劉海濤

(1.安徽省蕪湖市第一中學(xué) 2.新青年數(shù)學(xué)教師工作室)

縱觀近年來(lái)的高考題及各級(jí)各類模擬題,導(dǎo)數(shù)題大多作為壓軸題出現(xiàn),且?？汲Ｐ?使得學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)題望而生畏、望而卻步,甚至被動(dòng)放棄.筆者梳理高考卷和模擬卷中的導(dǎo)數(shù)題,發(fā)現(xiàn)對(duì)于大多數(shù)的導(dǎo)數(shù)題,若能借助圖像直觀分析題意,則可快速鎖定解題思路,順利解題.筆者首先基于圖像直觀視角給出一道?？碱}(母題)的分析與解答,再借助母題中的函數(shù)圖像,嘗試不同的構(gòu)造,為讀者展示四種常見導(dǎo)數(shù)題型的命制與解答.

1 母題的呈現(xiàn)與分析

母題已知f(x)＝xlnx,g(x)＝k(x－1).

(1)求f(x)的極值;

(2)若f(x)≥g(x)在[1,＋∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(2)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[1,＋∞)上,直線y＝k(x－1)不在函數(shù)f(x)圖像的上方,注意到兩函數(shù)圖像均過(guò)定點(diǎn)A(1,0),如圖1所示,實(shí)數(shù)k的臨界值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率.

圖1

設(shè)h(x)＝xlnx－k(x－1)(x≥1),求導(dǎo)得

h′(x)＝lnx＋1－k.

當(dāng)k≤1時(shí),h′(x)＝lnx＋1－k≥0,h(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,有h(x)≥h(1)＝0,符合題意.

當(dāng)k＞1時(shí),由h′(x)＝0,得x＝ek－1,知h(x)在(1,ek－1)上單調(diào)遞減,則h(x)＜h(1)＝0,不合題意.

綜上,k≤1.

2 圖像視角下的試題命制與分析

2.1 端點(diǎn)取等號(hào)的不等式問(wèn)題

有一類不等式恒成立問(wèn)題,其臨界情況(取等號(hào))為區(qū)間端點(diǎn),我們一般稱這類不等式為端點(diǎn)取等號(hào)的不等式.在2022年新高考Ⅱ卷,2020年全國(guó)Ⅰ卷(理科),2019年全國(guó)Ⅰ卷(文科)等試卷中均有考查.

如圖2-甲所示,構(gòu)造函數(shù),注意到當(dāng)時(shí),且f(x)≥h(x)在上恒成立.對(duì)于不等式f(x)≥,規(guī)定區(qū)間為,注意到為不等式的取等條件(此時(shí)無(wú)法求a的值).構(gòu)造函數(shù),假設(shè)φ(x)≥0恒成立,利用幾何畫板探究得其恒成立的條件,如圖2-乙所示.基于此,命制如下變式題.

圖2

變式1已知函數(shù)f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2.2 內(nèi)點(diǎn)取等號(hào)的不等式問(wèn)題

相對(duì)于端點(diǎn)取等號(hào)的不等式,有一類不等式的臨界情況(取等號(hào))為非區(qū)間端點(diǎn)(區(qū)間內(nèi)部),我們一般稱這類不等式為內(nèi)點(diǎn)取等號(hào)的不等式.其在2020年新高考Ⅰ卷,2018年全國(guó)Ⅰ卷(文科)等試卷中均有考查.

如圖3-甲所示,構(gòu)造函數(shù)h(x)＝aeex－e2x－,使得f(x)≤h(x)在(0,＋∞)上恒成立.如何求參數(shù)a的范圍呢? 關(guān)鍵在于找到取等點(diǎn)(記作x0).

圖3

這里,我們可以通過(guò)找兩曲線公切點(diǎn)的方法來(lái)完成,即通過(guò)方程組解得x0和a的臨界值,從而找到問(wèn)題的突破口.利用幾何畫板探究得其恒成立的條件(a≥1),如圖3-乙所示.基于此,命制如下變式題.

變式2已知函數(shù)f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程;

當(dāng)a≥1時(shí),有,欲證f(x)≤h(x),需證,即證.設(shè)lnx,求導(dǎo)得,由φ′(x)＝0,得,易得φ(x)在上單調(diào)遞減,在＋∞)上單調(diào)遞增,則得證.

綜上,a≥1.

2.3 雙變量不等式問(wèn)題

含有兩個(gè)變量的不等式問(wèn)題近年來(lái)已成為高考和各級(jí)各類模擬考的熱點(diǎn)題型,且?？汲Ｐ?在2021年新高考Ⅰ卷,2016年全國(guó)Ⅰ卷(理科)等試卷中均有考查.這類問(wèn)題主要考查形式有兩種:極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移.

