唐軍強(qiáng)，艾英

用無(wú)窮矩陣方程求解第二類(lèi)Stirling數(shù)表示的自然數(shù)冪和

唐軍強(qiáng)，艾英

（焦作大學(xué) 基礎(chǔ)部，河南 焦作 454000）

討論了4個(gè)用第二類(lèi)Stirling數(shù)表示的自然數(shù)的冪和公式．利用升階乘和降階乘的定義式，得到關(guān)于各階冪和的遞推關(guān)系，用求解無(wú)窮矩陣方程的方法給出用第二類(lèi)Stirling數(shù)表示的冪和公式，并證明了它們之間的等價(jià)性．

無(wú)窮矩陣方程；自然數(shù)；冪和；第一類(lèi)Stirling數(shù)；第二類(lèi)Stirling數(shù)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

自然數(shù)的冪和是一個(gè)古老的問(wèn)題，很多數(shù)學(xué)家都對(duì)其做過(guò)研究．該問(wèn)題牽涉極廣，可以用Bernoulli數(shù)、第二類(lèi)Stirling數(shù)、第二類(lèi)Euler數(shù)等給出它的計(jì)算公式[1-2]．僅用第二類(lèi)Stirling數(shù)就可以給出4個(gè)形式上看起來(lái)不同的公式，這容易使人感到困惑．本文基于構(gòu)造無(wú)窮矩陣方程的方法，給出這些公式的推導(dǎo)過(guò)程，并討論它們之間的等價(jià)性．

它的逆過(guò)程是

第二類(lèi)Stirling數(shù)滿(mǎn)足運(yùn)算規(guī)則

證明 將各式

…

2 用第二類(lèi)Stirling數(shù)表示的冪和公式

證明推導(dǎo)式（7），采用第一類(lèi)Stirling數(shù)的升階乘定義式

式（8）可以由式（7）推導(dǎo)得出，利用式（5），得到

注式（8）（10）較常見(jiàn)于文獻(xiàn)[6-9]中，式（7）（9）是本文的結(jié)果，且由式（7）可以推得式（8），由式（9）可以推得式（10）．

３　結(jié)語(yǔ)

本文的方法具有普遍性．遞推關(guān)系通常是一種線性關(guān)系，而其復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程往往使人望而生畏，從矩陣方程的角度看待一些遞推關(guān)系式，通常會(huì)收獲意想不到的效果．由于矩陣具有全局性，遞推關(guān)系所滿(mǎn)足的線性特征都包含于矩陣當(dāng)中，因此可以通過(guò)求無(wú)窮矩陣的逆，從其逆矩陣的元素中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，進(jìn)而獲得所求對(duì)象的一種通用表達(dá)式．對(duì)于用Berboulli數(shù)形式表示的冪和公式，也可以進(jìn)行類(lèi)似的操作，只是所用的遞推關(guān)系式不同[10]．至于從逆矩陣中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，則是一個(gè)計(jì)算、類(lèi)比和歸納的過(guò)程，同時(shí)要對(duì)各類(lèi)常用的數(shù)學(xué)常數(shù)有敏感的認(rèn)知．

[1] 羅見(jiàn)今．李善蘭對(duì)Stirling數(shù)和Euler數(shù)的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論，1982，2（4）：173-182．

[2] 羅見(jiàn)今．自然數(shù)冪和公式的發(fā)展[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（4）：56-61．

[3] 王竹溪，郭敦仁．特殊函數(shù)論[M]．北京：科學(xué)出版社，1965：1-15．

[5] 莫里斯·克萊因（美）．古今數(shù)學(xué)思想：二[M]．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組，譯．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979：178-180．

[6] 鄧艷平，王云葵．等冪和與Stirling數(shù)的奇妙關(guān)系[J]．廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，15（4）：316-317．

[7] 尹志凌，張升，陳寶平．Stirling數(shù)表示自然數(shù)方冪和[J]．內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，31（1）：267-270．

[8] 王紅，楊雅琴，王艷輝．第一類(lèi)Stirling數(shù)和第二類(lèi)Stirling數(shù)的關(guān)系式[J]．高師理科學(xué)刊，2008，28（6）：37-39．

[9] 褚維盤(pán)，黨四善．聯(lián)系Bernoulli數(shù)和第二類(lèi)Stirling數(shù)的一個(gè)恒等式[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，20（3）：282-284．

[10] 楊勝良，喬占科．計(jì)算冪和多項(xiàng)式的矩陣方法[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（3）：90-95．

Power sum of natural numbers expressed by Stirling numbers of second kind by solving infinite matrix equation

TANG Junqiang，AI Ying

（Department of Basic Courses，Jiaozuo College，Jiaozuo 454000，China ）

Four power sum formulas of natural numbers expressed by Stirling numbers of second kind are discussed．By means of the definition of rising factorial and falling factorial，the recursive relation of the power sum of each order is obtained，and the formula of the power sum expressed by the Stirling numbers of second kind is given by means of solving the infinite matrix equation，and the equivalence between them is proved.

infinite matrix equation；natural number；power sum；Stirling numbers of first kind；Stirling numbers of second kind

1007-9831（2023）01-0020-04

O156

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.005

2022-05-28

河南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（222300420579）

唐軍強(qiáng)（1980-），男，河南開(kāi)封人，講師，碩士，從事解析數(shù)論研究．E-mail：tjq_1999@sina.com