朱 磊，李鳳明，陳永訢

（1.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.海洋石油工程股份有限公司，天津 300461）

0 引 言

立管是連接海面平臺與海底井口的重要通道，其渦激振動問題長期受到工程領(lǐng)域的關(guān)注。在一定來流作用下，立管兩側(cè)產(chǎn)生周期性的旋渦瀉放，從而產(chǎn)生周期性的脈動壓力，引發(fā)立管結(jié)構(gòu)的劇烈振動，在復(fù)雜多變的海洋載荷作用下，立管表現(xiàn)出復(fù)雜的振動特性，尤其是與海洋平臺相連接的立管，海洋平臺的大幅垂蕩與立管自身渦激振動相互耦合，對立管的安全生產(chǎn)造成了嚴(yán)重影響[1-2]。

在復(fù)雜的海洋環(huán)境條件下，海洋平臺垂蕩和立管渦激振動的耦合振動響應(yīng)，表現(xiàn)出的振動形式更加復(fù)雜。這一問題，尤其是立管結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，引起很多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。Chatjigeorgiou 和Mavrakos[3-4]分別采用多尺度方法和數(shù)值方法分析了細(xì)長柔性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題，并討論了阻尼對穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明，細(xì)長柔性結(jié)構(gòu)失穩(wěn)主要出現(xiàn)在一階不穩(wěn)定區(qū)，高階失穩(wěn)可能性較小，阻尼可以顯著減小不穩(wěn)定區(qū)的大??；Sinir[5]研究了微彎曲管道輸送流體時的非線性振動，給出了不同振幅的曲率函數(shù)和流體速度的分岔圖，在微彎曲管道輸送流體的橫向振動中，觀察到了周期運(yùn)動和混沌運(yùn)動現(xiàn)象；Keber 和Wiercigroch[6]研究了結(jié)構(gòu)非線性對二維輸油管道渦激振動響應(yīng)的影響，指出內(nèi)部流體流動可以加強(qiáng)結(jié)構(gòu)非線性對管道動力學(xué)響應(yīng)的影響；Kuiper 等[7]采用Floquet 理論，分別討論了參激振動穩(wěn)定性問題和劇烈海況下立管底部出現(xiàn)負(fù)張力從而產(chǎn)生局部屈曲而導(dǎo)致的失穩(wěn)問題。除穩(wěn)定性問題之外，He 等[8]采用Galerkin 離散的方法研究了平臺橫向振動作用下立管的振動特性；唐友剛等[9]建立了柔性立管參激—渦激耦合振動的計(jì)算模型，計(jì)算了剪切流下立管振動響應(yīng)特性；陳偉民等[10]考慮參激—渦激耦合效應(yīng)，采用有限元方法離散立管模型，結(jié)果表明，立管振動響應(yīng)幅值隨振動模態(tài)階數(shù)的降低而增大，同時出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象。

可以看出，上述研究分別針對頂張力立管順流向和橫流向的非線性動力學(xué)響應(yīng)，以及變張力作用下頂張力立管橫流向渦激振動響應(yīng)的影響進(jìn)行研究。但是，將兩者結(jié)合研究的文獻(xiàn)很少，本文結(jié)合兩方面的工作，將目前研究變張力對頂張力立管橫流向渦激振動響應(yīng)的影響拓展為二維問題，豐富了變張力對頂張力立管順流向渦激振動響應(yīng)的研究內(nèi)容，且以往文獻(xiàn)對于立管渦激振動響應(yīng)的預(yù)報大多采用有限元法，本文將采用Hamilton 原理和Galerkin 方法建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程，避免了采用有限元法的繁瑣。

基于上述分析，本研究針對海洋平臺垂蕩運(yùn)動，將其簡化為軸向變化的頂張力，同時以Euler-Bernoulli 梁模型對立管結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，采用Hamilton 原理建立頂張力立管結(jié)構(gòu)的二維非線性運(yùn)動方程，并對運(yùn)動方程進(jìn)行無量綱化，采用Galerkin 方法對立管和渦尾跡的非線性方程進(jìn)行離散，并用四階Runge-Kutta方法進(jìn)行求解，對可變頂張力立管的二維非線性渦激振動特性進(jìn)行研究。通過與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文方法和數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可行性和正確性。

