孫亞燕
《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“課標”)指出,課程教學要以核心素養(yǎng)為導向,并且把幾何直觀作為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。課標指出,幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑。下面以“探索直線平行的條件”教學為例,談自己在教學中的一些實踐。
一、教材與學情分析
“探索直線平行的條件”是蘇科版數(shù)學七年級下冊第7章“平面圖形的認識(二)”第一節(jié)的內(nèi)容。學生在七年級上冊認識了簡單的平面圖形(線和角),初步研究了簡單圖形的位置關系和數(shù)量關系,嘗試進行推理,初步學會用數(shù)學語言有條理地表達。
本節(jié)課作為章起始課,既要喚醒學生對所學知識的回憶,又要培養(yǎng)學生研究幾何問題的方法和思維,為后續(xù)研究內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角提供學習支持。本課通過幾何畫板提供動態(tài)的圖形變換,引導學生理解圖形,挖掘概念內(nèi)涵,建立空間觀念,培養(yǎng)學生幾何直觀,從而促進學生思維的發(fā)展。
二、教學目標
依據(jù)課標,從單元設計視角出發(fā),確定本節(jié)課的教學目標:
1.通過幾何畫板,借助幾何直觀,理解同位角的概念。
2.在復雜圖形中,正確識別同位角。
3.掌握基本事實:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。
4.經(jīng)歷探索直線平行的過程,發(fā)展空間觀念和幾何直觀,培養(yǎng)有條理表達的能力和推理能力。
其中,教學重點是正確識別同位角,掌握“同位角相等,兩直線平行”的判定方法;教學難點是培養(yǎng)有條理表達的能力和推理能力。
三、教學過程
(一)認識一些角
師:同學們,上學期我們認識了角。如圖1,角是由公共端點出發(fā)的兩條射線組成的圖形。
問題1:這個公共端點O叫做角的? ?,這兩條射線OA、OB叫做角的? ?。
(設計意圖:從學生熟悉的知識入手,低起點,小步走,讓學生的思緒逐漸回歸數(shù)學課堂。)
師:本節(jié)課我們來認識兩條相交線中的一些角的關系。
問題2:如圖2,∠1和∠2有什么不同點?獨立思考后同伴交流。
生:(1)角的度數(shù)不同(數(shù)量關系);(2)角的頂點不同(位置關系)。
追問1:∠1和∠2有什么相同點?學生獨立思考后同伴交流。
生:(1)頂點在同一直線上;(2)角的一條邊在同一直線上(“共線”)(要求學生用紅筆描出“共線”);(3)角在“共線”的右側(同一側);(4)角在另一射線(邊)的下方(同一方)(要求學生用紅筆描出角的另一邊)。
歸納:
不同點:數(shù)量關系不同、角的位置不同(不同頂點)。
相同點:兩個角的一條邊在同一條直線上,在“共線”的同一側,在另一邊的同一方,即∠1和∠2都位于“右側下方”。
歸納同位角的概念:在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個角中,像∠1和∠2這樣的一對角稱為同位角。直線a、b是被截直線,c是截線,即“共線”??梢悦枋鰹椋骸?和∠2是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角。
(設計意圖:通過觀察、思考、交流,找到同位角的概念屬性,引導學生在觀察兩個對象時可以尋找兩者的異同點,讓學生學會用數(shù)學眼光觀察問題,清晰地分析問題;引導學生經(jīng)歷知識的形成過程,主動表達自己的想法,從而激發(fā)學生的求知欲。)
師:在圖2中,你能找出其余的同位角嗎?
問題3:請你找出圖中其余的同位角。并說一說你是如何找到的。
學生上黑板描述找到的同位角。教師用幾何畫板對應顯示學生的答案。(如圖3)
歸納尋找同位角的方法:首先描出兩個角的兩邊,其次找到“共線”(確定截線),判斷在“共線”的同一側,然后找到另兩條邊(確定被截直線),在另兩邊的同一方。教師引導學生描述成“∠3和∠4是直線a和直線b被直線c所截形成的同位角”的句式。
追問:找出的這些同位角像什么字母?
