文|林志輝 陳柯柯

一、課改過渡期面臨的學(xué)力尷尬

1.學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力不足

尺規(guī)作圖是指通過借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行有限次畫圖，可學(xué)生明明用刻度尺、量角器等測(cè)量工具就可以快速解決問題，利用尺規(guī)作圖反而增加了學(xué)習(xí)難度。

2.教學(xué)知識(shí)序紊亂

現(xiàn)在使用的教材編排和新課標(biāo)相關(guān)尺規(guī)作圖的知識(shí)內(nèi)容分布存在著出入。

面對(duì)課改期間的學(xué)力尷尬，該如何激活學(xué)生探索的興趣，還有哪些內(nèi)容可以加強(qiáng)探索？筆者通過本文嘗試提出破解課改過渡期間困境的學(xué)材，以供同行參考。

二、適配過渡期的學(xué)材探索

小學(xué)階段的尺規(guī)作圖有別于初中的尺規(guī)作圖，側(cè)重于加深學(xué)生對(duì)圖形特征的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和推理意識(shí)。在尺規(guī)作圖教學(xué)前，明確適配學(xué)生現(xiàn)行知識(shí)點(diǎn)編排順序的教學(xué)內(nèi)容是不可或缺的。為此筆者進(jìn)行了“小初”尺規(guī)作圖的共性內(nèi)容對(duì)比梳理，嘗試發(fā)掘更多的知識(shí)載體，通過系統(tǒng)的序列推進(jìn)，進(jìn)行適配過渡期的尺規(guī)作圖通盤設(shè)計(jì)。

1.共性“小初”知識(shí)羅列

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中安排了三個(gè)課例說明尺規(guī)作圖的教學(xué)建議，對(duì)照初中的尺規(guī)作圖的五個(gè)基本作圖，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)的例26 和例29通過作等長線段和通過作圖認(rèn)識(shí)三角形周長對(duì)應(yīng)著初中的“作一條線段等于已知線段”。例32 側(cè)重借由尺規(guī)作圖理解三邊關(guān)系，作一個(gè)相同的三角形對(duì)應(yīng)初中的“作一個(gè)角等于已知角”。如張丹教授團(tuán)隊(duì)的研討課中，學(xué)生在探究三邊關(guān)系中，經(jīng)歷探索嘗試到用尺規(guī)作已知三邊的三角形，既感悟了三邊關(guān)系又滲透了穩(wěn)定性，充分尊重了學(xué)生的認(rèn)知水平。

2.增性“尺規(guī)”內(nèi)容梳理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中尺規(guī)作圖看似內(nèi)容前移，實(shí)則是豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)感悟，正如核心素養(yǎng)的螺旋培養(yǎng)一樣，小學(xué)階段著重意識(shí)，初中階段著重觀念，而到了高中才是走向能力的培養(yǎng)。尺規(guī)作圖也一樣，筆者理解并不是單純的知識(shí)前移，而是在學(xué)有余力的前提下，讓學(xué)生進(jìn)一步理解圖形的特征，感悟數(shù)學(xué)的魅力，積累豐富的經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)階段除了提及的這三個(gè)課例，是否還有其他可以探索尺規(guī)作圖的知識(shí)載體呢？初中的另外三種基本作圖學(xué)生是否也可以嘗試呢？

（1）過渡增加：菱形

學(xué)生既然會(huì)尺規(guī)作三角形，那么尺規(guī)作四條邊都相等的四邊形（菱形）是否也可以嘗試？菱形雖然是初中的教學(xué)內(nèi)容，但小學(xué)生并不陌生，不揭示其本質(zhì)屬性僅以四邊形視之，菱形其實(shí)是很好的尺規(guī)作圖感悟素材。菱形隱含著四邊形可以分成兩個(gè)三角形的知識(shí)，學(xué)生用尺規(guī)作菱形可以分成兩個(gè)以AB 為底的等邊三角形（如圖1 左所示），學(xué)生還可以以線段AB 為腰，作兩個(gè)等腰三角形（如圖1 中所示），而這樣的點(diǎn)C和點(diǎn)D 可以有無數(shù)組，學(xué)生在畫的過程中感受四邊形的不穩(wěn)定性，進(jìn)一步對(duì)比加深對(duì)三角形穩(wěn)定性的感悟（如圖1 右所示）。

