黃浩博,徐 強(qiáng)

(西安電子科技大學(xué) a.微電子學(xué)院；b.物理學(xué)院，陜西 西安 710000)

黏度又稱為內(nèi)摩擦系數(shù)，是分子相互擴(kuò)散作用的宏觀表征，反映了液體剪切面間相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的內(nèi)摩擦力，對(duì)工業(yè)、醫(yī)療等領(lǐng)域中湍流相關(guān)的研究有重要意義. 傳統(tǒng)的黏度測(cè)量方法具有較大的局限性. 例如，落球法只能適用于低雷諾數(shù)情況下的透明液體[1]；毛細(xì)管法對(duì)環(huán)境要求高，受溫度影響大，且毛細(xì)管容易堵塞[2]；旋轉(zhuǎn)法所需實(shí)驗(yàn)儀器復(fù)雜，測(cè)量精度難以得到保障[3]；單擺法的實(shí)驗(yàn)原理明確、現(xiàn)象清晰，通過記錄擺球到達(dá)最大擺幅的間隔時(shí)間與最大擺幅的衰減因子來計(jì)算黏度，但測(cè)量精度較低[4-5]. 隨著科技的發(fā)展，許多設(shè)備都逐漸電子化，不僅上述的實(shí)驗(yàn)方案中引入了電子設(shè)備[6-8]，還出現(xiàn)了很多新型測(cè)量方法，例如用扭擺的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)和電子設(shè)備的監(jiān)控來計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)的損耗，從而測(cè)量黏度[9]；集成霍爾開關(guān)傳感器液體黏度測(cè)定[10]；通過布里淵散射來測(cè)量黏度等[11-12]. 本文在單擺法測(cè)量黏度的基礎(chǔ)上[13]，基于液體中小球運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的動(dòng)力學(xué)模型，通過拉普拉斯變換及其逆變換，推導(dǎo)出任意阻尼情況下的單擺運(yùn)動(dòng)方程，通過圖像捕捉技術(shù)測(cè)量得到大量數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理后，采用雙平方權(quán)重算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法擬合，快速剔除異常點(diǎn)，得到液體黏度.

1 實(shí)驗(yàn)原理

對(duì)于在流體中做鐘擺運(yùn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)可以用以下力學(xué)方程來描述[14]：

(1)

在確保物體在垂直轉(zhuǎn)軸的二維平面運(yùn)動(dòng)的情況下，式(1)，可以簡(jiǎn)化為

(2)

在流體中運(yùn)動(dòng)的物體所受阻力與雷諾數(shù)有關(guān).例如，當(dāng)雷諾數(shù)較低時(shí)，阻力是關(guān)于速度的線性函數(shù)，即F=-γv，其中γ與物體材質(zhì)、形狀以及液體的黏度有關(guān)；在高雷諾數(shù)的情況下，阻力與速度的平方相關(guān)，即F=kv2，其中k與物體的材質(zhì)和形狀有關(guān)[15].

假設(shè)擺球密度為ρ，半徑為r，體積為V，置于密度為ρa(bǔ)的液體中，此時(shí)擺球受到懸線的張力T、重力G、浮力f和流體阻力F的作用.

假設(shè)初始時(shí)刻擺球懸線與鉛垂線夾角為θ(擺線在平衡位置右側(cè)時(shí)角位移為正)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得：

(3)

若擺動(dòng)角度很小，則有sinθ≈θ;假設(shè)球面理想光滑，并且液體滿足廣延條件，根據(jù)斯托克斯公式有：γ=6πηr.式(3)可化簡(jiǎn)為

(4)

利用拉普拉斯變換及其逆變換可以得到方程的解析解為

(5)

而在實(shí)際測(cè)量過程中，主要誤差來自液體的體積并非無限大，從而存在湍流現(xiàn)象，導(dǎo)致式(3)中液體阻力的描述存在偏差.

考慮非廣延條件引起的湍流，球體在管道中運(yùn)動(dòng)，其斯托克斯公式的修正形式如下[8]：

(6)

其中，R為管道的半徑，H為管道的深度.

幾何對(duì)稱的圓管的約束比長(zhǎng)方體更容易考慮，采用上述管性修正系數(shù)對(duì)方程進(jìn)行修正，最終得到:

(7)

在本次實(shí)驗(yàn)中，選取最大擺幅的2倍作為管長(zhǎng)，擺動(dòng)起始點(diǎn)距離水面的高度作為管道半徑.

2 實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)步驟

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖1所示，在0.4 m×0.12 m×0.3 m的亞克力槽上放置金屬橫杠作為轉(zhuǎn)軸.將釣魚線穿過不銹鋼小球(半徑為r=1.5 cm，質(zhì)量m=14 g)的上端，并將釣魚線兩端系在轉(zhuǎn)軸兩側(cè)，從而形成雙擺線結(jié)構(gòu)，使得擺球只能繞轉(zhuǎn)軸平面運(yùn)動(dòng)，避免了擺球沿轉(zhuǎn)軸方向上晃動(dòng).

