楊慧 韓龍淑 王文靜

摘? ? ? 要 立足于普通高中數(shù)學課程教學，對新教材必修課程中可高效進行可視化教學的內(nèi)容，以及可視化教學的三個遞進層面進行了詳細的梳理與分析。為更好地優(yōu)化高中數(shù)學課堂教學，提出了注重設計數(shù)學實驗，引導學生深入探究、注重數(shù)學語言的互譯，闡釋內(nèi)容本質(zhì)、注重經(jīng)典題目的變式，發(fā)展創(chuàng)新思維的可視化教學實施策略，為在各類中學運用GGB可視化教學提供思路和方法。

關 鍵 詞 核心素養(yǎng)? 可視化教學? GGB軟件? 高中數(shù)學課程

引用格式 楊慧，韓龍淑，王文靜.基于GGB的高中數(shù)學課程可視化教學研究[J].教學與管理，2023（28）：33-36.

《“十四五”國家信息化規(guī)劃》明確指出要“推進信息技術(shù)、智能技術(shù)與教育教學融合的教育教學變革”。數(shù)學是自然科學的重要基礎。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，應發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)[1]。高中數(shù)學必修課程的學業(yè)要求部分強調(diào)了學會運用自然語言、圖形語言、符號語言表達數(shù)學研究對象；能夠從圖象的幾何直觀角度理解數(shù)學抽象概念的意義；能夠通過3D直觀圖理解掌握空間圖形及組合體的基本性質(zhì)和特點；能夠運用數(shù)據(jù)處理的方法從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征推斷整體；能夠在數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動中使用信息技術(shù)。

新版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊和第二冊在信息技術(shù)模塊引入了GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件研究數(shù)學問題，與此同時人教智慧教學平臺實現(xiàn)了GGB在數(shù)字教材中的嵌入，創(chuàng)新了人教數(shù)字教材與學科工具的結(jié)合，能夠更好地支持自主、合作、探究等教學方式。本研究旨在探索GGB自然融入到數(shù)學課堂可視化教學的途徑及方法，進而促進現(xiàn)代化教育技術(shù)與高中數(shù)學課堂教學深度融合。

一、基于GGB數(shù)學可視化教學的內(nèi)涵

可視化是指利用計算機圖形學和圖象處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形或圖象，并可以進行交互的理論、方法、技術(shù)[2]。數(shù)學可視化（Mathematics visualization）就是將抽象的數(shù)學學習對象（概念原理、結(jié)構(gòu)關系、思想方法等）用可看見的表征形式（圖形、圖象、動畫等）清楚直白地呈現(xiàn)出來，使人們對數(shù)學學習對象有一個形象、直觀、整體的認識和理解[3]。高中數(shù)學具有很強的抽象性，數(shù)學教師可以通過解決具體問題時的過程演練、邏輯推理等方法提升學生的抽象思維能力，也就是說抽象思維能力的培養(yǎng)不僅需要推理能力，還需要直觀感知和想象力。數(shù)學可視化教學建立了視覺直觀到數(shù)學抽象思維的認識過程。數(shù)學可視化教學就是指利用外部表征方式呈現(xiàn)研究對象的本質(zhì)屬性、基本特征等，進而幫助學生理解數(shù)學、掌握數(shù)學和建構(gòu)數(shù)學。

可視化教學離不開可視化工具和軟件。在中學數(shù)學教學中運用較多的是幾何畫板，但隨著高中數(shù)學新教材的使用，GGB軟件及應用受到了廣泛的關注，軟件在平面作圖及演示、數(shù)據(jù)統(tǒng)計與處理、空間位置與結(jié)構(gòu)等方面都有很強的處理能力。特別是GGB軟件在動態(tài)圖形制作展示和3D效果呈現(xiàn)方面具有強大的功能。GGB主要是通過工具或指令來實現(xiàn)，指令的嵌套可以實現(xiàn)更為復雜的動態(tài)課件制作。

基于GGB的數(shù)學可視化教學是指借助GGB軟件進行可視化教學設計，進行課堂實踐教學。具體包括：借助GGB創(chuàng)設情境，激發(fā)求知欲望；實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，加深概念的理解；演示動態(tài)過程，獲得知識的形成；實驗操作，感受成功的喜悅。為了提升學生的六大核心素養(yǎng)，學生需要借助數(shù)學語言和工具更好地理解和運用數(shù)學原理，為高階數(shù)學學習奠定基礎。

