楊 非，曹 磊，陳丹丹，廖 展，趙 明

（1.廣西科技師范學院，廣西 來賓 546199；2.廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

自然界和人類社會中的很多系統(tǒng)是錯綜且復雜的，人們?yōu)榱搜芯糠奖?，將系統(tǒng)中的個體抽象成節(jié)點，將個體間的聯(lián)系抽象成邊，這樣就形成了一個巨大的結(jié)構復雜的網(wǎng)絡[1-5]，即近二十年來科學家熱衷研究的復雜網(wǎng)絡。我們生活周邊就有各式各樣的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)，例如：把人看作節(jié)點，人與人之間的朋友或熟人關系看成邊，這就形成一個社會關系網(wǎng)絡；在生物界中，將捕食者和被捕食者看做節(jié)點，捕食關系看成連邊，就組成了生物網(wǎng)絡；在每個城市中，把電力站看做節(jié)點，將輸電線路看作連邊，就形成了電力網(wǎng)絡[2-3]，用復雜網(wǎng)絡來研究復雜系統(tǒng)能將問題簡單化，更有利于進行我們理論上的分析。因此對復雜網(wǎng)絡的研究具有非常重要的意義，復雜網(wǎng)絡雖然看起來復雜，但是其結(jié)構還是具有一些明顯的統(tǒng)計特性的，比如網(wǎng)絡的多層結(jié)[6-7]等，而近幾年，復雜網(wǎng)絡的信息傳播逐漸成為熱點。

在現(xiàn)實生活中，每個人對每類信息的關注程度都是不一樣的[6]。對于感興趣的信息或行為，該個體可能會關注、接收并傳播信息，而對于不感興趣的信息或行為，該個體可能不會關注和傳播。但有的時候我們需要在一個不感興趣的人群中傳播一類特定的信息或觀念，那么如何推廣才能使其傳播范圍更廣呢？舉例來說老年人對電子產(chǎn)品比較抵觸，那么如何將有益于這類人群的電子產(chǎn)品推廣出去就是一個需要解決的問題。一個可能的辦法是將這類信息首先推廣到老年人的子女中去，因為這些年輕人更容易接受新的理念和新產(chǎn)品，再通過他們將新的理念和產(chǎn)品推廣到老年人群中去，這將比直接向老年人推銷更為有效。因此本文就將考察如何將信息在難傳人群中進行傳播，使更多的人收到、進而接受信息最終將信息傳播出去。

在具體的操作中，我們建立一個雙層網(wǎng)絡，其中一層對所傳內(nèi)容感興趣，而另一層對該信息不感興趣，我們試圖利用感興趣層的節(jié)點的影響力將信息傳播到不感興趣層的節(jié)點。之前我們考察的是利用某一層的相對較大的平均度，而本文所利用的是某一層對所傳播的內(nèi)容更感興趣，利用這樣兩種利于傳播層的存在，將信息或理念或產(chǎn)品傳播到難傳層中去，最后，我們將這兩種方法結(jié)合，找出利于促進難傳網(wǎng)絡層傳播的最佳方案。

1 雙層網(wǎng)絡和傳播模型介紹

雙層網(wǎng)絡模型：首先生成兩個隨機網(wǎng)絡A 和B，兩者的規(guī)模相同NA=NB=N，平均度分別為＜kA>和＜kB>，之后分別在兩層中隨機選擇節(jié)點并連接作為層間連邊，避免邊的重連，使得層間連邊的平均度達到＜kAB>。在這個工作中層間連邊相對稀疏，因此只有部分節(jié)點既有層內(nèi)連邊又有層間連邊，我們稱這樣的節(jié)點為“橋梁”節(jié)點。這里我們假設A 和B 層網(wǎng)絡分別表示分屬兩個地域的人群，兩類人群的交往方式不同即具有不同的度分布pA(k)和pB(k)。這樣我們就獲得了一個比較簡單但卻能描述兩個地域人群相互關系的雙層網(wǎng)絡。在我們的工作中，N=5000，A 層網(wǎng)絡的平均度為6，B 層網(wǎng)絡平均度改變，層間連邊數(shù)量為1000 即連邊密度為kAB=0.00004（如圖1 所示）。