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

攝像機(jī)的攝影頭垂直擺球運(yùn)動(dòng)平面，將擺線上靠近轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記并作為觀察點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，并將其作為實(shí)際擺線長(zhǎng)度，本實(shí)驗(yàn)中擺線長(zhǎng)度l=15 cm. 隨后加入體積分?jǐn)?shù)為70%的甘油，使擺球在靠近板壁時(shí)處于液體平面下.

實(shí)驗(yàn)證明，甘油的阻尼屬于小阻尼，因此在實(shí)驗(yàn)中，式(4)的解析解應(yīng)為

(8)

在后續(xù)處理中，將式(8)作為擬合對(duì)象.

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟以及數(shù)據(jù)的測(cè)量

1)在實(shí)驗(yàn)開始前，利用電子溫度計(jì)測(cè)量液體溫度.

2)將擺球從槽壁處釋放并開啟圖像傳感器，獲得圖像數(shù)據(jù).

3)測(cè)量液體溫度，并與開始溫度取平均值作為實(shí)驗(yàn)溫度.

4)利用圖像捕捉工具(例如Track)，對(duì)觀察點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行捕捉，如圖2所示.從左往右，原始圖像依次經(jīng)過剪裁、色度調(diào)整并約束了自動(dòng)捕捉范圍，每次實(shí)驗(yàn)獲得近400組數(shù)據(jù).

圖2 利用圖像捕捉工具得到觀察點(diǎn)的坐標(biāo)

5)重復(fù)實(shí)驗(yàn)，至少重復(fù)4次.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄與處理

3.1 黏度的計(jì)算

考慮初始釋放時(shí)給球體帶來的擺動(dòng)，以及在低速情況下由于空間有限而存在湍流，使得球體轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致擺球的運(yùn)動(dòng)并不理想，因此需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行截取.觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，x-t曲線基本平滑，而y-t圖像畸變現(xiàn)象明顯.這是由于在y軸方向上運(yùn)動(dòng)幅度小，非理想因素被顯著體現(xiàn).以y-t圖像作為參照，可以直觀地判斷出擺動(dòng)前的1.5 s左右，非理想因素的干擾十分嚴(yán)重.

(a)橫坐標(biāo)

選取時(shí)間在[2，4]區(qū)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，共得到234組點(diǎn). 部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示.

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

平衡時(shí)的橫坐標(biāo)為x0=0.030 35 m，有：

(9)

結(jié)合式(8)和式(9),所需要擬合的方程為

(10)

考慮到(x-x0)/l?1，式(10)可以近似為

(11)

利用所測(cè)量的數(shù)據(jù)對(duì)式(11)進(jìn)行5個(gè)參量的方程擬合.由于衰減振動(dòng)的衰減系數(shù)以及衰減周期是實(shí)驗(yàn)測(cè)量中2個(gè)重要的參量，設(shè)定B與C為優(yōu)先度最高的參量，進(jìn)行求解非線性的最小二乘法擬合.

在擬合過程中，考慮到實(shí)驗(yàn)中的非理想因素，所測(cè)得的數(shù)據(jù)可以認(rèn)為是服從偏離實(shí)際曲線的高斯分布.為了濾除異常點(diǎn)，采用雙平方的穩(wěn)健最小二乘法，最終得到的方程解為

x(t)=0.161 2e-0.675tsin (3.632t-2.011)-0.167,

(12)

其相關(guān)系數(shù)R2=0.997 8.擬合曲線如圖4所示，數(shù)據(jù)處理殘差圖如圖5所示，可以看到運(yùn)動(dòng)開始階段與結(jié)束階段殘差變化幅度大，非理想因素干擾強(qiáng).

圖4 擬合曲線與測(cè)量數(shù)據(jù)

圖5 數(shù)據(jù)處理殘差圖

重復(fù)上述過程4次，測(cè)得B的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別為0.666,0.684,0.606,0.624.代入式(4)并取平均值，計(jì)算得到η=0.023 280 N/m.

3.2 不確定度計(jì)算

根據(jù)式(7)，不確定度的計(jì)算公式為：

(13)

其中，ΔB為通過擬合，即計(jì)算測(cè)量值與預(yù)測(cè)值之間的偏離值得到,因此令ΔB/B=1-R2,其他值容易獲得，利用式(13)得到Δη=0.000 181 N/m.

故實(shí)驗(yàn)測(cè)得體積分?jǐn)?shù)為70%的甘油黏度為η=(0.023 3±0.000 2) N/m.

4 結(jié) 論

本文提出了基于運(yùn)動(dòng)視頻圖像處理改進(jìn)測(cè)量黏度的方法，利用圖像傳感器記錄擺球運(yùn)動(dòng)并提取擺球運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù). 基于液體中小球運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的動(dòng)力學(xué)模型，通過拉普拉斯變換及其逆變換，求解了考慮液體阻力的單擺運(yùn)動(dòng)方程，通過雙平方權(quán)重的最小二乘法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了擬合，剔除了異常點(diǎn)，最終得到穩(wěn)定的方程解，代入測(cè)量數(shù)據(jù)得到了待測(cè)液體的黏度. 該方法對(duì)液體的性質(zhì)要求低，可以廣泛用于不同液體的黏度測(cè)量.