圖1 以線段AB 為底作菱形（左）以線段AB 為腰作菱形（中）感悟四邊形的不穩(wěn)定性（右）

（2）拓展增加：角平分線和垂線

有了畫菱形的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于第四個(gè)點(diǎn)的形成具備一定的作圖經(jīng)驗(yàn)和感悟，畫角平分線時(shí)自然而然遷移了畫法經(jīng)驗(yàn)，如圖2左所示，畫四條邊相等的四邊形，此時(shí)通過連接線段OC，說明三角形OCB 和三角形OAC 一樣大，所以∠BOC 和∠COA 是一樣大的。又可如圖2 右所示，不拘泥于四條邊都相等，作線段BC 等于線段AC，獲得兩個(gè)一般性的三角形OCB 和三角形OAC。但究其本質(zhì)學(xué)生都是在遷移尺規(guī)作圖兩個(gè)等腰三角形OAB 和三角形ACB。角平分線看似是初中的知識(shí)，但小學(xué)生借由小學(xué)階段的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)也是可以初步感悟的，這樣的感悟又豐厚了對(duì)四邊形和三角形的特征理解。

圖2 角平分線的尺規(guī)作圖（左）角平分線的尺規(guī)作圖（右）

眾所周知，尺規(guī)作圖的實(shí)際應(yīng)用中垂徑定理是被高頻使用的，但是小學(xué)生對(duì)于垂徑定理確實(shí)存在很大的難度，筆者思考是否可以基于角平分線的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生將直線看成平角，如圖3所示，作線的垂線。聚焦這樣的垂線作圖，學(xué)生也是用尺規(guī)作三角形的方法推進(jìn)，在方法經(jīng)驗(yàn)的遷移下，感悟垂直作圖的過程，拓寬學(xué)生的知識(shí)邊界，將知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)化的融通。

圖3 尺規(guī)作圖——垂線

三、基于實(shí)證性的通盤設(shè)計(jì)

基于可以嘗試拓展的尺規(guī)作圖內(nèi)容，聚焦學(xué)生的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，將尺規(guī)作圖的教學(xué)安排在六年級(jí)學(xué)習(xí)完《圓的認(rèn)識(shí)》單元之后，如表1所示。筆者串聯(lián)設(shè)計(jì)三課時(shí)，基于簡(jiǎn)單的學(xué)材，通過序列的螺旋推進(jìn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作圖，豐厚圖形認(rèn)識(shí)，通過描述、刻畫的互譯發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，在綜合運(yùn)用知識(shí)的情況下，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)理性思維的魅力，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

表1 尺規(guī)作圖課例表

三節(jié)課皆是圍繞著尺規(guī)作圖三角形，不增加學(xué)生的知識(shí)難度，串聯(lián)學(xué)生小學(xué)階段的圖形知識(shí)，如課時(shí)1 聚焦簡(jiǎn)單的兩條線段，通過畫線段的累加和等腰三角形，因?yàn)樗夭牡那擅钤O(shè)計(jì)（2a＜b），感悟只能以線段a 為底，感悟三角形的三邊關(guān)系，又在對(duì)比不同位置的擺放中感悟三角形的穩(wěn)定性。課時(shí)2 通過畫四條邊都相等的四邊形進(jìn)一步感悟三角形的特征，理解三角形的雙拼法和四邊形的不穩(wěn)定性。課時(shí)3 通過畫三等分圓、六等分圓和多等分圓進(jìn)一步融會(huì)貫通圖形特征的感悟。

尺規(guī)作圖在小學(xué)的引入是學(xué)生理解圖形特征很好的載體，但筆者建議要求不宜過高，不必進(jìn)行嚴(yán)格論述每一步的作圖方法，只要能清晰說明自己的方法，在感悟?yàn)槭裁纯梢赃@樣作背后的道理就可以。