圖1 簡單的雙層網(wǎng)絡示意圖

傳播模型：為了考察傳播過程，我們采用了經(jīng)典的SIR[3-7]傳播模型，該模型描述了個體從未生病的易感態(tài)（S 態(tài))被感染后變成染病態(tài)（I 態(tài)）并可能把疾病傳染給其處于易感態(tài)的鄰居，最后轉(zhuǎn)變成免疫態(tài)（R態(tài)）的過程（如圖2 所示）。該模型也往往被用來描述信息或行為的傳播過程，其中S態(tài)表示個體不了解信息的狀態(tài)，I 態(tài)表示個體相信了網(wǎng)絡中正在傳播的信息并傳播該信息給其鄰居的活躍狀態(tài)，R態(tài)表示個體已經(jīng)對所傳信息不再感興趣的疲憊狀態(tài)。在本文，我們在A 層網(wǎng)絡中隨機選擇幾個節(jié)點作為傳播源開始傳播，考察當B層網(wǎng)絡的平均度發(fā)生改變時對A 層網(wǎng)絡傳播范圍的影響。為了簡化模型，我們令層內(nèi)和層間的感染率β相同，恢復率γ為1。

圖2 SIR 傳播模型示意圖

2 B 層網(wǎng)絡的感染率對A 層網(wǎng)絡傳播范圍的影響

我們考察對所傳信息感興趣層對難傳網(wǎng)絡層的影響，如果個體對所傳信息感興趣，那么當收到信息后就很容易相信，即對于這類人群來說信息的感染率比較大，因此在我們的工作中保持A 層網(wǎng)絡的感染率在一個比較小的值不變，考察B 層網(wǎng)絡的感染率對A 層網(wǎng)絡的傳播范圍及速度的影響，那么B 層網(wǎng)絡的感染率越大表明B 層網(wǎng)絡中的個體對所傳信息越感興趣。我們認為信息開始在A 層網(wǎng)絡傳播后經(jīng)過層間連邊傳播到B 層網(wǎng)絡，如果B 層網(wǎng)絡的感染率比較大，那么信息在B 層網(wǎng)絡會很快地傳播開來，并通過層間連邊將信息回傳給A 層網(wǎng)絡，使得A 層網(wǎng)絡的傳播范圍進一步增大，為了驗證我們的想法，我們保持A 層網(wǎng)絡的感染率為0.18，B 層網(wǎng)絡的感染率βB為0.20、0.25 和0.50，A、B 層網(wǎng)絡的平均度都為6，初始時5 個傳染源在A 層網(wǎng)絡中開始傳播，同樣描述個體相信信息的時間來考察信息的傳播過程。如圖3 所示的是信息經(jīng)過一次傳播，可以看出信息首先在A 層網(wǎng)絡傳播，經(jīng)過一段時間后信息傳播到B 層網(wǎng)絡，而A 層網(wǎng)絡的傳播減少，但是一段時間之后，A 層網(wǎng)絡又開始傳播，這個過程使得A 層網(wǎng)絡的傳播規(guī)模增大。這個過程表明了感染率大的B層網(wǎng)絡的存在是怎樣促進A 層網(wǎng)絡的再次傳播。

圖3 網(wǎng)絡中被感染節(jié)點出現(xiàn)的時間

從圖3 還可以看出，似乎B 層網(wǎng)絡的感染率越大，對A 層網(wǎng)絡傳播的促進作用越大，因此，為了進一步驗證我們的猜想，我們還給出了A 層網(wǎng)絡中剛剛相信信息的活躍個體比例（I 態(tài)個體占A 層網(wǎng)絡總個體的比例）和信息傳播范圍即疲憊個體比例ρRA（R 態(tài)個體占A 層網(wǎng)絡總個體的比例）隨時間的變化規(guī)律，作為對比還考察了當不存在B 層網(wǎng)絡（可認為B 層網(wǎng)絡的平均度為0）、信息僅在A 層網(wǎng)絡中傳播時ρI0和ρR0隨時間的變化規(guī)律，如圖4 所示，圖中各點是經(jīng)過10000 次平均得來。從圖4（a）可以看出，當不存在B 層網(wǎng)絡時，A 層網(wǎng)絡中活躍個體的比例隨時間是先增大后減小的，增大的幅度不是很大，但當B 層網(wǎng)絡存在時，由于B層網(wǎng)絡的回傳作用，A 層網(wǎng)絡中活躍個體的比例隨時間明顯增加：B 層網(wǎng)絡中節(jié)點間的感染率越大，A 層網(wǎng)絡中活躍個體的數(shù)量增加越多、增速和降速都越快。圖4（b）清楚的表明隨著B 層網(wǎng)絡感染率的增加A 層網(wǎng)絡的傳播范圍顯著提高。這兩幅圖都表明B 層網(wǎng)絡的感染率越大，對A 層網(wǎng)絡的傳播范圍的促進作用越明顯。