1 建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

1.1 結(jié)構(gòu)模型

研究中的立管模型如圖1所示。定義了一個笛卡爾坐標(biāo)系，x軸為沿立管軸向，y軸為沿來流速度方向（IL 方向），z軸為垂直于來流速度方向（CF 方向）。該系統(tǒng)由一個兩端鉸接柔性立管組成，輸送內(nèi)部流體，柔性立管系統(tǒng)置于外部流體中。

采用Hamilton原理和Galerkin方法建立立管的非線性運(yùn)動方程。Hamilton原理表示為

式中，Ttotal和Vtotal分別表示系統(tǒng)的總動能和總勢能，WI為外力做的功，t為時間。

系統(tǒng)的總動能Ttotal包括空立管的動能T1和內(nèi)部流體的動能T2，它們分別表示為

式中：mr為單位長度立管的質(zhì)量；ma為單位長度附加流體質(zhì)量，ma=CaπD2ρ0/4，D為立管的外徑，ρ0為管外流體密度，Ca為附加流體質(zhì)量系數(shù)，取Ca=1；mi為單位長度內(nèi)部流體的質(zhì)量；V和W分別為立管沿y軸和z軸的位移；L是立管的長度；Ui為管內(nèi)流體流速。

系統(tǒng)的總勢能Vtotal由立管的彎曲勢能V1、重力勢能V2和軸向拉伸勢能V3構(gòu)成，它們分別表示為

圖1 立管示意圖Fig.1 Schematic of riser

式中，EI和EAr分別為立管的彎曲剛度和拉伸剛度，A為立管排開水的截面面積，Ar為立管管材的截面面積，g為重力加速度，Ttension為軸向拉伸引起的非線性張力，Te為平臺頂張力，εs為立管的應(yīng)變。

由于本文研究的重點(diǎn)是立管的非線性動力學(xué)響應(yīng)，因此需要考慮立管軸向應(yīng)變引起的幾何非線性。根據(jù)Jiang等[11]的工作，由軸向拉伸引起的非線性張力表示為

立管的應(yīng)變εs表示為

式中，O（∈4）（∈＜＜1）為高階小量。

外力做的虛功為

式中，cs為結(jié)構(gòu)阻尼，cf為流體附加阻尼，F(xiàn)y和Fz為管外流體作用在立管上的水動力。

將式（2）～（8）代入到式（1）中，利用變分原理，立管的IL 方向和CF 方向耦合的非線性偏微分運(yùn)動方程可表示為[12]

式中，m為單位長度系統(tǒng)的總質(zhì)量，m=mr+mi+ma。結(jié)構(gòu)阻尼cs和流體附加阻尼cf可表示為[12]

式中：ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比，取ζ=0.05；ωr為立管振動的角頻率；?為水動力阻尼系數(shù)，根據(jù)Skop 等[13-14]的研究，取?=0.8；ωs為旋渦脫落的角頻率，可表示如下：

式中：Ue為來流速度；St為斯特勞哈爾數(shù)（Strouhal number），取St=0.2。

頂端海洋平臺垂蕩運(yùn)動作用下立管頂張力可表示為[9]

式中，T0為預(yù)張力，T為可變張力幅值，?為可變張力的頻率(即海洋平臺垂蕩的頻率)。

本模型的簡支邊界條件可表示為[15]

1.2 水動力和尾流振子模型

式（9）和式（10）中的Fy和Fz分別為IL 方向和CF 方向作用在立管上的水動力。對于固定圓柱結(jié)構(gòu)，F(xiàn)y和Fz分別與拖拽力fD和渦激升力fL相關(guān)，fD和fL的作用方向與IL和CF方向一致。然而，當(dāng)立管在水動力作用下發(fā)生振蕩時，拖拽力fD和渦激升力fL不再完全作用在y軸和z軸方向上。Fy和Fz可以表示為[16]

式中，fD可以看作是尾渦脫落的脈動拖拽力，fD0是作用在立管上的平均拖拽力，fL是作用在立管上的渦激升力。

此外，fD、fD0、fL可以分別進(jìn)一步表示為[16]

