李艷麗 _ 北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想，“代數(shù)”是解決幾何問題時(shí)用到的工具。在解答過程中，首先將幾何圖形的性質(zhì)用代數(shù)的語言來描述，最終通過坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形的性質(zhì)?！皫缀巍奔仁撬伎嫉钠瘘c(diǎn)也是思考的終點(diǎn)，是問題的緣起和歸宿。本節(jié)課通過對(duì)定值問題的研究，旨在引領(lǐng)學(xué)生深入理解解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握研究解析幾何的基本數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

教學(xué)目標(biāo)

進(jìn)一步運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題，掌握解析幾何定值問題的解題策略；經(jīng)歷猜想和假設(shè)、轉(zhuǎn)化和化歸、實(shí)驗(yàn)和論證等問題研究的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、一般問題特殊化的思想方法；在對(duì)定值問題的研究過程中，培養(yǎng)“大膽猜想、小心證明”的科學(xué)素養(yǎng)，體會(huì)解析幾何問題的學(xué)科本質(zhì)；感受解析法是幾何與代數(shù)相互轉(zhuǎn)化的完美工具，理解幾何法和解析法在解決幾何問題中各自的優(yōu)勢(shì)。

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：反思——猜定值的重要性和必要性，教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)

已知圓的方程x2+y2=25，過點(diǎn)M（-4，3）作直線MA、MB與圓交于點(diǎn)A、B，且MA、MB關(guān)于直線y=3對(duì)稱，試判斷直線AB的斜率是否為定值。若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由。

學(xué)生在課前完成此題，教師呈現(xiàn)學(xué)生的兩種解題思路，課堂上引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法進(jìn)行反思，并提出：在解決定值問題中，我們往往需要先猜再證，猜出結(jié)論對(duì)解決定值問題至關(guān)重要，它引導(dǎo)我們朝著目標(biāo)去進(jìn)行論證。這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是為引出本節(jié)課第一項(xiàng)重要任務(wù)——如何猜定值。

環(huán)節(jié)二：探究——怎樣猜出定值，教學(xué)生如何思考

引導(dǎo)學(xué)生思考并理解由一些特殊位置猜想定值：（1）MA、MB關(guān)于直線y=3對(duì)稱，這兩條直線是否是變化的？（2）點(diǎn)A、B是變化的，直線AB的斜率是定值，反映了怎樣的幾何性質(zhì)？（3）既然直線AB的斜率是定值，意味著與點(diǎn)A、B的位置無關(guān)，如何猜出這個(gè)定值？（4）由特殊位置入手求出定值，先猜再證。

問題：直線MA過點(diǎn)A（0，5），求出直線AB的斜率值。

分析：想讓直線MA確定，從而確定直線AB，求出斜率。

問題：直線MA過極端位置（恰為圓x2+y2=25的切線的位置），利用圓的幾何性質(zhì)求出直線AB的斜率值。（見圖1）

分析：這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化是連續(xù)的，割線的極限位置就是切線，而這個(gè)位置也是個(gè)確定的位置，可以求出其斜率。

（1）點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，在M處的切線的斜率為4/3，則kAB=-4/3。（見圖2）

（2）點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)A處的切線斜率即為kAB，則KAB=-4/3。（見圖3）

問題：求直線MA過點(diǎn)M關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)。（見圖4）

分析：過圓心，直線MA確定，利用圓的幾何性質(zhì)可以得到直線AB的斜率。MA是直徑，MB⊥AB，則kAB=-4/3。

教師引導(dǎo)學(xué)生反思以上過程，分析這些特殊位置的合理性，教學(xué)生如何想到這些特殊位置。這幾類特殊位置本質(zhì)來講是滿足一定幾何條件的位置，要將其恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化成代數(shù)條件，才能求出直線AB的斜率。為什么會(huì)借助這幾個(gè)特殊位置來求直線AB的斜率呢？可以回到直線AB斜率的求法上去。求一條直線的斜率有哪些方法呢？一種是找到直線AB上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；另一種是借助與直線AB有特殊位置關(guān)系的一些直線的斜率來間接求得。如果需要的是兩個(gè)點(diǎn)，哪些是特殊位置呢？我們自然要找圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)非常不錯(cuò)的選擇；如果想通過與直線AB有特殊位置關(guān)系的直線的斜率來間接求直線AB的斜率的話，哪些又是特殊位置呢？由于題目本來欲證的結(jié)論是平行，在圓中自然想到的就是垂直了，在圓中我們可以怎樣得到垂直呢？有兩種方式，一是直徑所對(duì)的圓周角是直角，可以得到垂直；二是切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。找直線AB過原點(diǎn)和極端位置作為特殊位置就很自然了。

