楊順吉，李慶生，明志勇，馬啟鵬，羅啟飛

（1. 貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴陽 550025；2. 貴州電網(wǎng)有限責(zé)任公司電網(wǎng)規(guī)劃研究中心，貴陽 550002；3. 貴州電網(wǎng)有限責(zé)任公司銅仁供電局，貴州 銅仁 554300；4. 貴州電網(wǎng)有限責(zé)任公司安順市關(guān)嶺縣供電局，貴州 安順 561399）

0 引言

2021 年3 月，中央財(cái)經(jīng)委員會(huì)第九次會(huì)議會(huì)議明確表示踐行可再生能源替代行動(dòng)，深化電力體制改革，構(gòu)建以新能源為主的新型電力系統(tǒng)，為達(dá)雙碳目標(biāo)［1］，2030年我國新能源裝機(jī)容量占比將達(dá)到41%，發(fā)電量為22%，2060 年我國新能源裝機(jī)容量占比高達(dá)70%，同時(shí)發(fā)電量也將達(dá)到58%，這一系列舉措和數(shù)據(jù)表明，在未來的電源供給側(cè)中，新能源將占據(jù)主導(dǎo)地位。

新能源多以風(fēng)電、光伏為主，其通常以分布式電源的形式接入配電網(wǎng)［2］，雖然新能源具有清潔無污染的特點(diǎn)，但是風(fēng)電、光伏的間歇性將給配網(wǎng)帶來諸多不確定性，同時(shí)負(fù)荷的隨機(jī)性也會(huì)加劇配網(wǎng)的不確定性，例如電動(dòng)汽車的無序充放電［3］，這種源荷的隨機(jī)不確定性實(shí)際上就是供給與需求的不確定性，會(huì)給傳統(tǒng)配電網(wǎng)帶來諸多問題，隨著高滲透率的風(fēng)電、光伏接入配電網(wǎng)，這種不確定性將加劇峰谷差問題，另一方面，配電網(wǎng)也將由原來的單一受端無源網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槎嚯娫从性磸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)，風(fēng)電、光伏電源不能再簡(jiǎn)單地看作是負(fù)功率的負(fù)荷，配電網(wǎng)的潮流方向?qū)l(fā)生改變，會(huì)造成電壓越限問題［4］，電壓的穩(wěn)定分析會(huì)面臨巨大挑戰(zhàn)，因此在新型配網(wǎng)下對(duì)潮流計(jì)算、電壓穩(wěn)定分析與電壓優(yōu)化控制的研究十分必要。

新型配電網(wǎng)下配電網(wǎng)不確定性增加，傳統(tǒng)的確定性潮流計(jì)算顯然不再適用，在描配述電網(wǎng)不確定性問題時(shí)，通常的做法是建立源荷的概率模型，通過概率潮流計(jì)算將配電網(wǎng)不確定性進(jìn)行量化分析，概率潮流的計(jì)算方法通常有蒙特卡洛模擬法［5-6］、點(diǎn)估計(jì)法［7-9］、解析法［10］，傳統(tǒng)概率潮流計(jì)算方法大都沒考慮輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際有所差別，給電網(wǎng)規(guī)劃運(yùn)行分析結(jié)果帶來偏差，在考慮輸入隨機(jī)變量相關(guān)性方面，文獻(xiàn)［11-12］采用改進(jìn)的Nataf對(duì)光伏出力的相關(guān)性進(jìn)行處理，并分別運(yùn)用半不變量法和點(diǎn)估計(jì)法進(jìn)行概率潮流計(jì)算。文獻(xiàn)［13］運(yùn)用Cholesky 技術(shù)處理光伏與負(fù)荷之間的相關(guān)性，結(jié)合基于拉丁超立方抽樣的蒙特卡洛法進(jìn)行潮流計(jì)算，以上方法對(duì)相關(guān)性的處理，基本只針對(duì)單一的輸入隨機(jī)變量，沒有同時(shí)考慮風(fēng)、光等輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性。無跡變換法的應(yīng)用能彌補(bǔ)上述概率潮流計(jì)算的缺點(diǎn)，能較好的處理輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性，且計(jì)算效率與精度都較高。文獻(xiàn)［14］針對(duì)風(fēng)電的不確定性與相關(guān)性，將無跡變換法應(yīng)用于概率潮流計(jì)算中，與傳統(tǒng)方法相比，提升了計(jì)算效率與計(jì)算精度。文獻(xiàn)［15］采用基于無跡變換的方法對(duì)配網(wǎng)進(jìn)行概率潮流計(jì)算，計(jì)算速度快，精度不低于二階，并且能直接處理輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性。文獻(xiàn)［16］通過無跡變換法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合求解三相概率潮流，與蒙特卡洛法、兩點(diǎn)估計(jì)法相比提升了計(jì)算速度。在配電網(wǎng)電壓穩(wěn)定性方面，文獻(xiàn)［17］根據(jù)節(jié)點(diǎn)輸出功率方程，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了能反映各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定性的指標(biāo)，求出系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定指標(biāo)值，以指標(biāo)值最大值所在節(jié)點(diǎn)為整個(gè)系統(tǒng)的薄弱節(jié)點(diǎn)，由此來分析電壓穩(wěn)定性，但是上述電壓穩(wěn)定指標(biāo)只適用于確定性問題，對(duì)于不確定性問題，應(yīng)采用電壓穩(wěn)定的概率相關(guān)指標(biāo)來衡量，文獻(xiàn)［18］針對(duì)風(fēng)電的不確定性，引入隨機(jī)響應(yīng)面法建立電壓穩(wěn)定概率評(píng)估模型，以負(fù)荷裕度的期望和方差作為電壓穩(wěn)定評(píng)估指標(biāo)。文獻(xiàn)［19］針對(duì)間歇性電源的出力隨機(jī)性與相關(guān)性以及負(fù)荷的不確定性與相關(guān)性，提出一種基于無跡變換的靜態(tài)電壓穩(wěn)定概率評(píng)估方法，同樣以負(fù)荷裕度的方差和期望做為評(píng)估指標(biāo)。這種以負(fù)荷裕度為指標(biāo)的電壓穩(wěn)定概率評(píng)估方法，需要多次計(jì)算求出負(fù)荷裕度值，較為繁瑣，且不能分析各個(gè)節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定信息。在電壓無功優(yōu)化方面，文獻(xiàn)［20］以無功補(bǔ)償投資收益最大、網(wǎng)損最小、電壓偏差最小為目標(biāo)，構(gòu)建配電網(wǎng)多目標(biāo)無功優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［21-22］對(duì)主動(dòng)配電網(wǎng)進(jìn)行分區(qū)，對(duì)每個(gè)區(qū)內(nèi)以分布式電源消納最大、電網(wǎng)電壓偏差最小、網(wǎng)損最小為目標(biāo)構(gòu)建主動(dòng)配電網(wǎng)優(yōu)化模型，上述文獻(xiàn)電壓無功優(yōu)化模型基本上是確定性模型，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于配電網(wǎng)概率無功優(yōu)化模型研究較少。