式中，CDi是尾渦脫落的拖拽力系數(shù)，CD0是靜止圓柱體的平均拖拽力系數(shù)，CL是升力系數(shù)。

立管漩渦脫落區(qū)尾流特性本文采用的是基于van der Pol方程的尾流振子模擬，該方法是一種半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒椒?，不考慮具體的流場結(jié)構(gòu)，而將流體和其中的振蕩物體視為一個整體系統(tǒng)，把尾流看成是一個非線性振子，尾流振子的振動引起結(jié)構(gòu)的振動，反過來，結(jié)構(gòu)的振動又對尾流有一個反饋的作用。

根據(jù)Facchinetti等[16]和Srinil等[17-18]的研究，van der Pol尾流振子模型方程如下：

式中，εy、εz、Ay和Az是由實(shí)驗(yàn)得到的無因次參數(shù)，p(x,t)和q(x,t)分別表示IL和CF方向的尾流變量。

通過公式p(x,t)= 2CDi/CDi0和q(x,t)= 2CL/CL0，結(jié)構(gòu)模型與尾流振子模型建立了聯(lián)系，且Fy和Fz整理后可以進(jìn)一步表示為

式中，根據(jù)文獻(xiàn)[17]，取CDi0=0.1，CD0=2.0，CL0=0.3。

Wang等[12]的研究中，討論了三維柔性管振動中參數(shù)的選取，當(dāng)四個無量綱參數(shù)設(shè)置為εy=0.02，εz=0.04，Ay=96和Az=12時，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。需要注意，van der Pol尾流振子模型是半經(jīng)驗(yàn)半解析的，該經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃雎粤藴u型和渦強(qiáng)等細(xì)節(jié)。然而，用van der Pol 模型預(yù)測的立管渦激振動響應(yīng)與直接數(shù)值模擬預(yù)測的結(jié)果吻合較好。

1.3 Galerkin離散化

借助于下列無因次量：

式（9）、式（10）、式（19）、式（20）的耦合方程可以寫成以下無量綱形式：

為了離散立管和尾流的無量綱運(yùn)動方程，采用以下Galerkin離散化方案[19]：

式中，φi(ξ)= 2 sin( )iπξ是簡支梁的本征函數(shù)(τ)、(τ)、(τ)、(τ)是相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

為了保證結(jié)果的收斂性，在接下來的分析中，截取前六階模態(tài)N=6。將式（27）～（28）代入式（23）～（26），等式兩邊乘以φi(ξ)，從0到1積分，然后利用模態(tài)的正交性，可以將偏微分方程轉(zhuǎn)化為一組常微分方程：

利用四階Runge-Kutta法可以進(jìn)一步數(shù)值求解離散化的常微分方程，得到結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)等物理量。

2 模型驗(yàn)證

埃克森美孚公司Lehn[20]在挪威海洋工程研究中心測試了垂直立管模型在均勻流和剪切流中的渦激振動響應(yīng)。Wang 和Xiao[21]利用CFD 方法模擬了立管在均勻流作用下的渦激振動響應(yīng)。立管的主要參數(shù)：立管長度為9.63 m，外徑為20 mm，壁厚為0.45 mm，質(zhì)量比為2.23，長細(xì)比為481.5，頂張力為817 N，彈性模量E=1.025×1011N/m2，抗彎剛度EI=135 N·m2。不考慮結(jié)構(gòu)阻尼，立管垂直安裝，兩端鉸接。

針對不同的來流速度，IL 和CF 方向的渦激振動運(yùn)動軌跡沿立管長度的分布分別如圖2～3 所示。當(dāng)Ue=0.2 m/s 時，計(jì)算結(jié)果如圖2 所示：對于IL 方向，用本理論模型預(yù)測的運(yùn)動軌跡表明，振動以第二階模態(tài)為主，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和CFD 仿真結(jié)果一致，且IL 方向振幅的數(shù)值計(jì)算結(jié)果也是可以接受的；對于CF方向，用本理論模型預(yù)測的運(yùn)動軌跡表明，振動以第一階模態(tài)為主，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和CFD仿真結(jié)果一致，且CF 方向振幅的數(shù)值計(jì)算結(jié)果也是可以接受的。當(dāng)Ue=0.42 m/s時，計(jì)算結(jié)果如圖3所示，對于IL 方向，用本理論模型預(yù)測的運(yùn)動軌跡表明，振動以第三階模態(tài)為主，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和CFD 仿真結(jié)果一致；對于CF 方向，用本理論模型預(yù)測的運(yùn)動軌跡表明，振動以第二階模態(tài)為主，這與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和CFD 仿真結(jié)果一致。由于本文考慮了立管非線性效應(yīng)的影響，致使采用本文方法計(jì)算的立管響應(yīng)包絡(luò)圖幅值小于文獻(xiàn)[20-21]中的實(shí)驗(yàn)和CFD仿真計(jì)算結(jié)果。

