文|戚彩紅 田小紅

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第八單元第一課時(shí)。

【課前思考】

《數(shù)與形》一課的教學(xué)，例題和練習(xí)中每道題的規(guī)律都不一樣，很容易上成找規(guī)律的課。小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想散落于各個(gè)年級(jí)之中。如：數(shù)量關(guān)系通過“數(shù)”來描述數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，畫圖分析數(shù)量關(guān)系就是“形”的表現(xiàn)形式；長(zhǎng)度、面積、體積是通過“形”來展現(xiàn)其直觀形式的，而計(jì)算公式又是通過“數(shù)”來呈現(xiàn)的；在“統(tǒng)計(jì)與概率”中，“數(shù)”與“形”更加清晰。受小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特點(diǎn)所限，思想方法常隱含在眾多的數(shù)學(xué)知識(shí)之中。《數(shù)與形》一課就是把這層窗戶紙捅破，讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和方法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一在于能夠建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。所以本課不應(yīng)停留在讓學(xué)生會(huì)用總結(jié)得出的規(guī)律解決問題，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，能用數(shù)學(xué)的思維解決問題。

為了解不同教材采用的不同圖形中哪種更能引發(fā)學(xué)生思考，筆者進(jìn)行了前測(cè)（見文末二維碼）。根據(jù)前測(cè)結(jié)果，我們改變教學(xué)素材，采用圓點(diǎn)圖，充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究能力。

【教學(xué)過程】

一、初步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合——數(shù)中有形，形中有數(shù)

動(dòng)態(tài)依次出示下圖

師：你看到了什么形狀？

生：圓點(diǎn)搭成了三角形。

師：你能計(jì)算出這里第六個(gè)圖形一共有多少小圓片嗎？說說你是怎么計(jì)算的。

生1：1+2+3+4+5+6=21。

生2：1+2+3+4+5+6=（1+6）×6÷2=21。

生3：1+2+3+4+5+6=（1+6）×3=21。

課件演示生2 和生3 的算理：

小結(jié)：從1 開始的連續(xù)自然數(shù)相加的和=（1+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，并且末項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)。

師：像1、3、6、10、15……用圓點(diǎn)表示這些數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)這些圓點(diǎn)都可以擺成等邊三角形。2500多年前的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，就發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)的特點(diǎn)，他稱這樣的數(shù)為“三角形數(shù)”。你還能繼續(xù)往下找三角形數(shù)嗎？你是怎么找到的？

生：三角形數(shù)就是從1 開始的連續(xù)自然數(shù)相加的和。

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，我們先看到了圖形，接著用算式表示了圓點(diǎn)的總數(shù)，然后又用圖形幫助我們找到了簡(jiǎn)便計(jì)算的方法。有數(shù)，也有形；數(shù)中有形、形中有數(shù)，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)《數(shù)與形》。

二、經(jīng)歷過程，感受數(shù)形互助——依數(shù)思形，依形思數(shù)

1.認(rèn)識(shí)正方形數(shù)，感受“以形助數(shù)”

教師出示課件，動(dòng)態(tài)演示三角形數(shù)，隱去偶數(shù)層：

師：你能算出現(xiàn)在這個(gè)圖形中小圓片的個(gè)數(shù)嗎？說說你是怎么算的。

生：1+3+5+7+9+11=36。

師：能不能像剛才那樣用圖形來說明計(jì)算的過程？請(qǐng)你擺一擺小圓片，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

師：生2 的方法中你能找到1+3+5+7+9+11 這個(gè)算式嗎？試著找找看。

師：觀察這個(gè)圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：擺成了邊長(zhǎng)是6 的正方形，1+3+5+7+9+11=6×6=36。

生：1+3+5+7+9=5×5=25，擺成了邊長(zhǎng)是5 的正方形，剛好是5個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

師：所以，像1、4、9、16、25、36……這樣的數(shù)，叫作正方形數(shù)。正方形數(shù)可以怎樣得到呢？

生：正方形數(shù)是從1 開始的連續(xù)奇數(shù)相加的和。

小結(jié)：從1 開始的連續(xù)奇數(shù)相加的和=奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

2.嘗試練習(xí)，加深理解

師：想一想，怎樣才能算得又對(duì)又快？

1+3+5+7+9+11+13+15=__________________=92

1+3+5+7+5+3+1=__________

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=______________

生：想到這個(gè)式子的圖形，計(jì)算就快了。

課件演示：

小結(jié)：圖形幫助我們解決了計(jì)算的問題。

3.探究方陣圖，感受“以數(shù)解形”

師：（出示6×6 的方陣圖）你能用哪些算式來計(jì)算這里一共有多少個(gè)圓點(diǎn)？想到幾種就寫幾種。

（學(xué)生獨(dú)立操作，交流反饋?zhàn)髌罚?/p>

師：同學(xué)們，回顧一下剛才我們的探究過程。在探究正方形數(shù)時(shí)，我們從一個(gè)算式想到相對(duì)應(yīng)的形，形幫助我們解決了數(shù)的計(jì)算問題；在探究6×6 方陣圖時(shí)，用算式來解決這個(gè)形的問題，我們發(fā)現(xiàn)可以有很多不同的算法，最終結(jié)果都是36 個(gè)?，F(xiàn)在你們覺得數(shù)和形之間有著怎樣的關(guān)系呢？

生：數(shù)和形關(guān)系密切，你中有我，我中有你，互相幫助。

小結(jié)：看到數(shù)，我們可以想象它對(duì)應(yīng)的形；看到形，我們可以想它對(duì)應(yīng)的數(shù)。數(shù)形結(jié)合，可以幫助我們解決問題。

三、深刻感悟數(shù)形內(nèi)涵——數(shù)形緊密聯(lián)系、不可分割

1.探究長(zhǎng)方形數(shù)，解決問題

師：研究了三角形數(shù)、正方形數(shù)，讓我們猜想一下，有沒有長(zhǎng)方形數(shù)？五邊形數(shù)、六邊形數(shù)……這樣的數(shù)呢？來看看剛才的作品，有沒有給你啟發(fā)的地方？

學(xué)生思考后，教師課件演示：

生：作品⑥和作品④去掉6，都可以轉(zhuǎn)化成2+4+6+8+10 這樣的從2 開始的連續(xù)偶數(shù)相加。

生：我發(fā)現(xiàn)圓點(diǎn)組成了長(zhǎng)和寬分別是5 和6 的長(zhǎng)方形。

師：你能在長(zhǎng)方形圓點(diǎn)圖中找到2+4+6+8+10 這個(gè)算式嗎？

生：這樣圖畫得更加清晰一些。

小結(jié)：（1）從2 開始的連續(xù)偶數(shù)相加的和是長(zhǎng)方形數(shù)。（2）從2開始的連續(xù)偶數(shù)相加的和=偶數(shù)的個(gè)數(shù)×（偶數(shù)的個(gè)數(shù)+1）。

2.梳理關(guān)系，深化理解

師：三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)之間有沒有關(guān)系？如果有，是怎樣的關(guān)系？要尋找它們之間的關(guān)系，我們把它們都擺在一起來找找看。

生1：兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)可以組成一個(gè)正方形數(shù)。

生2：兩個(gè)完全一樣的三角形數(shù)可以組成一個(gè)長(zhǎng)方形數(shù)。

根據(jù)學(xué)生的回答，出示課件：

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)信“萬物皆數(shù)”，他們還找到了最完美的數(shù)、完全數(shù)、親和數(shù)、勾股數(shù)等。有三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)，還有五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等，同學(xué)們可以在課后繼續(xù)研究。