黃振東 馮 茹 (江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 221116)

1 引言

單元復(fù)習(xí)課是在單元新知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)束后，對(duì)整個(gè)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行的再認(rèn)識(shí)．通過單元復(fù)習(xí)課，學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)再次完整地經(jīng)歷單元學(xué)習(xí)的全過程，進(jìn)行知識(shí)的深層次理解并建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，歸納和提煉方法策略，深化思想方法認(rèn)識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)．在教學(xué)實(shí)踐中，單元復(fù)習(xí)課往往被忽視，成為單一的知識(shí)復(fù)習(xí)課或者習(xí)題課，其應(yīng)有價(jià)值未得到體現(xiàn)．

學(xué)習(xí)進(jìn)階研究起源于美國科學(xué)教育界，現(xiàn)已滲透進(jìn)各門學(xué)科的理論與教學(xué)研究，成為教育研究的重要熱點(diǎn)之一，在課程、教學(xué)和評(píng)價(jià)等方面具有豐富的價(jià)值．美國國家研究委員會(huì)(National Research Council，即NRC)將學(xué)習(xí)進(jìn)階定義為描述學(xué)生對(duì)于某個(gè)主題連續(xù)的、更加熟練的思考方式，這些思考方式能隨著學(xué)生對(duì)這個(gè)主題的學(xué)習(xí)和探究依次連續(xù)發(fā)展[1]．基于學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行單元復(fù)習(xí)課教學(xué)能夠有效改善上述教學(xué)實(shí)踐問題，發(fā)揮單元復(fù)習(xí)課的應(yīng)有價(jià)值.本文以圓錐曲線為例，進(jìn)行實(shí)踐探究．

2 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)分析

2.1 整理知識(shí)結(jié)構(gòu)

圓錐曲線章節(jié)包含橢圓、雙曲線和拋物線三個(gè)平行的核心概念．從單元內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，三個(gè)核心概念涵蓋的知識(shí)內(nèi)容是同構(gòu)的，主要包括曲線定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、基本性質(zhì)等．從知識(shí)結(jié)構(gòu)看，橢圓、雙曲線和拋物線在幾何上統(tǒng)一于圓錐曲線的第一定義、在代數(shù)上統(tǒng)一于圓錐曲線的第二定義．從知識(shí)聯(lián)系的角度看，圓錐曲線的學(xué)習(xí)建立在直線、圓的方程和其他幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，并與之在知識(shí)銜接、方法運(yùn)用等方面有復(fù)雜的聯(lián)系．

2.2 明析進(jìn)階起點(diǎn)

2.3 確定進(jìn)階終點(diǎn)

進(jìn)階終點(diǎn)是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)等相關(guān)文件，以核心概念為中心制定的，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的預(yù)期，涵蓋了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、技能的掌握和思想方法的認(rèn)識(shí)等．在學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)情的基礎(chǔ)上結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)要求，將學(xué)習(xí)進(jìn)階終點(diǎn)設(shè)為：掌握圓錐曲線的定義、方程等基本概念，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，能夠利用以上的知識(shí)并結(jié)合“直線、圓的方程”等知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題，深入體會(huì)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法，形成新的認(rèn)知體系，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

3 進(jìn)階變量與教學(xué)設(shè)計(jì)

進(jìn)階變量是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程的觀測點(diǎn)，追蹤學(xué)生在這些變量上的發(fā)展可以了解其整體學(xué)習(xí)進(jìn)程[2]．進(jìn)階終點(diǎn)涵蓋知識(shí)與技能變量、思想與方法變量、核心素養(yǎng)變量．其中知識(shí)與技能是思想與方法的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)二者又承載著發(fā)展核心素養(yǎng)的任務(wù)．最終，三者都在問題解決過程中得到具體表現(xiàn)．在此，選擇知識(shí)深度模型[3](Depth of Knowledge，簡稱DOK)作為建構(gòu)學(xué)習(xí)進(jìn)階的理論基礎(chǔ)，從問題解決的角度將學(xué)生的學(xué)習(xí)劃分為四個(gè)遞進(jìn)水平，描繪學(xué)生在圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課上的進(jìn)階過程．