生:像字母“F”。
(設計意圖:問題2中讓學生用紅筆描一描同位角的邊,問題3中用多媒體突出顯示同位角,發(fā)現(xiàn)形如字母“F”,幫助學生從復雜圖形中簡化、抽象圖形,從而增強學生的幾何直觀。)
(二)復雜圖形中尋找同位角
師:在圖2“三線八角”中,我們找到了4組同位角。如果轉(zhuǎn)動直線a,改變∠1的大小,∠1和∠2還是同位角嗎?其余的同位角關系還存在嗎?(見圖4)
歸納:
同位角與位置有關,與大小無關。
(設計意圖:用幾何畫板轉(zhuǎn)動問題2中的直線a,讓學生感受角的大小發(fā)生改變,但是∠1和∠2仍是同位角關系。學生對“同位角相等,兩直線平行”這個基本事實印象非常深刻,往往形成“同位角即相等”的錯誤觀念,通過圖形變換,讓學生直觀感受同位角只和位置有關,與大小無關。)
師:轉(zhuǎn)動圖2中的直線a,直線a和b交于點C,∠1和∠2是同位角嗎?(見圖5)
問題:你能找出除∠2外,∠1的同位角嗎?
生:∠BCF。
追問:∠1和∠BCF是直線? 和直線? 被直線? 所截形成的同位角。
追問:你能找出除∠1外,∠2的同位角嗎?
(設計意圖:將圖形封閉起來,尋找同位角是學生的難點,要求學生理解同位角的概念,從同位角的兩個頂點在同一直線上不同位置這一特征入手,有條理地進行思考。這里要慢節(jié)奏地引導學生思考、嘗試和解答,從而提升學生的識圖能力,增強學生的幾何直觀。)
(三)探索同位角的數(shù)量關系和被截直線位置之間的聯(lián)系
師:繼續(xù)轉(zhuǎn)動圖2中的直線a,∠1和∠2的大小發(fā)生改變,在變化過程中,直線a和b會平行嗎?
生:會平行。
問題:當∠1和∠2的大小滿足什么關系時,直線a和直線b平行?
歸納:
實踐告訴我們一個基本事實:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。簡單說:同位角相等,兩直線平行。這是判斷兩直線平行的條件。
符號語言:因為∠1和∠2是同位角,且∠1=∠2,所以a∥b。理由:同位角相等,兩直線平行。
(設計意圖:利用幾何畫板動態(tài)地演示直線的旋轉(zhuǎn)過程,既吸引了學生的眼球,又引發(fā)學生不斷地觀察、思考、探索,引導學生從運動變化過程中,從被截直線一般的相交關系中發(fā)現(xiàn)特殊的位置關系,進一步觀察發(fā)現(xiàn)特殊位置的決定因素是同位角的大小關系。)
練習:我們在七年級上冊利用三角尺和直尺這樣畫平行線的依據(jù)是什么呢?(見圖6)
(設計意圖:學生已在七年級上冊學會利用三角尺和直尺畫已知直線的平行線。通過本節(jié)課所學知識來讓學生回顧熟悉的操作,既能讓學生感受知識的連貫性,又能引發(fā)學生思考,學會運用數(shù)學思維來分析操作背后的原理,讓學生“知其然”并“知其所以然”。)
(四)課堂小結
仍以前面圖2為例,設計問題。
問題1:我們認識了同位角,∠1和∠2是同位角,它們一定相等嗎?
問題2:當∠1和∠2滿足怎樣的關系時,直線a和直線b平行?
問題3:當在圖中繼續(xù)標上∠3、∠4(見圖7),它們和∠1又有怎樣的位置關系?對直線a和b的位置關系又會形成怎樣的影響呢?
(設計意圖:課堂小結是整節(jié)課的重要環(huán)節(jié),一是帶著學生回顧本節(jié)課所學習的知識和技能,二是梳理研究問題中的思想和方法,三是激發(fā)學生對下節(jié)課所學知識的興趣。)
四、教學反思
著名教育家波利亞說,一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域。本節(jié)課在探索過程中,借助幾何畫板對同一背景進行旋轉(zhuǎn)變換,讓學生在變化中深刻理解同位角的概念,并且發(fā)現(xiàn)當同位角滿足特殊的數(shù)量關系時,可以找到兩直線特殊的位置關系,讓學生充分感受數(shù)形結合的思想和從一般到特殊的研究方法。圖形的運動變換、同位角的描紅操作、例題的變式練習等都在潛移默化地培養(yǎng)學生的幾何直觀,讓學生形成一種思維方式、一種思維能力和一種思維品質(zhì)。
作為單元起始課,既要搭建知識架構的框架,又要對后續(xù)研究內(nèi)容和研究思路具有統(tǒng)領作用。探索直線平行的條件,要讓學生深刻感受角的大小變化影響了直線位置關系的變化。通過同位角相關內(nèi)容的學習,學生可以采用同樣的方式對內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角進行知識遷移,從而感受知識和方法之間的關聯(lián),進而更好地發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。
(作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學)
編輯:常超波