過(guò)程,發(fā)展空間觀念和幾何直觀,培養(yǎng)有條理表達(dá)的能力和推理能力。
其中,教學(xué)重點(diǎn)是正確識(shí)別同位角,掌握“同位角相等,兩直線平行”的判定方法;教學(xué)難點(diǎn)是培養(yǎng)有條理表達(dá)的能力和推理能力。
三、教學(xué)過(guò)程
(一)認(rèn)識(shí)一些角
師:同學(xué)們,上學(xué)期我們認(rèn)識(shí)了角。如圖1,角是由公共端點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形。
問(wèn)題1:這個(gè)公共端點(diǎn)O叫做角的? ?,這兩條射線OA、OB叫做角的? ?。
(設(shè)計(jì)意圖:從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手,低起點(diǎn),小步走,讓學(xué)生的思緒逐漸回歸數(shù)學(xué)課堂。)
師:本節(jié)課我們來(lái)認(rèn)識(shí)兩條相交線中的一些角的關(guān)系。
問(wèn)題2:如圖2,∠1和∠2有什么不同點(diǎn)?獨(dú)立思考后同伴交流。
生:(1)角的度數(shù)不同(數(shù)量關(guān)系);(2)角的頂點(diǎn)不同(位置關(guān)系)。
追問(wèn)1:∠1和∠2有什么相同點(diǎn)?學(xué)生獨(dú)立思考后同伴交流。
生:(1)頂點(diǎn)在同一直線上;(2)角的一條邊在同一直線上(“共線”)(要求學(xué)生用紅筆描出“共線”);(3)角在“共線”的右側(cè)(同一側(cè));(4)角在另一射線(邊)的下方(同一方)(要求學(xué)生用紅筆描出角的另一邊)。
歸納:
不同點(diǎn):數(shù)量關(guān)系不同、角的位置不同(不同頂點(diǎn))。
相同點(diǎn):兩個(gè)角的一條邊在同一條直線上,在“共線”的同一側(cè),在另一邊的同一方,即∠1和∠2都位于“右側(cè)下方”。
歸納同位角的概念:在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個(gè)角中,像∠1和∠2這樣的一對(duì)角稱為同位角。直線a、b是被截直線,c是截線,即“共線”??梢悦枋鰹椋骸?和∠2是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角。
(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)觀察、思考、交流,找到同位角的概念屬性,引導(dǎo)學(xué)生在觀察兩個(gè)對(duì)象時(shí)可以尋找兩者的異同點(diǎn),讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察問(wèn)題,清晰地分析問(wèn)題;引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,主動(dòng)表達(dá)自己的想法,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。)
師:在圖2中,你能找出其余的同位角嗎?
問(wèn)題3:請(qǐng)你找出圖中其余的同位角。并說(shuō)一說(shuō)你是如何找到的。
學(xué)生上黑板描述找到的同位角。教師用幾何畫板對(duì)應(yīng)顯示學(xué)生的答案。(如圖3)
歸納尋找同位角的方法:首先描出兩個(gè)角的兩邊,其次找到“共線”(確定截線),判斷在“共線”的同一側(cè),然后找到另兩條邊(確定被截直線),在另兩邊的同一方。教師引導(dǎo)學(xué)生描述成“∠3和∠4是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角”的句式。
追問(wèn):找出的這些同位角像什么字母?
生:像字母“F”。
(設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)栴}2中讓學(xué)生用紅筆描一描同位角的邊,問(wèn)題3中用多媒體突出顯示同位角,發(fā)現(xiàn)形如字母“F”,幫助學(xué)生從復(fù)雜圖形中簡(jiǎn)化、抽象圖形,從而增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。)
(二)復(fù)雜圖形中尋找同位角
師:在圖2“三線八角”中,我們找到了4組同位角。如果轉(zhuǎn)動(dòng)直線a,改變∠1的大小,∠1和∠2還是同位角嗎?其余的同位角關(guān)系還存在嗎?(見圖4)
歸納:
同位角與位置有關(guān),與大小無(wú)關(guān)。
(設(shè)計(jì)意圖:用幾何畫板轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題2中的直線a,讓學(xué)生感受角的大小發(fā)生改變,但是∠1和∠2仍是同位角關(guān)系。學(xué)生對(duì)“同位角相等,兩直線平行”這個(gè)基本事實(shí)印象非常深刻,往往形成“同位角即相等”的錯(cuò)誤觀念,通過(guò)圖形變換,讓學(xué)生直觀感受同位角只和位置有關(guān),與大小無(wú)關(guān)。)
師:轉(zhuǎn)動(dòng)圖2中的直線a,直線a和b交于點(diǎn)C,∠1和∠2是同位角嗎?(見圖5)
問(wèn)題:你能找出除∠2外,∠1的同位角嗎?