圖2 立管運(yùn)動軌跡的比較（Ue=0.2 m/s）Fig.2 Comparison of the riser’s response envelopes for Ue=0.2 m/s

圖3 立管運(yùn)動軌跡的比較（Ue=0.42 m/s）Fig.3 Comparison of the riser’s response envelopes for Ue=0.42 m/s

3 頂張力對立管渦激振動的影響

本章計(jì)算采用的立管模型及工況主要參數(shù)如表1所示。

表1 立管模型的參數(shù)Tab.1 Parameters of the riser model

3.1 頂張力對立管固有頻率的影響

在研究有支撐的管道輸送流體的動力學(xué)過程中，可以很容易地用線性理論預(yù)測最低的幾階固有頻率。根據(jù)線性理論，將式（22）和式（23）中的非線性項(xiàng)、外流激勵項(xiàng)和重力項(xiàng)去掉，整理后得到

圖4 為Ui=0，T0=0～460.42 kN，T=0 時，頂張力在該區(qū)間變化時對立管固有頻率的影響。選取立管前四階固有頻率進(jìn)行研究，結(jié)果表明：相同階次下的立管固有頻率隨頂張力增加逐漸增大，并且隨著立管固有頻率階次增加，立管的固有頻率隨頂張力的變化越快。立管固有頻率隨頂張力的變化規(guī)律可以很好地解釋下文的模態(tài)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象。

3.2 頂張力作用下的立管渦激振動模態(tài)轉(zhuǎn)換

為了考察平臺運(yùn)動對立管渦激振動的影響，取兩種計(jì)算狀態(tài)：（1）立管上只作用渦升力，海洋平臺固定不動；（2）立管上作用渦升力，同時海洋平臺沿軸向（x軸）做簡諧運(yùn)動。

立管在水中的濕重為（mr+mi-ρ0A）gL=160.42 kN，文中Te（t）為立管頂部的張力，為了保證立管底部不出現(xiàn)負(fù)張力，必須滿足Te（t）=T0+Tsin（2πft）≥160.42 kN。第一種計(jì)算狀態(tài)：不考慮平臺運(yùn)動，即T=0，為了滿足Te（t）=T0+Tsin（2πft）≥160.42 kN，取T0=160.42 kN。第二種計(jì)算狀態(tài)：可變張力部分取T=150 kN，為了滿足Te（t）=T0+Tsin（2πft）≥160.42 kN，取T0=310.42 kN。

圖5 給出了當(dāng)預(yù)張力T0=160.42 kN，變張力幅值T=0，外部流體流速Ue=0.2 m/s 時，立管的位移響應(yīng)。從圖5（c）中可以看出，立管IL 方向的位移響應(yīng)對應(yīng)第三階模態(tài)，從圖5（d）中可以看出立管CF 方向的位移響應(yīng)對應(yīng)第二階模態(tài)。

圖4 頂張力對立管固有頻率的影響Fig.4 Effect of top tension on the natural frequency of the riser

圖5 立管的位移響應(yīng)（T0=160.42 kN）Fig.5 Displacement response of the riser(T0=160.42 kN)

圖6 給出了當(dāng)預(yù)張力T0=460.42 kN，變張力幅值T=0，外部流體流速Ue=0.2 m/s 時，立管的位移響應(yīng)。從圖6（c）中可以看出立管IL方向的位移響應(yīng)對應(yīng)第二階模態(tài)，從圖6（d）可以看出立管CF方向的位移響應(yīng)對應(yīng)第一階模態(tài)。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，不同頂張力作用下立管的渦激振動模態(tài)發(fā)生了變化。

