江蘇徐州市鼓樓小學(xué)（221000）張 晶

“角的初步認(rèn)識(shí)”是蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)第七單元的起始課，旨在幫助學(xué)生初步感知角的基本特征，能正確識(shí)別角和直觀判斷角的大小。教學(xué)目標(biāo)定位于“初步”，以“識(shí)別”和“直觀判斷”加以描述，常給人錯(cuò)覺(jué)“這節(jié)課不難上”。其實(shí)，這個(gè)年齡階段的學(xué)生以直觀形象思維為主，而數(shù)學(xué)上的角卻是對(duì)實(shí)際物體形狀抽象和概括的結(jié)果，兩者之間的矛盾決定了教學(xué)的難度。

近期，一位青年教師在執(zhí)教這節(jié)課時(shí)就遇到了幾個(gè)問(wèn)題。其一，教師以“你在生活中見(jiàn)過(guò)角嗎？”導(dǎo)入新課，學(xué)生列舉出的桌角、墻角與這節(jié)課要研究的角內(nèi)涵不同，難以利用這些素材引入新知。其二，學(xué)生需要借助指角、做角等活動(dòng)感知角的特點(diǎn)，但兩次學(xué)習(xí)活動(dòng)都不順利：指角環(huán)節(jié)，教師多次示范指角的方法后學(xué)生仍頻頻出錯(cuò)，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情大大降低；做角環(huán)節(jié)，學(xué)生只顧玩角，不按要求參與探究，教師教學(xué)很被動(dòng)。

怎樣引入概念更有效？“指角”本是認(rèn)識(shí)角的途徑，為何成為阻礙？“做角”環(huán)節(jié)如何兼顧教學(xué)需要和學(xué)生需要？

一、選擇性利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，以適切的情境引入概念

學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已經(jīng)積累了一定的幾何經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)他們認(rèn)識(shí)和理解圖形的特征和性質(zhì)具有重要的意義。但經(jīng)驗(yàn)不是萬(wàn)能的，有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知學(xué)習(xí)有正向幫助，有的經(jīng)驗(yàn)則會(huì)產(chǎn)生負(fù)面影響。例如學(xué)生知道的羊角、牛角在數(shù)學(xué)上并不能稱為角；桌角、墻角與現(xiàn)階段要研究的平面角內(nèi)涵不同。因此，從現(xiàn)實(shí)情境中引出角必須十分謹(jǐn)慎，避免生活中的一些“角”干擾學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)上角的表象的形成。

仔細(xì)研讀教材會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材提供的主題圖是兩位學(xué)生做手工的場(chǎng)景，圖中的三角尺、紙工袋、不同形狀和顏色的紙片都是比較薄的物品，有利于學(xué)生集中注意力研究其面上的特點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)角。作為教師，就要用好這樣的主題情境，而不宜盲目地從廣泛的生活題材切入，避免給學(xué)生帶來(lái)不必要的素材干擾。

【教學(xué)片段1】

師（出示教材圖，圖略）：小菲和小軒是好朋友，今天他們一起來(lái)做手工。在這幅圖上，你看到了什么？（學(xué)生回答略）

師：這幅圖里藏著今天我們要認(rèn)識(shí)一個(gè)圖形朋友，就是角。仔細(xì)觀察，哪些物品的面上有角？

在情境圖中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)許多物體面上都有角，自然地抽象出這節(jié)課要研究的平面上的角。這些角有大有小、形態(tài)各異，為學(xué)生提煉角的本質(zhì)特征提供了豐富的素材。相比從生活中的例子導(dǎo)入，這樣的設(shè)計(jì)更具有針對(duì)性。在例題教學(xué)后，也不宜組織學(xué)生匆忙回到實(shí)際生活中指認(rèn)角，因?yàn)樯钪械慕嵌鄻佣鴱?fù)雜，學(xué)生尚不具備足夠的認(rèn)知和分析能力來(lái)做出清晰的判定。如果要遵循“生活—數(shù)學(xué)—生活”的路徑，可以對(duì)角的素材做出限定，如仿照主題情境，為學(xué)生準(zhǔn)備一些面上有角而厚度小的實(shí)際物品，如紅領(lǐng)巾、信封、快遞袋等，便于學(xué)生利用現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)做出辨析，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