根據(jù)以上分析，本文考慮源-荷的隨機(jī)性，針對(duì)傳統(tǒng)的確定性電壓穩(wěn)定指標(biāo)的不足，引入一種電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)分析配網(wǎng)電壓的穩(wěn)定性，通過求取所有節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)，獲得整個(gè)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定情況，對(duì)指標(biāo)值大小進(jìn)行排序，便能對(duì)配網(wǎng)薄弱節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，為計(jì)及輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性，采用無跡變換對(duì)配網(wǎng)概率潮流進(jìn)行求解，并結(jié)合電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)與概率潮流建立配電網(wǎng)多目標(biāo)無功優(yōu)化模型，以節(jié)點(diǎn)電壓偏差期望、電壓穩(wěn)定指標(biāo)、網(wǎng)損期望最小為目標(biāo)函數(shù)，采用改進(jìn)的粒子群多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解，通過在IEEE 33 節(jié)點(diǎn)配網(wǎng)模型仿真驗(yàn)證，驗(yàn)證了所采用方法的正確性與可行性。

1 配電網(wǎng)概率模型

1.1 光伏出力概率模型

通常認(rèn)為光伏概率模型服從Beta分布，該模型對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)要求不高，簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但該模型并不具有普適性，需要先驗(yàn)知識(shí)，并不是所有場(chǎng)合都服從該分布，因此，光伏的Beta概率分布模型并不一定能取得很好的模擬效果。非參數(shù)核密度估計(jì)模型能夠?qū)夥^好的模擬，無需任何先驗(yàn)知識(shí)［23］，但是該模型較為復(fù)雜，且對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)要求較高，因此光伏出力概率模型應(yīng)該綜合這兩種模型，同時(shí)兼顧這兩種模型的優(yōu)點(diǎn)，本文所采用的光伏概率模型根據(jù)如下流程建立。

步驟1）通過對(duì)光伏出力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Pv1，Pv2，…，Pvn進(jìn)行χ2檢驗(yàn)判斷是否符合Beta 分布，若符合，則采用步驟2）的方式建立光伏出力的概率模型，否則采用步驟3）的方式建立光伏出力的概率模型。