圖4 A 層網(wǎng)絡中的活躍態(tài)個體和傳播范圍隨時間的變化規(guī)律

下文將詳細考察B 層網(wǎng)絡的感染率對A 層網(wǎng)絡的傳播范圍的影響，我們設置在A、B 層網(wǎng)絡的平均度相同時，將B 層網(wǎng)絡的感染率βB從0.08 到1.0 之間取值，分別考察了三個典型的A 層網(wǎng)絡感染率βA=0.16，0.18和0.20 下隨機選擇5 個傳染源時A 層網(wǎng)絡在傳播穩(wěn)定時的傳播范圍ρRA的變化規(guī)律。為了比較，我們還給出了只存在A 層網(wǎng)絡時網(wǎng)絡的傳播范圍ρR0。在A 層網(wǎng)絡的感染率不同的情況下A 層網(wǎng)絡的傳播范圍隨著B 層網(wǎng)絡的感染率的變化情況如圖5 所示。

圖5 在不同的感染率βA 下A 層網(wǎng)絡中的傳播范圍隨B 層網(wǎng)絡的感染率βB 的變化規(guī)律

從圖5 可以看出，無論A 層網(wǎng)絡的感染率取何值，隨著B 層網(wǎng)絡感染率的增加，A 層網(wǎng)絡的傳播范圍是單調(diào)遞增的，表明B 層網(wǎng)絡感染率越大越能促進A 層網(wǎng)絡傳播范圍的增加。

為了深入考察在不同的A 層網(wǎng)絡的感染率下所造成的B 層網(wǎng)絡對A 層網(wǎng)絡的影響程度，我們考察了存在和不存在B 層網(wǎng)絡時A 層網(wǎng)絡傳播范圍的差值ΔρR=ρRA－ρR0隨A 層網(wǎng)絡傳染率的變化關系，如圖6 所示。從圖可以看出這個差值隨著A 層網(wǎng)絡傳染率的單調(diào)增加，并不是單調(diào)變化的，而是先升高在βB≈0.18 附近取最大值然后再降低的。出現(xiàn)這個現(xiàn)象的原因是A 層網(wǎng)絡的傳播范圍受到B 層網(wǎng)絡影響的強弱，不僅與B 層網(wǎng)絡傳輸過來的信息次數(shù)有關，也與A 層網(wǎng)絡自身的傳播狀態(tài)有關，自身傳播的范圍如果已經(jīng)比較大了，那么即使傳過來的信息比較多作用同樣也不明顯。

圖6 在不同的感染率βA 下A 層網(wǎng)絡和僅有A 層網(wǎng)絡時的傳播范圍的差值隨B 層網(wǎng)絡的感染率βB 的變化規(guī)律

3 同時考察平均度與感染率

我們已經(jīng)知道，易傳層B 的平均度和感染率對難傳層A 都是有影響的，因此我們又考察了平均度與感染率的共同作用，我們通過調(diào)節(jié)B 層網(wǎng)絡的平均度和感染率，給出了A 層網(wǎng)絡傳播范圍的灰度圖，如圖7 所示。我們設置A 層網(wǎng)絡的感染率為0.18，平均度為6，橫坐標代表B 層網(wǎng)絡的平均度，從5 到20 的變化，縱坐標代表B層網(wǎng)絡的感染率，從0.16 到1.0 變化，灰度部分表示A 層網(wǎng)絡的傳播范圍。顯然B 層網(wǎng)絡的平均度和感染率都對A 層網(wǎng)絡的傳播范圍有影響，但兩者的結(jié)合能夠更容易地提高A 層網(wǎng)絡的傳播范圍。比如想令A 層網(wǎng)絡的傳播范圍達到0.28，如果βA=βB=0.16，那么B 層網(wǎng)絡的平均度要增大到非常大的值才可能（本圖未能顯示）；如果kB=kA=6，那么B 層網(wǎng)絡的感染率要達到0.42，如圖中左側(cè)的藍色正方形所示；而如果將B 層網(wǎng)絡的平均度與傳染率相結(jié)合就比較容易達到，比如圖中右側(cè)藍色正方形所標志的當B 層網(wǎng)絡的平均度取12，感染率取0.30時，就能將A 層網(wǎng)絡的傳播范圍增長到0.28 了。因此，我們說B 層網(wǎng)絡的平均度和感染率相結(jié)合更容易提升A 層網(wǎng)絡的傳播范圍。