生:∠BCF。
追問(wèn):∠1和∠BCF是直線? 和直線? 被直線? 所截形成的同位角。
追問(wèn):你能找出除∠1外,∠2的同位角嗎?
(設(shè)計(jì)意圖:將圖形封閉起來(lái),尋找同位角是學(xué)生的難點(diǎn),要求學(xué)生理解同位角的概念,從同位角的兩個(gè)頂點(diǎn)在同一直線上不同位置這一特征入手,有條理地進(jìn)行思考。這里要慢節(jié)奏地引導(dǎo)學(xué)生思考、嘗試和解答,從而提升學(xué)生的識(shí)圖能力,增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。)
(三)探索同位角的數(shù)量關(guān)系和被截直線位置之間的聯(lián)系
師:繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)圖2中的直線a,∠1和∠2的大小發(fā)生改變,在變化過(guò)程中,直線a和b會(huì)平行嗎?
生:會(huì)平行。
問(wèn)題:當(dāng)∠1和∠2的大小滿足什么關(guān)系時(shí),直線a和直線b平行?
歸納:
實(shí)踐告訴我們一個(gè)基本事實(shí):兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)單說(shuō):同位角相等,兩直線平行。這是判斷兩直線平行的條件。
符號(hào)語(yǔ)言:因?yàn)椤?和∠2是同位角,且∠1=∠2,所以a∥b。理由:同位角相等,兩直線平行。
(設(shè)計(jì)意圖:利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地演示直線的旋轉(zhuǎn)過(guò)程,既吸引了學(xué)生的眼球,又引發(fā)學(xué)生不斷地觀察、思考、探索,引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,從被截直線一般的相交關(guān)系中發(fā)現(xiàn)特殊的位置關(guān)系,進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)特殊位置的決定因素是同位角的大小關(guān)系。)
練習(xí):我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)利用三角尺和直尺這樣畫平行線的依據(jù)是什么呢?(見圖6)
(設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生已在七年級(jí)上冊(cè)學(xué)會(huì)利用三角尺和直尺畫已知直線的平行線。通過(guò)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)來(lái)讓學(xué)生回顧熟悉的操作,既能讓學(xué)生感受知識(shí)的連貫性,又能引發(fā)學(xué)生思考,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來(lái)分析操作背后的原理,讓學(xué)生“知其然”并“知其所以然”。)
(四)課堂小結(jié)
仍以前面圖2為例,設(shè)計(jì)問(wèn)題。
問(wèn)題1:我們認(rèn)識(shí)了同位角,∠1和∠2是同位角,它們一定相等嗎?
問(wèn)題2:當(dāng)∠1和∠2滿足怎樣的關(guān)系時(shí),直線a和直線b平行?
問(wèn)題3:當(dāng)在圖中繼續(xù)標(biāo)上∠3、∠4(見圖7),它們和∠1又有怎樣的位置關(guān)系?對(duì)直線a和b的位置關(guān)系又會(huì)形成怎樣的影響呢?
(設(shè)計(jì)意圖:課堂小結(jié)是整節(jié)課的重要環(huán)節(jié),一是帶著學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)和技能,二是梳理研究問(wèn)題中的思想和方法,三是激發(fā)學(xué)生對(duì)下節(jié)課所學(xué)知識(shí)的興趣。)
四、教學(xué)反思
著名教育家波利亞說(shuō),一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。本節(jié)課在探索過(guò)程中,借助幾何畫板對(duì)同一背景進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換,讓學(xué)生在變化中深刻理解同位角的概念,并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)同位角滿足特殊的數(shù)量關(guān)系時(shí),可以找到兩直線特殊的位置關(guān)系,讓學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合的思想和從一般到特殊的研究方法。圖形的運(yùn)動(dòng)變換、同位角的描紅操作、例題的變式練習(xí)等都在潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀,讓學(xué)生形成一種思維方式、一種思維能力和一種思維品質(zhì)。
作為單元起始課,既要搭建知識(shí)架構(gòu)的框架,又要對(duì)后續(xù)研究?jī)?nèi)容和研究思路具有統(tǒng)領(lǐng)作用。探索直線平行的條件,要讓學(xué)生深刻感受角的大小變化影響了直線位置關(guān)系的變化。通過(guò)同位角相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生可以采用同樣的方式對(duì)內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角進(jìn)行知識(shí)遷移,從而感受知識(shí)和方法之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)而更好地發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
(作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué))
編輯:常超波