3.1 進(jìn)階水平1：知識(shí)復(fù)述，簡單應(yīng)用

DOK的復(fù)述、記憶水平要求學(xué)生能夠回憶事實(shí)、概念和過程，進(jìn)行簡單的運(yùn)算和公式應(yīng)用[3]．學(xué)生在此階段回憶和復(fù)述圓錐曲線的知識(shí)，系統(tǒng)認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)圓錐曲線的知識(shí)進(jìn)行簡單的運(yùn)用．

問題1我們已經(jīng)完成了圓錐曲線單元知識(shí)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能否有條理地總結(jié)所學(xué)知識(shí)？請大家分小組討論．

目前，我國股票市場正處于快速發(fā)展階段，在始于2015年的“股災(zāi)”還未完全消退的背景下研究中國股票市場與國際股票市場間的相依性問題，對(duì)金融市場的風(fēng)險(xiǎn)控制、金融監(jiān)管以及對(duì)投資者投資策略構(gòu)建等均具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

(1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

(2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

(3)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；

(4)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．

設(shè)計(jì)意圖概念復(fù)習(xí)和技能訓(xùn)練是復(fù)習(xí)課的必要內(nèi)容．又因是單元復(fù)習(xí)課，知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固不應(yīng)只是簡單的復(fù)述和程序化訓(xùn)練．知識(shí)的回憶與基礎(chǔ)的鞏固應(yīng)當(dāng)有橫向的拓展．圓錐曲線的知識(shí)本身就具有較高的系統(tǒng)性，問題1通過學(xué)生總結(jié)匯報(bào)、教師點(diǎn)評(píng)修正的方式，回憶、復(fù)述知識(shí)，幫助學(xué)生從整體視角認(rèn)識(shí)知識(shí)，為新知識(shí)建構(gòu)做準(zhǔn)備．這即契合進(jìn)階起點(diǎn)，又是單元復(fù)習(xí)課的應(yīng)有之意．問題2和問題3不僅限于公式套用，而是使問題達(dá)到復(fù)習(xí)課應(yīng)有的難度，并且在其中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想中的“以形解數(shù)”．經(jīng)過概念復(fù)述和問題解決，學(xué)生達(dá)到進(jìn)階水平1，即不僅能復(fù)述概念而且能簡單應(yīng)用．

3.2 進(jìn)階水平2：知識(shí)應(yīng)用，概念整合

DOK的概念、應(yīng)用水平要求學(xué)生運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行更多的智力運(yùn)算，以解決較為復(fù)雜的問題[3].在此過程中使知識(shí)結(jié)構(gòu)更具系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，是概念整合與知識(shí)應(yīng)用的關(guān)鍵階段．

(3)已知點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，M,N是拋物線上的點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為5，求MF+NF的值．

追問3 聯(lián)系前幾個(gè)問題的結(jié)論，能否從這一角度重新定義圓錐曲線呢？

設(shè)計(jì)意圖問題4強(qiáng)調(diào)圓錐曲線知識(shí)的靈活運(yùn)用，加深對(duì)圓錐曲線定義的認(rèn)識(shí)，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)．問題5從具體問題出發(fā)，逐步抽象，將圓錐曲線統(tǒng)一于第二定義，其間的三個(gè)追問幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含內(nèi)容，推進(jìn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的進(jìn)程．這樣的問題設(shè)計(jì)，運(yùn)用之前學(xué)習(xí)的“點(diǎn)距”“軌跡方程”的求解方法和“以數(shù)解形”思想，提高知識(shí)運(yùn)用能力的同時(shí)，使原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到強(qiáng)化并更加立體化，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平達(dá)到進(jìn)階水平2．

3.3 進(jìn)階水平3：提煉方法，體系建構(gòu)

DOK的策略水平要求學(xué)生能夠進(jìn)行推理、解釋，需要更高的思維能力[3]．一方面，應(yīng)當(dāng)更進(jìn)一步聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，建立直線、圓和圓錐曲線的知識(shí)結(jié)構(gòu)；另一方面，還應(yīng)探究解決圓錐曲線相關(guān)問題的一般方法．因此，本階段應(yīng)兼顧新舊知識(shí)整合和方法探究．

問題7已知圓C:(x-x0)2+(y-y0)2=1的圓心在直線bx-ay+4a=0上，若雙曲線的右支與圓C不相交，求雙曲線離心率的取值范圍．

問題8點(diǎn)P是拋物線C1:y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn)，M,N是y軸上動(dòng)點(diǎn)，圓C2:(x-2)2+y2=4是△PMN的外切圓，求△PMN面積的最小值．