1)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一極值點(diǎn),且滿足f(a)＝f(b)時(shí),若a＋b＝2x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)不偏移,常見的不偏移函數(shù)有一元二次函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等.若a＋b≠2x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)偏移,常見的有等由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù).圖4-甲中a＋b＞2x0,稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)向左偏移;圖4-乙中a＋b＜2x0,稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值點(diǎn)向右偏移.極值點(diǎn)偏移的根源在于圖像的非軸對(duì)稱性,由此可以考慮將極值點(diǎn)x0一側(cè)的a(或b)通過(guò)x0對(duì)稱,比較兩函數(shù)值f(2x0－a)和f(b)(或f(2x0－b)和f(a))的大小關(guān)系來(lái)完成對(duì)問(wèn)題的證明.由母題知函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性相反,且該函數(shù)為非軸對(duì)稱函數(shù),得函數(shù)f(x)發(fā)生極值點(diǎn)偏移現(xiàn)象,有,又注意到函數(shù)f(x)圖像的最左端為坐標(biāo)原點(diǎn)O(實(shí)質(zhì)上圖像并未過(guò)該點(diǎn)),且圖像與x軸交于點(diǎn)(1,0),有a＋b＜1.基于此,命制如下變式題.

圖4

變式3已知函數(shù)f(x)＝xlnx.

(1)求f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)＝f(b),求證.

如圖5所示,函數(shù)f(x)的最低點(diǎn)為與x軸交于點(diǎn)A(1,0),得割線l1:y＝－x,在點(diǎn)A處的切線為l2:y＝x－1.設(shè)f(a)＝f(b)＝m,則a,b是直線y＝m與函數(shù)f(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),設(shè)直線y＝m與割線l1、切線l2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a′,b′,解得a′＝－m,b′＝1＋m,易知a＜a′＜b＜b′,所以a＋b＜a′＋b′＝1.

圖5

2)拐點(diǎn)偏移問(wèn)題

當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一拐點(diǎn)x0,且滿足f(a)＋f(b)＝2f(x0)時(shí),若a＋b＝2x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)拐點(diǎn)不偏移,常見的不偏移函數(shù)有一元三次函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等.若a＋b≠2x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)拐點(diǎn)偏移,如圖6-甲所示,a＋b＞2x0,稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)拐點(diǎn)向左偏移.

圖6

如圖6-乙所示,a＋b＜2x0,稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)拐點(diǎn)向右偏移.拐點(diǎn)偏移的根源在于圖像的非中心對(duì)稱性,由此可考慮將極值點(diǎn)x0一側(cè)的a(或b)通過(guò)x0對(duì)稱,比較兩函數(shù)值f(2x0－a)和f(b)(或f(2x0－b)和f(a))的大小關(guān)系來(lái)完成對(duì)問(wèn)題的證明.如圖6-丙所示,構(gòu)造函數(shù)h(x)＝2xlnx－x2,注意到其拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－1),且屬于拐點(diǎn)左移的情況,故當(dāng)f(a)＋f(b)＝－2時(shí),有a＋b＞2.基于此,命制如下變式題.

變式4 已知函數(shù)f(x)＝xlnx.

(1)求函數(shù)g(x)＝f(x)－x2＋x的最值;

(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝2f(x)－x2,若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a,b滿足h(a)＋h(b)＝－2,求證:a＋b＞2.

(2)由題知h(x)＝2xlnx－x2,求導(dǎo)得h′(x)＝2(lnx－x＋1)＝2m(x),h″(x)＝2m′(x),由(1)知h′(x)≤0,h″(1)＝0,得h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,拐點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,－1).

不妨設(shè)0＜a＜1＜b,φ(x)＝h(2－x)＋h(x)＋2(0＜x＜1),求導(dǎo)得φ′(x)＝－h(huán)′(2－x)＋h′(x)＝2(m(x)－m(2－x)),又0＜x＜2－x＜1,且m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以φ′(x)＜0,則φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.又0＜a＜1,所以φ(a)＞φ(1)＝0,即h(2－a)＋h(a)＋2＞0,即h(2－a)＞h(b),又2－a＞1,且h(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,所以2－a＜b,即a＋b＞2.

3 小結(jié)

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微”,數(shù)與形有著密不可分的關(guān)系.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中,數(shù)形結(jié)合就顯得格外重要,借助圖形可以將復(fù)雜、抽象的代數(shù)式直觀化、簡(jiǎn)單化,利用代數(shù)式將圖形關(guān)系“翻譯”出來(lái),可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解析化、概括化.我們借助幾何圖形的直觀化,利用圖形分析和命制導(dǎo)數(shù)題,正是數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐嘗試.

(完)