圖6 立管的位移響應(yīng)（T0=460.42 kN）Fig.6 Displacement response of the riser(T0=460.42 kN)

時變頂張力作用下立管的耦合位移響應(yīng)見圖7，此時，外部流體流速Ue=0.2 m/s，預(yù)張力T0=310.42 kN,變張力幅值T=150 kN，平臺垂蕩頻率f=0.002 Hz。從圖7（a）可見，t=4850 s附近立管IL方向的位移響應(yīng)V=0.3368～0.4122 m，此刻IL 方向的耦合位移響應(yīng)與圖5 相比基本相同；t=4850～5122 s，立管IL 方向的位移響應(yīng)先減小后增大（V=Vmax-（Vmax+Vmin）/2）；t=5122 s 附近立管IL 方向的耦合位移響應(yīng)V=0.0873～0.1283 m，此刻IL 方向的耦合位移響應(yīng)與圖6 相比略有減小。從圖7（b）可以看出，t=4850 s 附近立管CF 方向的耦合位移響應(yīng)W=-0.172～0.1722 m，此刻CF 方向的耦合位移響應(yīng)與圖5 相比基本相同；t=4850～5122 s，立管CF方向的耦合位移響應(yīng)先減小后增大；t=5122 s附近立管CF方向的耦合位移響應(yīng)W=-0.0893～0.0893 m，此刻CF方向的耦合位移響應(yīng)與圖6相比基本相同。經(jīng)上述對比發(fā)現(xiàn)，立管IL方向的耦合位移響應(yīng)在第二模態(tài)和第三模態(tài)之間周期性交替出現(xiàn)，立管CF方向的耦合位移響應(yīng)在第一模態(tài)和第二模態(tài)之間周期性交替出現(xiàn)，且隨著張力的變化，立管的耦合位移響應(yīng)幅值周期性地先減小后增大。這種現(xiàn)象的發(fā)生，主要是由于立管軸向張力的變化，使得立管固有頻率隨之變化，從而導(dǎo)致立管發(fā)生耦合位移響應(yīng)的主要模態(tài)交替出現(xiàn)。

圖7 立管的耦合位移響應(yīng)（f=0.002 Hz）Fig.7 Coupled-displacement responses of the riser(f=0.002 Hz)

與圖7相同工況下，僅將平臺垂蕩頻率變?yōu)閒=0.008 Hz，立管的耦合位移響應(yīng)見圖8。經(jīng)對比可以發(fā)現(xiàn)，平臺垂蕩頻率對立管IL 方向的耦合位移響應(yīng)影響較小，但對立管CF 方向的耦合位移響應(yīng)影響較大。這可能是由于高頻激勵作用下張力變化較快，所產(chǎn)生的影響尚未充分發(fā)展，張力就已經(jīng)改變，因此沒有產(chǎn)生較大的耦合振動響應(yīng)。

圖8 立管的耦合位移響應(yīng)（f=0.008 Hz）Fig.8 Coupled-displacement responses of the riser(f=0.008 Hz)

4 結(jié) 論

本研究考慮了內(nèi)部流體作用下平臺頂張力對立管非線性動力學(xué)特性的影響，研究了平臺垂蕩和立管渦激振動的耦合振動響應(yīng)，并與立管單獨(dú)渦激振動結(jié)果進(jìn)行了比較。通過與已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文分析方法的合理性。本研究得到了如下結(jié)論:

（1）在考慮海洋平臺垂蕩和立管自身渦激振動的耦合振動響應(yīng)時，由于海洋平臺的劇烈運(yùn)動導(dǎo)致頂張力大幅度周期性變化，從而改變了立管的固有頻率，在一定來流速度下，引發(fā)立管產(chǎn)生不同模態(tài)的渦激振動。

（2）隨著頂張力的變化，立管的耦合響應(yīng)在相鄰模態(tài)間轉(zhuǎn)化，立管的耦合位移響應(yīng)幅值周期性地先減小后增大，且隨著平臺垂蕩頻率的增加，立管CF方向的耦合位移響應(yīng)反而減小。