設(shè)計(jì)意圖問題6～問題8在難度上有了較大的提升，這種提升是對(duì)DOK策略水平兩個(gè)方面要求的具體表現(xiàn)．首先，涵蓋的知識(shí)面擴(kuò)大．問題中聯(lián)系直線與圓的知識(shí)，在問題解決過程中需要學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合、靈活的運(yùn)用．其次，思想方法的提煉．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在問題中綜合運(yùn)用，并形成解決該類問題的一般方法——函數(shù)法．在這一階段，學(xué)生在綜合運(yùn)用知識(shí)和感受數(shù)學(xué)思想、提煉數(shù)學(xué)方法的過程中，提升數(shù)學(xué)技能，從方法的角度統(tǒng)一對(duì)直線、圓和圓錐曲線的認(rèn)識(shí)，建立新認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到進(jìn)階水平3．

3.4 進(jìn)階水平4：拓展探究，素養(yǎng)提升

DOK的拓展性思維水平要求學(xué)生能夠進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)探究[3]，在此過程中進(jìn)行更為復(fù)雜的推理和思考，并聯(lián)系相關(guān)知識(shí)設(shè)計(jì)方案解決問題．

問題9當(dāng)圓錐曲線的焦點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，如何列出圓錐曲線的方程？

追問 方程形如x2=2py的拋物線與二次函數(shù)圖象一致，雙曲線是否也有形似的函數(shù)圖象？如何驗(yàn)證反比例函數(shù)圖象是雙曲線呢？

問題10經(jīng)過三十余年的發(fā)展，我國突破國外技術(shù)封鎖，獨(dú)立自主建造了中國空間站——天宮空間站，我們的航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲于2022年6月5日成功進(jìn)入天和核心艙，并將按計(jì)劃開展相關(guān)工作．空間站的在軌高度為400～450 km，假設(shè)其運(yùn)行軌跡近似為橢圓，我們能否確定其焦點(diǎn)，并建立合適的坐標(biāo)系以確定其軌跡方程？

追問 對(duì)于任意的一段曲線，能否判定它是否是圓錐曲線的一種？如果是，如何求出其對(duì)應(yīng)方程？

設(shè)計(jì)意圖問題9及追問是圓錐曲線一般問題的拓展，從平移的圓錐曲線到旋轉(zhuǎn)的圓錐曲線的圖象和方程，激發(fā)學(xué)生探究和思考．問題10以現(xiàn)實(shí)問題為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，其間融入愛國主義教育，激發(fā)學(xué)生民族自豪感．這一階段聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，前三個(gè)階段的知識(shí)、方法也在這一探究過程中得到綜合體現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、能力和素養(yǎng)得到進(jìn)一步綜合發(fā)展和提高，數(shù)學(xué)情感和價(jià)值觀得到提升．

4 總結(jié)與反思

學(xué)習(xí)進(jìn)階以其特有的價(jià)值正成為教育領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[4]．在本節(jié)課中，依據(jù)DOK理論，選取解決問題所需的認(rèn)知復(fù)雜度作為進(jìn)階變量，將核心素養(yǎng)發(fā)展作為主要目標(biāo)，形成了以問題解決為主線，以認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)和思想方法認(rèn)識(shí)為兩條輔線的進(jìn)階路徑．

具體來看，在進(jìn)階水平1至水平3，通過解決一系列的問題，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到完善并逐步形成認(rèn)知體系，知識(shí)的運(yùn)用能力得到提升，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深入，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)始終貫穿其中．在進(jìn)階水平4，通過拓展題和探究題使學(xué)生的知識(shí)、能力和方法得到綜合運(yùn)用，形成認(rèn)知體系，推動(dòng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)一步提升的同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感和價(jià)值觀．

最后，應(yīng)指出的是，將學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)用于實(shí)踐教學(xué)中還應(yīng)注意進(jìn)階的過程性和進(jìn)階路徑的不唯一性．因此，本文教學(xué)設(shè)計(jì)中的問題可作為研究的案例，具體教學(xué)中可視學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑鰟h，教學(xué)課時(shí)也可適當(dāng)安排增減．