二、悅納學(xué)生的原有認(rèn)知，以豐富的體驗(yàn)促進(jìn)概念形成

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和再組織的過(guò)程，是從不完善走向完善，從模糊走向清晰的自主建構(gòu)的過(guò)程。利用主題圖展開(kāi)教學(xué)時(shí)，學(xué)生能很快發(fā)現(xiàn)許多物體的面上都有角，但“指角”時(shí)，有的學(xué)生只指角的頂點(diǎn)，有的學(xué)生只指兩條邊之間的區(qū)域。這表明，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)是模糊的。以此為生長(zhǎng)點(diǎn)，許多教師會(huì)采用示范教學(xué)的方式，引導(dǎo)學(xué)生先學(xué)會(huì)指角，再將數(shù)學(xué)角抽象出來(lái)，但這種處理方式可能會(huì)大大消減學(xué)生對(duì)角的興趣。

“指角”的方法實(shí)則反映了角的靜態(tài)定義。角是由有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的幾何對(duì)象?！爸附恰睍r(shí)，一般先指兩條射線的公共頂點(diǎn)，再?gòu)捻旤c(diǎn)出發(fā)依次指出兩條射線。這種表達(dá)比較復(fù)雜，蘊(yùn)含順序與方向，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以掌握，勢(shì)必形成緊張的學(xué)習(xí)心理。教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生的認(rèn)知需要，放慢教學(xué)的腳步，以問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，以活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生的感知與發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。

【教學(xué)片段2】

師：大家剛才指的地方確實(shí)都有角。可指角的時(shí)候，很多人指的都是一個(gè)點(diǎn)，角就是一個(gè)點(diǎn)嗎？

生1：角不是一個(gè)點(diǎn)。

生2：指角的時(shí)候，還要指出這兩條線。（學(xué)生指出了某一個(gè)角的兩條邊）

生3（一邊說(shuō)，一邊在兩邊之間畫(huà)上一條弧線）：角在這里。

師：這些同學(xué)說(shuō)的對(duì)不對(duì)呢？今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)角。