二、GGB環(huán)境下高中數(shù)學教學內(nèi)容分析

高中數(shù)學課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動四條主線。每條主線包含的典型內(nèi)容可以借助信息技術(shù)輔助教學，很多內(nèi)容可基于GGB進行可視化教學設計并真正在課堂上發(fā)揮重要的作用?？紤]到教學內(nèi)容本身的難度及學生的認知特點，必修一與必修二中函數(shù)及立體幾何初步兩大部分內(nèi)容是整個高中階段學生學習的重點與難點。函數(shù)部分集中在初等函數(shù)及圖象性質(zhì)的研究，特別三角函數(shù)部分涉及到了通過變換的方式研究問題，自然可以通過信息技術(shù)可視化進行教學；而立體幾何中點線面間的位置判別，以及幾何體的表面積及體積等的研究也離不開數(shù)學軟件的支撐。

1.函數(shù)教學內(nèi)容可視化

基本初等函數(shù)及其性質(zhì)的教學采用數(shù)學軟件輔助教學可起到事半功倍的作用。對于函數(shù)圖象、性質(zhì)的研究可以借助GGB設置列表、描點、連線，且在列表時可以將自變量的取值錄入輸入?yún)^(qū)，相應的函數(shù)值會出現(xiàn)在列表中，繪圖區(qū)顯示該點，其位置清晰可見。對于某一類函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等可以借助表格區(qū)批量繪制函數(shù)圖象。批量繪制指數(shù)函數(shù)時，可先打開表格區(qū)，在表格第一列產(chǎn)生一個序列，第二列B1單元格錄入A1^x，然后右擊單元格，選中顯示對象和標簽，此時繪圖區(qū)就會呈現(xiàn)該函數(shù)圖象。然后將鼠標移至單元格B1右下角，向下拖動，會產(chǎn)生一系列指數(shù)函數(shù)，并在繪圖區(qū)批量顯示[4]。為增強直觀效果，可在屬性對話框設置動態(tài)顏色進行區(qū)分，函數(shù)的特征、性質(zhì)清晰可見。關于三角函數(shù)的研究主要是從變換的角度研究的，會涉及平移變換和縮放變換，教師可通過GGB變換工具或變換指令進行設計，變換的過程可以逐步動態(tài)呈現(xiàn)，使學生重構(gòu)深層思維，理解并掌握教學內(nèi)容，達成教學目標。

2.立體幾何教學內(nèi)容可視化

立體幾何內(nèi)容的學習主要集中在必修第二冊第八章，涉及到的內(nèi)容主要有基本立體圖形、幾何體的表面積與體積、基本圖形的位置關系等。從知識理解度上看，立體幾何比平面幾何難得多，教師可通過觀察測量實物、觀看直觀動圖、動手實驗操作等方式進行教學，掌握可視化導入、可視化操作、可視化實驗等環(huán)節(jié)上表示空間圖形的方法和技能。

可視化軟件GGB在立體幾何的教學中發(fā)揮著非常重要的作用。GGB具有豐富的表現(xiàn)力，可以將圖形進行翻轉(zhuǎn)、分合，也可以從三種不同的視圖方向觀察幾何體，同時還有四種投影類型，分別是正視圖、透視視圖、眼鏡視圖和斜視圖。GGB軟件可以使抽象的幾何圖形以動態(tài)模型的形式進行360°全角度呈現(xiàn)，幫助學生有效形成空間想象能力，使得幾何圖形更加直觀、簡單、高效地展示給學生[5]。立體幾何中關于空間點、線、面的位置關系，點動成線、線動成面、面動成體的研究，以及不同的平面截割圓錐形成圓錐曲線，利用祖暅原理研究柱體、錐體體積等都適合借助GGB進行可視化教學，真實刻畫三維空間，體現(xiàn)動態(tài)幾何的特征，在旋轉(zhuǎn)變換過程中滲透幾何直觀與想象等數(shù)學學科素養(yǎng)。