步驟2）建立Beta分布的光伏出力概率模型。

光伏輸出功率受到光照強(qiáng)度的制約，光照強(qiáng)度一般認(rèn)為服從Beta 分布，光照強(qiáng)度概率密度函數(shù)為：

式中：α、b為形狀參數(shù)；r為光照強(qiáng)度，W/m2；Γ為Gamma函數(shù)。

光伏的有功功率輸出Ppv與光照強(qiáng)度的關(guān)系由式（2）表示，假設(shè)光伏以恒功率因數(shù)運(yùn)行。

式中：A為光伏方陣總有效面積；η為光伏單位面積轉(zhuǎn)化效率；Qpv為光伏輸出的無功功率；φpv為功率因數(shù)角。

結(jié)合式（1）—（2），可得光伏出力概率Beta 模型。

式中Pmax=rmaxAη。

步驟3）建立光伏的非參數(shù)核密度估計(jì)概率模型。

式中：h為帶寬；n為樣本數(shù)量；Pvi為光伏第i次實(shí)測(cè)有功輸出；K（·）為核函數(shù)，選用高斯函數(shù)。

1.2 風(fēng)電出力概率模型

通常認(rèn)為風(fēng)電概率模型服從Weibull 分布，但是也不是所有風(fēng)電場(chǎng)出力符合Weibull 分布，因此同樣綜合考慮風(fēng)電出力的Weibull 分布與風(fēng)電出力的非參數(shù)核密度估計(jì)模型，本文所采用的風(fēng)電概率模型根據(jù)如下流程建立。

步驟1）通過對(duì)光伏出力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Pw1、Pw2、…、Pwn進(jìn)行χ2檢驗(yàn)判斷是否符合Weibull 分布，若符合，則采用步驟2）的方式建立風(fēng)電出力的概率模型，否則采用步驟3）的方式建立風(fēng)電出力的非參數(shù)核密度估計(jì)概率模型。

步驟2）Weibull 分布風(fēng)電出力概率模型描述如下。

與光伏相似，風(fēng)電出力與風(fēng)速大小有關(guān)，一般區(qū)域的風(fēng)速服從Weibull分布，其概率密度函數(shù)為：

式中：k為形狀參數(shù)；c為尺度參數(shù)；v為風(fēng)速大小。

風(fēng)電的功率Pwind與風(fēng)速v的關(guān)系由式（7）表示，假定風(fēng)機(jī)以恒功率因素運(yùn)行。

式中：m=Pr/（vr-vci）；n=-mvci；Pr為風(fēng)電額定出力；vci、vr、vco為風(fēng)機(jī)切入、額定、切出風(fēng)速；Qwind為風(fēng)機(jī)輸出無功功率。

結(jié)合式（6）—（7）可得風(fēng)電出力的概率密度函數(shù)為：

步驟3）風(fēng)電的非參數(shù)核密度估計(jì)概率模型如式（10）所示。

式中：h為帶寬；n為樣本數(shù)量；Pwi為風(fēng)電第i次實(shí)測(cè)有功功率輸出。

1.3 負(fù)荷概率模型

通過對(duì)負(fù)荷波動(dòng)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)負(fù)荷的波動(dòng)變化服從正態(tài)分布，因此本文以正態(tài)分布為負(fù)荷的概率密度函數(shù)。

式中：P為負(fù)荷的有功功率；Q為負(fù)荷的無功功率；μP、μQ分別為負(fù)荷有功功率、無功功率的期望；σP、σQ分別為負(fù)荷有功功率、無功功率的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 分布式電源接入配網(wǎng)電壓分析

2.1 DG接入配網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓波動(dòng)分析

配電網(wǎng)任意一條傳輸線路可以簡(jiǎn)化為以下線路模型，如圖1 所示。圖1 中i為線路首端節(jié)點(diǎn)；j為線路末端節(jié)點(diǎn)；Ui∠δi、Ui∠δi為線路首端電壓、末端電壓；Ri+Xi為線路阻抗；節(jié)點(diǎn)j的輸出功率為：Pj+jQ，忽略節(jié)點(diǎn)i和j之間電壓降落的橫分量，則兩節(jié)點(diǎn)電壓的差值為：

圖1 配電網(wǎng)線路模型Fig.1 Distribution network line model

假設(shè)線路方向?yàn)閕到j(luò)，因此ΔU＜0，當(dāng)單個(gè)分布式電源接入節(jié)點(diǎn)i，假設(shè)該分布式電源的容量為Pd+jQd，那么線路ij的差值為：

由式（14）知，由于負(fù)荷的隨機(jī)性與分布式電源出力的間歇性會(huì)導(dǎo)ΔU出現(xiàn)波動(dòng)，從而造成配網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓的波動(dòng)。

2.2 配電網(wǎng)電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)

文獻(xiàn)［17］對(duì)配電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定指標(biāo)IU_Staj定義為：

式中：節(jié)點(diǎn)j穩(wěn)定時(shí)，IU_Staj取值范圍為［0，1］，IU_Staj取值越小代表節(jié)點(diǎn)j穩(wěn)定性越好，反之越差，當(dāng)IU_Staj=1 時(shí)，代表節(jié)點(diǎn)j電壓處于臨界穩(wěn)定，當(dāng)功率繼續(xù)增加時(shí)，線路將失去穩(wěn)定的潮流平衡點(diǎn)，潮流方程無解，受端功率需求無法保證，系統(tǒng)將發(fā)生電壓崩潰事件。