圖7 在不同的感染率βB 和不同的平均度kB 下A 層網(wǎng)絡的傳播范圍的變化規(guī)律

4 利用B 層網(wǎng)絡的平均度來提高A 層網(wǎng)絡的傳播范圍

下面的研究工作表明，B 層網(wǎng)絡的存在會促進信息在難傳的A 層網(wǎng)絡中的傳播，因此，在這里我們試圖利用B 層網(wǎng)絡的這一作用來提高信息在A 層網(wǎng)絡中的傳播范圍。很容易知道，要想利用B 層網(wǎng)絡就需要將信息盡快地傳播到B 層網(wǎng)絡，如果我們僅能控制A 層網(wǎng)絡，那么最有效的辦法就是以A 層網(wǎng)絡中的橋梁節(jié)點為傳播源，使得信息以最快的速度傳播到B 層網(wǎng)絡，為了證明這一設想的有效性，我們對比考察了在A 層網(wǎng)絡中隨機選擇非橋梁節(jié)點為傳播源和選擇A 層網(wǎng)絡中的橋梁節(jié)點為傳播源對A 層網(wǎng)絡傳播范圍的影響，數(shù)值模擬的結(jié)果如圖8 所示。圖中給出了傳染率分別為0.16、0.18 和0.20 時兩種情況下A 層網(wǎng)絡的傳播范圍隨B層網(wǎng)絡的平均度的變化規(guī)律，從圖8 可以看出，當B 層網(wǎng)絡開始起作用后與在A 層網(wǎng)絡中隨機選非橋梁節(jié)點為傳播源相比，以橋梁節(jié)點為傳播源能夠明顯的提升A 層網(wǎng)絡的傳播范圍，并且B 層網(wǎng)絡的平均度越大效果越明顯。利用該方法能夠更有效地提高A 層網(wǎng)絡的傳播范圍。

圖8 在A 層網(wǎng)絡中，隨機選擇橋梁節(jié)點(target)和隨機選擇非橋梁節(jié)點(random)為傳播源時A 層網(wǎng)絡的傳播規(guī)模隨B 層網(wǎng)絡平均度的變化情況

5 結(jié)語

本文我們考察了在雙層網(wǎng)絡中，其它層網(wǎng)絡的存在（B 層）對難傳層網(wǎng)絡（A 層）傳播范圍的影響，研究結(jié)果表明B 層網(wǎng)絡的存在會有效的促進A 層網(wǎng)絡提高傳播范圍，并且B 層網(wǎng)絡的平均度越大效果越明顯。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，感染率的增加并不會一直促使A 層網(wǎng)絡的傳播范圍單調(diào)增加，過大的感染率會降低B 層網(wǎng)絡的作用，即使B 層網(wǎng)絡回傳給A 層網(wǎng)絡的信息次數(shù)明顯增多，這是因為感染率的增加會促進A 層網(wǎng)絡自身的傳播范圍，使得從B 層網(wǎng)絡回傳的信息沒有更大的傳播空間。此外，我們還利用B 層網(wǎng)絡的作用設計了提高A 層網(wǎng)絡傳播范圍的方法，即令傳播源為A 層網(wǎng)絡的橋梁節(jié)點，數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法能有效地增加A層網(wǎng)絡的傳播范圍。

我們的工作表明網(wǎng)絡中多層結(jié)構的存在會促進信息在網(wǎng)絡中的傳播，并且對信息相對難傳網(wǎng)絡的傳播范圍的促進作用更為明顯。本文我們考察的是平均度大的網(wǎng)絡層對信息的促進作用，實際上一些其他的網(wǎng)絡結(jié)構特征或個體特性也會促進信息的傳播，比如想在一個人群中推廣某類信息或某種行為，但該人群并不感興趣，那么就可以利用多層網(wǎng)絡結(jié)構的特點首先在另一個對此信息或行為感興趣的人群中先行推廣，然后利用社會加強作用使得信息或行為推廣到不感興趣的人群中。我們的工作考察了雙層結(jié)構對信息傳播的促進作用的根本原因，并提出了有效的提高難傳網(wǎng)絡傳播范圍的方法，相信我們的工作對于人們更好的理解多層網(wǎng)絡的結(jié)構對信息傳播的影響并利用這一影響提供了有價值的理論基礎。