3.統(tǒng)計教學內(nèi)容可視化

統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，很多時候需要按要求隨機抽樣，分層隨機抽樣。用樣本估計總體需經(jīng)歷求極差、決定組距與組數(shù)、數(shù)據(jù)分組、列頻率分布表以及畫頻率分布直方圖。GGB具有一定的統(tǒng)計功能，表格區(qū)兼容了MicrosoftExcel的數(shù)據(jù)處理分析功能，可設置將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為可視化的幾何對象呈現(xiàn)在繪圖區(qū)，并能夠?qū)?shù)據(jù)進行統(tǒng)計計算和分析，可根據(jù)實例進行單變量分析、雙變量分析、雙變量回歸分析，還可對給出的數(shù)據(jù)進行多種形式的擬合。同一組數(shù)據(jù)組數(shù)不同分析得到的直方圖不盡相同，通過直方圖容易看出數(shù)據(jù)的頻率表分布規(guī)律，以此推測總體的取值規(guī)律。

三、GGB融入高中數(shù)學教學的三個遞進層面

1.解決基本問題的教學

“為問題而教，為問題而學，為問題解決而教，為問題解決而學”是數(shù)學教學設計的根本性原則。高中數(shù)學教學中有很多的探究性問題。比如關于探究正余弦圖中的一些相等關系和不等關系，可以借助GGB的旋轉(zhuǎn)工具或旋轉(zhuǎn)指令將小直角三角形旋轉(zhuǎn)組合，且把對應邊設置顏色的明暗，便于學生觀察、理解和查找。關于基本不等式的幾何解釋，主要借助GGB基本工具繪制圖形，先做一條線段，在線段上描點，作出幾何圖形，然后運用幾何圖形中對應代數(shù)描述中的數(shù)值顯示線段的長度功能，移動動點，探究數(shù)值之間的關系。在探究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關系時運用GGB的平移變換、伸縮變換可加深對這兩種變換概念以及二者函數(shù)性質(zhì)的相同點與不同點的理解。在探究不同函數(shù)增長的差異時設置滑動條，啟動動畫，三種函數(shù)上的動點速度設置相同，由此突出呈現(xiàn)上升的趨勢。同時隨著變量的變化，通過函數(shù)值的變化充分表明指數(shù)爆炸的含義，以加深理解、增強記憶。在探究圓柱、圓錐、圓臺的聯(lián)系時主要運用GGB3D視圖，工具欄中可各自繪制圖形，在進行教學中更加注重彼此的聯(lián)系和區(qū)別。為了給學生展示彼此之間的轉(zhuǎn)化，設計圖形時可在直母線上取動點，通過按鈕的制作設置控制動點的移動。

2.滲透思想方法的教學

（1）數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學中重要的一種數(shù)學思想，它的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的圖形結(jié)合起來。GGB教學軟件就具有“數(shù)形結(jié)合”和“動態(tài)演示”的功能優(yōu)勢，可將抽象靜態(tài)的幾何圖形以動態(tài)變化的形式直觀地呈現(xiàn)在學生面前，激發(fā)學生的學習興趣與積極性，培養(yǎng)學生的空間想象素養(yǎng)[6]。

運用數(shù)學軟件GGB繪制函數(shù)圖象，探究函數(shù)、方程及不等式解之間的聯(lián)系，深層次理解函數(shù)的零點、方程的實數(shù)解，并能借助工具欄零點值刻畫與x軸的交點，且交點坐標數(shù)值可顯示出來。GGB軟件可在直角坐標系下繪制圖象，也可以在極坐標系、球坐標系下繪制；可繪制一般方程、參數(shù)方程下的函數(shù)圖象，也可繪制隱式方程所對應的曲線、曲面圖象。如探究不同的冪函數(shù)通過加、減、乘、除等運算構(gòu)成新函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化的趨勢，以及與原函數(shù)性質(zhì)間的聯(lián)系等。探究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系時，可制作列表，描點，連線繪圖，通過觀察指數(shù)函數(shù)上動點及對數(shù)函數(shù)上相應點的關系，理解一對反函數(shù)圖象是關于直線對稱的。再如對于向量的坐標表示，以及復數(shù)乘、除法的幾何意義，若借助GGB繪制向量、旋轉(zhuǎn)角、乘除運算后的向量位置，能夠加深對復數(shù)概念本身及運算幾何意義的理解。