通過計(jì)算配網(wǎng)所有節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定指標(biāo)，并按大小將其排序，找出其中指標(biāo)值最大所在節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)為配網(wǎng)系統(tǒng)的薄弱節(jié)點(diǎn)，與薄弱節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定指標(biāo)值相近的節(jié)點(diǎn)為次薄弱節(jié)點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生電壓崩潰時(shí)，一般都是從這些節(jié)點(diǎn)開始，把薄弱節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定指標(biāo)作為整個(gè)配網(wǎng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定指標(biāo)，如式（16）所示。

上述所采用用電壓穩(wěn)定指標(biāo)分析方法針對(duì)的是確定性問題，當(dāng)風(fēng)、光等新能源大量接入配電網(wǎng)，配網(wǎng)所面臨的不確定性增加，因此確定性指標(biāo)用來分析電壓穩(wěn)定性將不再適用，因此本文采用電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)來分析配網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓的穩(wěn)定性，將式（15）—（16）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行概率分析，分別用兩個(gè)指標(biāo)的均值SStaPj、標(biāo)準(zhǔn)差SStap作為配網(wǎng)電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)，如式（17）—（18）所示。

式（17）描述的是配網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定情況，能較全面地反映各個(gè)節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定情況，式中μj為節(jié)點(diǎn)j的電壓穩(wěn)定指標(biāo)的均值，其值越小代表該節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定性越好，σj為節(jié)點(diǎn)j電壓穩(wěn)定指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差，其值越小代表j節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定性的波動(dòng)性越小，綜合考慮k1μj+k2σj的值，k1、k2分別為μj、σj的權(quán)值系數(shù)，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)j的電壓穩(wěn)定指標(biāo)的均值直接與電壓穩(wěn)定指標(biāo)大小有關(guān)，而電壓穩(wěn)定指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差反映的是電壓穩(wěn)定指標(biāo)值的波動(dòng)情況，因此權(quán)值k1應(yīng)該大于k2，k1μj+k2σj的值越小，則該節(jié)點(diǎn)的電壓綜合穩(wěn)定性越好，計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)，以k1μj+k2σj值最大所在節(jié)點(diǎn)為配網(wǎng)系統(tǒng)的薄弱節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)為整個(gè)配網(wǎng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)SStap，以式（18）表示，當(dāng)配網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)生電壓崩潰時(shí)，會(huì)從該節(jié)點(diǎn)開始，該節(jié)點(diǎn)的指標(biāo)值越小，代表整個(gè)配網(wǎng)電壓穩(wěn)定性越好，當(dāng)負(fù)荷與分布式電源的波動(dòng)變化時(shí)，系統(tǒng)越不容易發(fā)生電壓失穩(wěn)。

2.3 基于無跡變換的概率潮流計(jì)算

無跡變換是一種非線性變換［24］，但是它不是對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，而是近似非線性函數(shù)的概率密度函數(shù)，其分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度可達(dá)二階以上，只需知道輸入隨機(jī)變量的均值與協(xié)方差，便可求輸出隨機(jī)變量的均值與協(xié)方差，容易處理隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。本文基于無跡變換的概率潮流計(jì)算來詮釋其基本原理，首先通過采樣策略選取Sigma 點(diǎn)，采樣策略有對(duì)稱采樣策略、最小偏度單形采樣策略、超球體單形采樣策略［25］，對(duì)稱采樣策略因其采樣點(diǎn)對(duì)稱排列，精度高、性能最好，因此多采用對(duì)稱采樣策略，通過對(duì)稱采樣可獲取采樣點(diǎn)集的均值μx和協(xié)方差矩陣Pxx，通過對(duì)每個(gè)Sigma 點(diǎn)進(jìn)行非線性變換傳遞參數(shù)信息求得yi，對(duì)yi進(jìn)行加權(quán)處理，便可求取輸出隨機(jī)變量的均值μy，Pyy，基于無跡變換的概率潮流步驟如下。

1）設(shè)輸入隨機(jī)變量x與y為概率潮流的輸入輸出隨機(jī)變量，x與y之間的關(guān)系如式（19）—（20）所示。

式中：PL、QL分別為負(fù)荷的有功與無功功率；PDG、QDG為分布式電源發(fā)出的有功、無功功率；U為節(jié)點(diǎn)電壓幅值；θ為節(jié)點(diǎn)電壓相角；Sij為支路功率；SStaj為式（15）所述節(jié)點(diǎn)電壓指標(biāo)。

通過輸入隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差σi、相關(guān)系數(shù)ρij、i、j=1，2…n，構(gòu)造協(xié)方差矩陣Pxx。

以輸入隨機(jī)變量期望μx和協(xié)方差矩陣Pxx為基礎(chǔ)，對(duì)輸入隨機(jī)變量x以對(duì)稱采樣策略進(jìn)行采樣［15］，形成2n+1個(gè)Sigma樣本點(diǎn)和權(quán)重集合｛xi，wi｝，n為隨機(jī)變量x中包含的隨機(jī)變量數(shù)量，xi與wi表達(dá)式如下：