1.摸角

師：拿出你的三角尺，我們先來(lái)摸一個(gè)角。先摸摸這兒，什么感覺(jué)？再順著摸，什么感覺(jué)？（學(xué)生答略）

2.指角

師：指角的時(shí)候，不但要指出這個(gè)尖尖的地方，還要從這個(gè)尖尖的地方向外順著指。（課件動(dòng)態(tài)演示）

師：你帶來(lái)的物品的面上有角嗎？指給大家看。

3.描角

師：要把角從物體的表面上“請(qǐng)”下來(lái)，該怎么辦？

生4：把角剪下來(lái)。

生5：把角描下來(lái)。

師：注意觀察老師是怎樣描角的。

師：請(qǐng)你從剛才找到的角中選取一個(gè)，在學(xué)習(xí)單上描出這個(gè)角。

4.提煉特征

師（展示學(xué)生描出的角）：這些角有的開(kāi)口朝左，有的開(kāi)口朝右，形狀也不完全相同，可為什么它們都叫作角呢？它們有什么共同的地方？

生6：它們都有一個(gè)尖尖的地方。

生7：它們都有兩條邊。

生8：兩條邊都是直直的。

師：同學(xué)們太善于觀察了。原來(lái)，這些圖形都有共同之處，請(qǐng)同學(xué)們借助學(xué)習(xí)單進(jìn)行自學(xué)。

生9：尖尖的地方在數(shù)學(xué)上稱為頂點(diǎn)，兩條直直的線稱為角的邊。

師：角有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：在圖形的認(rèn)識(shí)的教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，感知立體圖形和平面圖形的特點(diǎn)以及這兩類(lèi)圖形的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形的抽象過(guò)程，積累觀察物體的經(jīng)驗(yàn)，形成初步的空間觀念。在抽象角的過(guò)程中，教師安排了多次操作活動(dòng)，有力促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。通過(guò)“摸角”，學(xué)生獲得了“尖尖的”“直直的”的物理感受，為揭示頂點(diǎn)和邊的抽象概念奠定感性基礎(chǔ)；通過(guò)觀察教師“指角”、多媒體演示、生生互相“指角”的方式，學(xué)生了解了角的基本結(jié)構(gòu)；“描角”，啟發(fā)學(xué)生將生活中的角抽象成數(shù)學(xué)角，親身經(jīng)歷將圖形從實(shí)物上抽離的過(guò)程；最后，比較這些圖形的共同特點(diǎn)，使學(xué)生的視角都集中在角的形狀和結(jié)構(gòu)上，從而形成對(duì)角的概括性認(rèn)識(shí)。

三、順應(yīng)學(xué)生的心理需求，以自主探索豐富概念內(nèi)涵

心理學(xué)研究表明：小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的注意以無(wú)意注意為主，他們?nèi)菀妆换顒?dòng)的、鮮艷的、新穎的、有趣的事物所吸引。作為教師，要充分考慮學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，順應(yīng)學(xué)生的心理需求，合理地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材和安排教學(xué)活動(dòng)。

在學(xué)習(xí)“角的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生不但需要通過(guò)“摸角”“指角”等活動(dòng)感知角的靜態(tài)特征，還要通過(guò)制作活動(dòng)角獲得對(duì)角的“動(dòng)態(tài)”體驗(yàn)。很多教師在這個(gè)環(huán)節(jié)都是先放手讓學(xué)生“做角”，再帶領(lǐng)學(xué)生研究“怎樣把手中的角變大或變小？能做一個(gè)比這個(gè)角（固定一個(gè)角）更大或更小的角嗎？”。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，剛做出來(lái)的活動(dòng)角讓學(xué)生覺(jué)得很新奇，許多學(xué)生都在玩角，根本沒(méi)有認(rèn)真思考教師提出的問(wèn)題。因此，兼顧教學(xué)需要和兒童的心理需求是十分有必要的。

【教學(xué)片段3】

師：用2根硬紙條和1個(gè)圖釘，想辦法做一個(gè)角。做完角的同學(xué)可以先玩一玩這個(gè)角，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

師：想一想，兩根硬紙條相當(dāng)于角的什么？圖釘呢？

生1：兩根硬紙條相當(dāng)于角的兩條邊，圖釘相當(dāng)于角的頂點(diǎn)。

師：在玩角的時(shí)候，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：我發(fā)現(xiàn)我做的角可以動(dòng)。

生3：角可以變大，也可以變小。

師：怎樣將角變大？

生4：把兩根硬紙條往外拉。

生5：兩邊打開(kāi)，角就大了。

師：怎樣將角變小？

生6：把兩根硬紙條往里面收，角就變小了。

師：角是有大有小的。開(kāi)口大，角就大；開(kāi)口小，角就小。

教師給足空間讓學(xué)生自己做角、玩角，借助問(wèn)題“可以先玩一玩這個(gè)角，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”促使學(xué)生在玩的過(guò)程中自己去發(fā)現(xiàn)，而不是由教師“牽著走”。這樣，既滿足了學(xué)生對(duì)新鮮事物的好奇心，又使學(xué)生在從“玩”中自然地產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，可謂一舉兩得。在制作活動(dòng)角的過(guò)程中，教師走近學(xué)生，聽(tīng)到學(xué)生的聲音“我的角可以變大變小”“這樣拉，角就可以變大了”……可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)活動(dòng)角的好奇心和現(xiàn)有的認(rèn)知能力足以指引他們自主發(fā)現(xiàn)。順應(yīng)學(xué)生的心理需要，鼓勵(lì)他們大膽探索才是破解教學(xué)被動(dòng)局面的有效方式。

四、捕捉學(xué)生的動(dòng)態(tài)生成，以特殊素材深化概念認(rèn)知

學(xué)生是具有主觀能動(dòng)性的個(gè)體，他們帶著各自的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、思維能力、思考習(xí)慣走入課堂，這決定了他們所參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)不斷發(fā)展變化的過(guò)程。教師要善于捕捉這些來(lái)自學(xué)生的信息，積極回應(yīng)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，使課堂生成成為新的教學(xué)資源，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)服務(wù)。