（2）化歸思想

化歸思想通常是指將待解決的問題或難以解決的問題通過一系列轉(zhuǎn)化，最后歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或較容易解決的問題中去。運用化歸思想可將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，可將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的具體問題。

研究函數(shù)的圖象及性質(zhì)可歸結(jié)為研究函數(shù)經(jīng)過一系列平移、縮放變換得到。研究簡單幾何體的表面積時，教師可在3D視圖工具欄中找到展開圖工具，然后選中幾何對象，即可呈現(xiàn)展開圖，同時自動生成滑動條，通過設置滑動條的增量可調(diào)整動態(tài)圖形開合的速度，以此來培養(yǎng)學生的空間想象能力。

（3）分類討論思想

分類討論思想是將復雜的數(shù)學問題分解成若干個基礎性問題，然后逐一分析研究這些基礎性問題，進而解決復雜問題的一種思想方法。

研究正弦定理及余弦定理，教學中可以先基于GGB在直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中分別度量邊長及角度，通過數(shù)據(jù)驗證。調(diào)整三角形頂點位置，數(shù)據(jù)發(fā)生相應變換，啟發(fā)引導學生猜想得到相應的定理結(jié)論，然后進行嚴謹?shù)臄?shù)學證明。分析指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性時，可借助GGB表格區(qū)，設置系列指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，與此同時在繪圖區(qū)顯示批量指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，直觀觀察，可知分介于0、1之間和大于1兩種情況討論曲線變化趨勢。

3.注重綜合應用的教學

掌握了數(shù)學基本內(nèi)容以及解決問題的一些思想方法之后，更重要的是如何靈活解決一些綜合性的應用問題，包括純數(shù)學方面的，也包括學科交叉方面的?？鬃釉f“學而時習之”“行有余力，則以學文”。學習要理論和實踐相結(jié)合，理論指導實踐，實踐證實理論，從實踐中再學習。

必修二第145頁第15題是關于長方體容器傾斜時有水的部分和沒有水的部分所呈棱柱形問題。借助GGB3D功能，可以很好地分析問題和解決問題。首先，繪制一個長方體，在棱上任取一點M作為注水后水面的高度，過M作出與z軸垂直的平面，運用指令相交路徑繪制出平面與長方體的交線。其次，根據(jù)題意，邊固定在地面上，設置傾斜度為滑動條，將原長方體與平面同時繞邊旋轉(zhuǎn)，此時可以拖動滑動條呈現(xiàn)各個容器的不同位置，同時可對整個圖形進行360°旋轉(zhuǎn)，觀測到容器側(cè)面、背面的情況。引導學生探究傾斜過程中變化的是什么，不變的幾何特征又是什么。調(diào)整動點M可觀測到水量多和少時的一些變化規(guī)律。同時可借助GGB顯示數(shù)值的變化，觀察二者乘積是否為定值。必修一第110頁第6題涉及到了培養(yǎng)某種細菌及細菌分裂問題。借助GGB，充分運用迭代功能，設置分裂一次兩次的分類情況，通過圖形展示，邊演示，邊思考，邊分析，邊猜想。第127頁第9題是在每天進步率為1%或落后率為1%的前提下，比較一年后進步是落后的多少倍，大約經(jīng)過多少天后前者是后者的10倍、100倍甚至1000倍，這樣的一些問題必須借助計算工具，GGB代數(shù)區(qū)便可以進行數(shù)的運算和式的運算，并且繪圖、計算可以交互使用。

四、基于GGB的高中數(shù)學課程實施可視化教學的策略

1.注重設計數(shù)學實驗，引導學生深入探究

數(shù)學實驗是一種有效的教學方法。在設計數(shù)學實驗時應具有目標性、整體性、多樣性。GGB可以創(chuàng)設真實的實驗情境，模擬教學實驗的演繹過程，發(fā)揮學生主體作用，促進學生多角度思考問題。