式中：α為比例信息參數(shù)；x0為樣本中心點(diǎn)；w0為樣本中心點(diǎn)權(quán)重；PLxx(：，i)為下三角矩陣PLxx的第i列元素，由協(xié)方差矩陣Pxx經(jīng)Cholesky 分解得到；wm0、wp0為第1 個(gè)采樣點(diǎn)的均值權(quán)重與協(xié)方差權(quán)重；wmk、wpk為第k個(gè)樣本點(diǎn)均值權(quán)重與協(xié)方差權(quán)重；β為高階信息參數(shù)。

1）對(duì)采樣的Sigma點(diǎn)集｛xi｝代入式（19）、（21）得到潮流與電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)樣本點(diǎn)集｛yi｝，并對(duì)｛yi｝其進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，可得｛yi｝的均值μy與協(xié)方差矩陣Pyy。

式中：wm i、wP i分別為電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)樣本點(diǎn)集｛yi｝對(duì)應(yīng)的均值權(quán)重與協(xié)方差權(quán)重，由協(xié)方差矩陣對(duì)角線元素可得｛yi｝的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，式（21）中包含電壓穩(wěn)定指標(biāo)，因此通過無跡變換也可求得式（17）與（18）所述電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)SStaPj與SStap。

基于無跡變換的概率潮流計(jì)算流程圖如圖2所示。

圖2 基于無跡變換的概率潮流流程圖Fig.2 Probabilistic power flow diagram based on unscented transformation

3 多目標(biāo)概率無功優(yōu)化

3.1 目標(biāo)函數(shù)

3.1.1 網(wǎng)損的期望

式中：n為節(jié)點(diǎn)數(shù)量；i，j為相鄰節(jié)點(diǎn)；wmk為樣本點(diǎn)k均值權(quán)重；Uk，i為第k個(gè)Sigma點(diǎn)集中與節(jié)點(diǎn)j相鄰的節(jié)點(diǎn)電壓；θij為節(jié)點(diǎn)i，j之間的相角差；Gi，j為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)。

3.1.2 電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)

式中：μL、σL分別為前述電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)的期望與標(biāo)準(zhǔn)差，由于這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的量綱不一致，需對(duì)其規(guī)范化處理，將其都轉(zhuǎn)化為無量綱屬性為：

式中：μLmax、σLmax為優(yōu)化過程中μL、σL出現(xiàn)的最大值；μLmin、σLmin為優(yōu)化過程中μL、σL出現(xiàn)的最小值。μ'L、σ'L均為［0，1］之間的變量，因此可以定義配網(wǎng)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)為：

式中k1、k2分別為均值與標(biāo)準(zhǔn)差的權(quán)值系數(shù)，k1＞k2，k1+k2=1。

3.1.3 節(jié)點(diǎn)電壓偏差平均值期望

式中：f3為節(jié)點(diǎn)電壓偏差平均值期望；UN為節(jié)點(diǎn)額定電壓；wmk為第k個(gè)Sigma 點(diǎn)集中的節(jié)點(diǎn)電壓權(quán)重；Uk，i為第k個(gè)Sigma點(diǎn)集中的節(jié)點(diǎn)電壓。

3.2 約束條件

3.2.1 潮流約束

式中：PGi、QGi分別為電源節(jié)點(diǎn)i的有功功率、無功功率；PLi，QLi分別為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)i的有功負(fù)荷、無功負(fù)荷；Gij、Bij分別為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)和電納。

3.2.2 控制變量約束

式中：Ci_min、Ci_max分別為節(jié)點(diǎn)i電容器最大最小值；Qci_min、Qci_max分別為節(jié)點(diǎn)i處并聯(lián)電容器組無功容量Qc上下限；Qsvc_min、Qsvc_max分別為靜止無功補(bǔ)償器接入無功容量Qsvc上下限；KT_min、KT_max分別為變壓器變比上下限。

3.2.3 狀態(tài)變量約束

式中Ui_min、Ui_max分別為節(jié)點(diǎn)電壓的上下限。

3.2 多目標(biāo)歸一化處理

在多目標(biāo)優(yōu)化中，存在各個(gè)目標(biāo)量綱不一致、重要度不同等問題，因此需要對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行歸一化處理：

式中：f為歸一化后的目標(biāo)函數(shù)；f1*、f2*、f3*為各目標(biāo)單獨(dú)優(yōu)化后的最優(yōu)解；λ1、λ2、λ3分別為各個(gè)目標(biāo)的權(quán)重，λ1+λ2+λ3=1，λ1、λ2、λ3∈［0，1］，根據(jù)各目標(biāo)的重要度設(shè)置權(quán)重系數(shù)。

3.3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的慣性權(quán)重與學(xué)習(xí)因子在應(yīng)用過程中參數(shù)取的是常數(shù)，在算法迭代過程中易陷入局部最優(yōu)，造成早熟現(xiàn)象，因此需要對(duì)慣性權(quán)重與學(xué)習(xí)因子進(jìn)行改進(jìn)。