環(huán)節(jié)三：溯源——為什么會(huì)是定值，教學(xué)生深入學(xué)習(xí)

引導(dǎo)學(xué)生從幾何上理解此題的本質(zhì)，明確解析幾何的本質(zhì)是解決一個(gè)幾何問題，感受幾何法與解析法之間的聯(lián)系，提出本節(jié)課的第二個(gè)重要任務(wù)：如果隱去直角坐標(biāo)系，將它本來的幾何面貌還原出來，能得到一個(gè)怎樣的幾何問題。

根據(jù)MA、MB關(guān)于直線y=3對(duì)稱，引導(dǎo)學(xué)生得到兩個(gè)角相等，在圓中即可得到兩段等弧，記的中點(diǎn)為C，可知0C⊥AB，由于0C是確定的，故直線 的斜率為定值。

點(diǎn)A、B同時(shí)運(yùn)動(dòng)到了直線y=3的下方，幾何法不能很容易得到0C與AB之間的關(guān)系，進(jìn)而直線AB的斜率為定值也不能直接得到。但在解析法中其實(shí)已經(jīng)證明了這種情況。

幾何法的證明依賴圖形本身，解析法不需要考慮這個(gè)因素，它們?cè)诮鉀Q幾何問題時(shí)各有優(yōu)勢(shì)。解析法是幾何與代數(shù)之間完美的轉(zhuǎn)化工具，用解析法解決幾何問題時(shí)，總是會(huì)先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，之后再用代數(shù)方法解決，從而實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

環(huán)節(jié)四：提升——解析幾何研究思路圖，教學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)

引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課對(duì)定值問題的研究，貫穿始終的是幾何與代數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，不斷地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，這是解析幾何是幾何與代數(shù)的完美轉(zhuǎn)化工具的具體實(shí)例說明。教學(xué)過程中，教學(xué)生思考與學(xué)習(xí)的方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)五：遷移——拓展學(xué)習(xí)與深入思考

鞏固練習(xí)，進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與思考，提升思考的深度與廣度，鼓勵(lì)學(xué)生利用本節(jié)課所學(xué)，構(gòu)建新舊知識(shí)之間的相互聯(lián)系，踐行解析幾何問題的研究思路與方法：

1.在這個(gè)問題中，反之是否會(huì)成立，即：當(dāng)直線AB的斜率為定值時(shí)（圓內(nèi)一組平行弦），直線MA與MB是否會(huì)關(guān)于直線y=3對(duì)稱？

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在圓x2+y2=25上，過P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)R滿足（1）動(dòng)點(diǎn)R形成的軌跡是何種曲線。（2）在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)M（-4，3）作直線MA、MB與橢圓交于點(diǎn)A、B，且MA、MB關(guān)于直線y=1對(duì)稱，試判斷直線AB的斜率是否為定值。若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由。

劉永江老師點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課以“解析幾何中的定值問題研究”為抓手，從對(duì)兩種解題思路的反思入手，引出“先猜再證”在問題研究中的重要性與必要性；以“如何猜出定值”為切入點(diǎn)，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考；在追根溯源中探尋定值問題的研究策略及解析幾何的研究方法與本質(zhì)，教學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)。整節(jié)課的設(shè)計(jì)關(guān)注猜想和假設(shè)、轉(zhuǎn)化和化歸、實(shí)驗(yàn)和論證，培養(yǎng)了學(xué)生“大膽猜想、小心證明”的科學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中，有意識(shí)地將“教會(huì)學(xué)生思考、教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”當(dāng)成一項(xiàng)具體的教學(xué)任務(wù)來落實(shí)，而不僅僅是停留在意識(shí)中。在攻克數(shù)學(xué)難題、反思數(shù)學(xué)過程、小結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，引導(dǎo)學(xué)生不斷提煉思考之道、學(xué)習(xí)之道，可謂“魚”“漁”兼顧。