在研究函數(shù)圖象變化規(guī)律與函數(shù)表達式之間關系時，就可以基于GGB設計函數(shù)的圖象。方法一：通過列表描點，在指令框中輸入“緩慢繪制（f）”指令，回車運行，同時自動生成一個0-1滑動條，該滑動條在運動的過程中控制函數(shù)圖象緩慢繪制動畫效果，可以重復運行，也可以設置運行一次。方法二：通過平移正弦線繪制圖象，真正意義上構(gòu)建動態(tài)聯(lián)系的視覺化情境，讓學生在動態(tài)演示中探尋規(guī)律。在學生學習了其它三角函數(shù)后，可引導學生探尋組合函數(shù)的圖象及性質(zhì)?？梢?，教師多設計一些實驗，讓學生通過自主操作、小組探究、觀察對比等方式深入分析組合函數(shù)的圖象、性質(zhì)發(fā)生了怎樣的變化，可建立起圖象變化規(guī)律和解析式之間的對應關系，不僅掌握了知識，更擁有了在探究、發(fā)現(xiàn)過程中的情感體驗。

2.注重數(shù)學語言的互譯，闡釋內(nèi)容本質(zhì)

數(shù)學語言可分為文字語言、符號語言、圖形圖表語言三類。目前高中生數(shù)學學習困難的原因之一是不能很好地對視覺化的圖象、動態(tài)圖形進行準確的分析，也不能很好地用言語化的文字語言準確表示。單一的表征形式難以建構(gòu)起數(shù)學對象的實際含義，因此可視化教學需要重視同一數(shù)學對象的不同表征方式的多元呈現(xiàn)[7]。GGB能創(chuàng)設多元聯(lián)系表征的學習情境，在符號語言、表格、圖象間形成有效的理解通道，使抽象化的數(shù)學知識變得真實可見、可操作。利用GGB對數(shù)學知識進行模擬、演示、詮釋，能夠有效地助推學生深度學習。

在用函數(shù)模型解決實際問題時，首先需將實際問題化歸為數(shù)學問題，然后通過GGB運算推理，運用信息技術(shù)繪圖，最后用得到的函數(shù)模型描述實際問題的變化規(guī)律，指出是對數(shù)增長、直線上升，還是指數(shù)爆炸，從而挖掘數(shù)學知識的本質(zhì)。當然也可以結(jié)合表格區(qū)的一些數(shù)據(jù)加深對增長情況的理解與說明。教師在教學時若能幫助學生實現(xiàn)表征系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯，學生會學得更輕松、更深刻、更扎實。

3.注重經(jīng)典題目的變式，發(fā)展創(chuàng)新思維

數(shù)學教學目標之一就是使學生掌握數(shù)學的基本概念、基本理論與基本方法，如何扎實推進教學效果，對于經(jīng)典題目的編創(chuàng)尤為重要。數(shù)學創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)可以貫穿于編創(chuàng)題目的教學活動中，特別是在創(chuàng)造性解決數(shù)學問題的過程中，更有利于學生形成良好的創(chuàng)新思維品質(zhì)。教師可以將習題中的綜合應用和拓廣探索中的題目加以再創(chuàng)造，如變化其條件、變化其方法、變化其目標等。

例如必修一教材第214頁第18題，繪制周期圖有多種方法，可以運用GGB中的序列、迭代、平移等方法，但建議運用代數(shù)法繪制。教師在此基礎上繼續(xù)編創(chuàng)題目，在第一個輸入?yún)^(qū)可改變函數(shù)的解析式，在第二個輸入?yún)^(qū)可改變平移的單位。教師還可進行改編，使圖象實現(xiàn)上下平移或沿著某個向量的方向移動。這樣的知識拓展研究，能夠激發(fā)學生的學習內(nèi)驅(qū)力，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維。

綜上，在高中數(shù)學課堂中進行可視化教學可以化抽象為直觀，助力學生在解決問題中進行多角度表征，有利于真正落實發(fā)展學生核心素養(yǎng)。但過度的可視化教學會阻礙學生進行深層次思維，導致其思維只停留在對圖形、圖象的直觀觀察與理解。因此，基于GGB的教學設計要遵循主體性原則，直觀性原則以及探究性原則，教師在運用GGB軟件中充分發(fā)揮滑動條、指令及嵌套，圖層，以及各視圖間的交互功能等等，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，提升分析解決數(shù)學問題的能力，進而有力推動高中數(shù)學教學高質(zhì)量發(fā)展。

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【責任編輯? 王澤華】