3.3.1 慣性權(quán)重的改進(jìn)

慣性權(quán)重ω的取值關(guān)系到對(duì)先前粒子速度對(duì)當(dāng)前粒子速度的影響，ω值越大則全局搜索能力越強(qiáng)，ω值越小則局部搜索能力越強(qiáng)。為了均衡算法全局搜索與局部搜索能力，在粒子迭代初期，ω的取值應(yīng)該較大，而隨著迭代次數(shù)的增加，ω的取值應(yīng)該逐漸減小，因此，慣性權(quán)重ω改進(jìn)如下。

式中：ωmax、ωmin分別為ω的最大值與最?。籯、kmax分別為粒子群當(dāng)前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)。

3.3.2 學(xué)習(xí)因子的改進(jìn)

學(xué)習(xí)因子c1、c2的作用是調(diào)節(jié)粒子與個(gè)體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子的位置關(guān)系，為了均衡搜索精度與速度，迭代前期應(yīng)該滿足c1＞c2，而在迭代后期應(yīng)該滿足c1＜c2，因此，學(xué)習(xí)因子的改進(jìn)如下。

式 中：c1_max、c2_max分 別 為c1、c2的 最 大 值；c1_min、c2_min分別為c1、c2的最小值；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；kmax為最大迭代次數(shù)。

綜上，改進(jìn)粒子群算法的速度、位置更新公式為：

式中：xk id為第i個(gè)粒子第k次迭代時(shí)的位置；vkid第i個(gè)粒子第k次迭代時(shí)的速度；r1、r2為（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)；pbest_i和gbest_i分別為第i次迭代中的局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

3.4 模型的求解

1）初始化，輸入配網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)IEEE 33 節(jié)點(diǎn)線路參數(shù)、改進(jìn)粒子群算法初始參數(shù)。

2）根據(jù)第1 節(jié)所述光伏、風(fēng)機(jī)、負(fù)荷概率分布模型與輸入隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)，確定輸入隨機(jī)變量x的期望μx與協(xié)方差矩陣Pxx。

3）根據(jù)第2 節(jié)所述，應(yīng)用無跡變換對(duì)全體粒子進(jìn)行初始概率潮流計(jì)算，求取網(wǎng)損期望、電壓偏差期望、電壓概率指標(biāo)，得到式（35）目標(biāo)函數(shù)值，計(jì)算粒子適應(yīng)度。

4）更新粒子，比較粒子適應(yīng)度，按式（38）更新粒子群，更新個(gè)體最優(yōu)粒子與全局最優(yōu)粒子。

5）粒子群更新后再次進(jìn)行概率潮流計(jì)算，得到更新后的目標(biāo)函數(shù)值。

6）重復(fù)步驟4）和5），直到滿足約束條件或最大迭代次數(shù)，并輸出概率統(tǒng)計(jì)量。

模型求解流程圖如圖3所示。

圖3 模型求解流程Fig. 3 Model Solving Flow chart

4 算例仿真分析

4.1 算例參數(shù)說明

選用IEEE 33 節(jié)點(diǎn)配網(wǎng)系統(tǒng)，如圖4 所示，對(duì)本文所采用無功優(yōu)化方法進(jìn)行驗(yàn)證，基準(zhǔn)電壓為12.66 kV，基準(zhǔn)功率為100 MVA，總基態(tài)負(fù)荷為3 715+j2 300 kVA，各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷（基態(tài)負(fù)荷）、線路等參數(shù)見文獻(xiàn)［26］。

圖4 IEEE 33節(jié)點(diǎn)配網(wǎng)結(jié)構(gòu)Fig.4 IEEE 33-node distribution network structure

1）系統(tǒng)中接入4 個(gè)分布式電源機(jī)組，其中節(jié)點(diǎn)22、節(jié)點(diǎn)25 接入光伏發(fā)電機(jī)組，最大功率為400 kW，功率因數(shù)為0.95，節(jié)點(diǎn)18、33 接入風(fēng)力發(fā)電機(jī)組，最大輸出功率為600 kW，功率因數(shù)為0.95，光伏、風(fēng)機(jī)輸入為貴州某地區(qū)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)χ2檢驗(yàn)知，光伏出力服從形狀系數(shù)α=0.58，b=1.51的Beta 分布；風(fēng)電出力服從形狀參數(shù)k=10.7，風(fēng)速輸入數(shù)據(jù)服從尺度參數(shù)c=3.97 的Weibull 分布，其切入風(fēng)速為3 m/s，額定風(fēng)速為12 m/s，切出風(fēng)速為25 m/s，風(fēng)、光之間相關(guān)系數(shù)矩陣如下：

2）節(jié)點(diǎn)負(fù)荷服以IEEE 33節(jié)點(diǎn)基態(tài)負(fù)荷為均值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值的10%的正態(tài)分布。