在玩活動(dòng)角的過(guò)程中，有些學(xué)生將兩邊的開(kāi)口拉得比較大，就可能出現(xiàn)平角。因?yàn)槠浇恰伴L(zhǎng)相特殊”，學(xué)生常常“不識(shí)廬山真面目”，認(rèn)為它不是一個(gè)角。對(duì)此，有的教師采取回避態(tài)度，認(rèn)為平角是以后要學(xué)習(xí)的概念，現(xiàn)在認(rèn)識(shí)它還太早。其實(shí)，概念雖超前，但“這個(gè)角是不是角？”卻是這節(jié)課可以回答的問(wèn)題，而且是一個(gè)非常有價(jià)值的素材。通過(guò)對(duì)平角的辨析，能夠更鮮明地揭示概念的內(nèi)涵與外延，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

【教學(xué)片段4】

師（出示一個(gè)固定角）：你能變出比這個(gè)角更大的角嗎？

生1：一條邊不動(dòng)，另一條邊向外打開(kāi)。

生2：兩條邊都向外打開(kāi)。

師（出示一個(gè)周角）：有同學(xué)變出了一個(gè)這樣的角，有同學(xué)說(shuō)它不是角，你認(rèn)為呢？

生3：這不是一個(gè)角，它只是一條線。

生4：它是一個(gè)角，它有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊。

師：它的頂點(diǎn)和邊在哪里，你能指一指嗎？

師：現(xiàn)在大家怎么想？它是一個(gè)角嗎？

生5：它是一個(gè)角，它有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊。

生6：它是個(gè)特別的角，它的兩條邊在一起了（同一條直線上了）。

師：它是一個(gè)角，（邊指邊說(shuō)）這是角的頂點(diǎn)，這是角的一條邊，這是角的另一條邊，角就在這里。只不過(guò)它比較特殊，兩條邊在同一條直線上，以后大家就會(huì)知道，這樣的角叫“平角”。

“平角”的出現(xiàn)，打破了學(xué)生的認(rèn)知平衡。最初，有不少學(xué)生認(rèn)為這個(gè)圖形不是角，因?yàn)樾螤詈椭翱吹降慕遣煌?。但很快就有學(xué)生借助剛剛學(xué)過(guò)的角的特征進(jìn)行理性思辨，認(rèn)識(shí)到“雖然兩根硬紙條的位置很特殊，但它們作為兩條邊，也是直直的，而且有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，符合角的特征，因此它就是一個(gè)角”。在質(zhì)疑、討論中，學(xué)生對(duì)角的表象有了更為豐富的感知，對(duì)角的本質(zhì)屬性有了更為深刻的認(rèn)識(shí)，通過(guò)邏輯推理、語(yǔ)言表達(dá)實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階，進(jìn)一步發(fā)展了空間觀念。

綜上，教學(xué)不能僅從教的角度來(lái)設(shè)計(jì)，還應(yīng)該從學(xué)生學(xué)的角度去思考。教師只有對(duì)學(xué)情有了充分的了解，才懂得要選擇性利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，才發(fā)現(xiàn)源自學(xué)生的富有價(jià)值的動(dòng)態(tài)生成，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，促使學(xué)生愿學(xué)、樂(lè)學(xué)、會(huì)學(xué)。

數(shù)學(xué)課堂是為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)的，作為教師，了解學(xué)生是我們的必修課。就像成尚榮先生說(shuō)的那樣，“教學(xué)是一個(gè)研究的過(guò)程，研究的核心應(yīng)該是兒童。教師不能只研究教學(xué)，也不能只研究技術(shù)，而應(yīng)該研究?jī)和?，研究?jī)和鯓訉W(xué)習(xí)?！北羞@樣的理念，我們會(huì)繼續(xù)前行，在兒童的教育之路上不斷探索，努力為學(xué)生奉獻(xiàn)更多適合他們的數(shù)學(xué)課堂！