3）母線和節(jié)點(diǎn)1 之間的有載調(diào)壓變壓器，變比調(diào)節(jié)范圍為0.9～1.1，分接頭數(shù)為±8，步進(jìn)量為0.012 5。

4）在節(jié)點(diǎn)17 與節(jié)點(diǎn)32 處安裝SVC，調(diào)節(jié)范圍為0～800 kvar；節(jié)點(diǎn)6，12 安裝可投切并聯(lián)電容器20組，每組容量為50 kvar。

5）基于無跡變換的概率潮流算法中，比例信息參數(shù)α=0.5，高階信息參數(shù)β=0.8，樣本中心點(diǎn)權(quán)重w0為=0.5；電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)中，k1=0.7、k2=0.3；粒子群優(yōu)化算法中，種群數(shù)為30，最大迭代次數(shù)為200，慣性權(quán)重ωmax=0.9，ωmin=0.4，c1初始值為2.5，終值為0.5，c2初始值為0.5，終值為2.5；多目標(biāo)歸一化模型目標(biāo)權(quán)重系數(shù)λ1=0.4、λ2=0.3、λ3=0.3。

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所采用方法的有效性，對(duì)未接入DG、接入DG 未優(yōu)化、接入DG 并優(yōu)化的配網(wǎng)IEEE 33節(jié)點(diǎn)進(jìn)行仿真測(cè)試，無功優(yōu)化配置見表1。

表1 無功優(yōu)化配置情況Tab.1 Reactive power optimization configuration

測(cè)試結(jié)果見表2。由表2 可知，DG 接入配網(wǎng)后，系統(tǒng)的網(wǎng)損期望降至142.13 kW，降低了16.91%，電壓偏差平均值降低至0.069，減少了18.82%，配網(wǎng)電壓穩(wěn)定指標(biāo)期望μL下降至0.153 1，下降了4.25%，電壓穩(wěn)定指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差σL上升至0.017 04，增加了55.61%，由此表明DG 的接入有利于系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性與安全性的提高，雖然配網(wǎng)電壓概率指標(biāo)期望μL有所降低，但是指標(biāo)σL卻大幅增加，這是由于DG 出力的間歇性與負(fù)荷的隨機(jī)性導(dǎo)致，加之風(fēng)、光出力的相關(guān)性會(huì)加劇電壓穩(wěn)定指標(biāo)的波動(dòng)。采用改進(jìn)粒子群算法對(duì)接入DG 的配網(wǎng)進(jìn)行無功優(yōu)化后，系統(tǒng)的網(wǎng)損期望、電壓偏差平均值期望進(jìn)一步降低，在接入DG 的基礎(chǔ)上分別降低了42.81%、43.47%，負(fù)荷電壓穩(wěn)定指標(biāo)期望μL降低16.46%，負(fù)荷電壓穩(wěn)定指標(biāo)σL下降了27.87%。

表2 優(yōu)化前后結(jié)果Tab.2 Results before and after optimization

圖5 為未接入DG、接入DG 未優(yōu)化、接入DG并優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)電壓期望，圖6 為無功優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)18 的電壓概率分布與累計(jì)概率分布。由圖5—6 可知，DG 接入前，節(jié)點(diǎn)10—18 電壓越低限，且節(jié)點(diǎn)18 電壓最低，DG 接入后對(duì)配網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓具有支撐作用，抬升了一定量的電壓，但是作用能力有限，節(jié)點(diǎn)15—18 電壓仍然越限，采用本文方法優(yōu)化后，在保證電壓不越高限的情況下，所有節(jié)點(diǎn)電壓水平得到了進(jìn)一步提升，并且沒有出現(xiàn)越低限情況，電壓最低節(jié)點(diǎn)18 的電壓由優(yōu)化前的0.935 7 p.u. 增加至優(yōu)化后的0.974 7 p.u.，提升了4.17%，優(yōu)化后該節(jié)點(diǎn)的電壓概率密度與累計(jì)概率分布也得到了提升。

圖5 節(jié)點(diǎn)電壓期望值Fig. 5 Node voltage expectation

圖6 節(jié)點(diǎn)18電壓概率統(tǒng)計(jì)量Fig.6 Node 18 voltage probability statistics

圖7為節(jié)點(diǎn)18 DG 未接入、DG 接入未優(yōu)化、DG接入并優(yōu)化的電壓期望波動(dòng)曲線。

圖7 節(jié)點(diǎn)18電壓期望波動(dòng)曲線Fig. 7 Voltage expected fluctuation curve of node 18

由圖7可知，DG 接入前，節(jié)點(diǎn)18的電壓較低，電壓波動(dòng)不劇烈，當(dāng)DG 接入后，節(jié)點(diǎn)18 的電壓被抬升，但是由于風(fēng)電、光伏出力的間歇性導(dǎo)致電壓波動(dòng)比未接入時(shí)劇烈，并且風(fēng)、光出力的相關(guān)性會(huì)加劇這種波動(dòng)情況，優(yōu)化后，節(jié)點(diǎn)18 的電壓水平進(jìn)一步改善，并且電壓波動(dòng)問題得到緩解。圖8 為未接入DG、接入DG、接入DG 并優(yōu)化后各節(jié)點(diǎn)電壓概率指標(biāo)。

圖8 IEEE 33節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)Fig. 8 Voltage stability probability index of IEEE 33 node

由圖8 可知，在接入DG 后，配網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定指標(biāo)期望μj有略微下降，但是標(biāo)準(zhǔn)差σj都有大幅提升，這是因?yàn)樵春呻S機(jī)性與相關(guān)性加劇了電壓穩(wěn)定指標(biāo)的波動(dòng)，由圖8可知，節(jié)點(diǎn)28在接入后電壓穩(wěn)定指標(biāo)的期望μj與標(biāo)準(zhǔn)差在所有節(jié)點(diǎn)中為最大值，因此該節(jié)點(diǎn)為該系統(tǒng)的薄弱節(jié)點(diǎn)，以該節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)作為整個(gè)配網(wǎng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)，另外節(jié)點(diǎn)3 與節(jié)點(diǎn)6 的電壓穩(wěn)定指標(biāo)值也較大，視為次薄弱節(jié)點(diǎn)，接入DG 優(yōu)化后除薄弱節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定指標(biāo)得到降低，其余節(jié)點(diǎn)指標(biāo)都有所改善。

4.3 概率潮流計(jì)算方法比較

為了驗(yàn)證基于無跡變換的概率潮流計(jì)算方法在考慮含DG 的配電網(wǎng)多目標(biāo)無功優(yōu)化中的優(yōu)越性，使用3點(diǎn)估計(jì)法（3PEM）、MCS（產(chǎn)生10 000 次隨機(jī)數(shù)）與本文所采用概率潮流計(jì)算方法分別對(duì)圖6 的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)配網(wǎng)進(jìn)行概率潮流計(jì)算，并用改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行無功優(yōu)化，在相關(guān)性的處理中，蒙特卡洛結(jié)合Cholesky 技術(shù)處理風(fēng)、光的相關(guān)性，3PEM 結(jié)合NATAF 變換處理風(fēng)、光的相關(guān)性，比較3PEM、MCS 和無跡變換下有功損耗期望和電壓偏差平均值期望、電壓概率指標(biāo)，并比較它們的計(jì)算時(shí)間，見表3。

表3 概率潮流計(jì)算方法比較Tab. 3 Comparison of probabilistic power flow calculation methods

由表3 所示，UT、3PEM 相對(duì)于MCS，其網(wǎng)損期望相對(duì)誤差為0.11%、0.72%，電壓偏差相對(duì)誤差為2.6%、7.69%，負(fù)荷電壓概率指標(biāo)μL相對(duì)誤差分別為0.23%、0.55%，σL相對(duì)誤差分別為0.24%、0.49，可以看出UT 的結(jié)果與MCS 更相近，在此基礎(chǔ)上，UT 的運(yùn)行時(shí)間較MCS 縮短約96.8%，比3PEM 縮短23%，并且能直接處理輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性，在計(jì)算效率與精度上都優(yōu)于3PEM，提高了含DG的配電網(wǎng)的無功優(yōu)化效率。

5 結(jié)論

本文對(duì)含DG 的配網(wǎng)系統(tǒng)提出了一種考慮源荷隨機(jī)性的概率無功優(yōu)化模型，通過優(yōu)化控制變壓器分接頭、無功補(bǔ)償裝置實(shí)現(xiàn)有功網(wǎng)損、電壓偏差平均值期望、電壓穩(wěn)定概率指標(biāo)最小，計(jì)算結(jié)果表明：

1） DG 的接入雖然會(huì)提升配網(wǎng)的電壓水平，同時(shí)也能略微提升電壓穩(wěn)定指標(biāo)期望，但是風(fēng)、光的隨機(jī)性與相關(guān)性會(huì)加劇節(jié)點(diǎn)電壓與電壓穩(wěn)定指標(biāo)的波動(dòng)。

2） 基于UT 的概率潮流計(jì)算方法將大量不確定性潮流計(jì)算轉(zhuǎn)換成少了采樣Sigma 點(diǎn)的確定性潮流計(jì)算，減少了計(jì)算時(shí)間，同時(shí)其可以對(duì)輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性直接處理，相比其他概率潮流計(jì)算方法，對(duì)于相鄰地區(qū)分布式電源的處理具有更大優(yōu)勢(shì)。

3） 所建立概率無功優(yōu)化模型與傳統(tǒng)確定性無功優(yōu)化模型相比，在應(yīng)對(duì)源荷隨機(jī)性上更具優(yōu)勢(shì)。

本文的研究有效解決了分布式電源與負(fù)荷的隨機(jī)性給配網(wǎng)帶來的不確定性問題，由于時(shí)間有限，對(duì)源荷相關(guān)性描述較少，未考慮不同相關(guān)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，后續(xù)將深入這方面研究。