徐浩翔，金 偉

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241002)

2021年國際青年物理學家錦標賽(IYTP)第16題為超聲波泵(Ustrosonic pump)：被浸入超聲波水浴池中的毛細管可以像泵一樣工作，將水提升到相當?shù)母叨?，解釋并探究這一現(xiàn)象. 在超聲波作用下浸入液體的毛細管內(nèi)液面高度反常上升的現(xiàn)象是由超聲毛細效應導致的. 本文從擠壓模效應和空化效應角度進行建模，分析超聲毛細效應的原理，并探究影響超聲波作用下毛細管內(nèi)液面上升高度的因素.

1 預實驗

圖1為超聲波泵的實驗裝置模型圖.

圖1 超聲波泵實驗裝置模型圖

在水槽中放入液體，水槽底部中心有超聲波發(fā)生振子，用固定架將毛細管豎直固定在超聲振子中央，并可以改變毛細管末端與振子的距離. 在預實驗中，改變超聲波的頻率、液體的含氣量和溫度、毛細管的規(guī)格和其末端到超聲波聲源處的距離等因素，觀察水柱高度的變化.

通過預實驗，發(fā)現(xiàn)毛細管的內(nèi)外徑、超聲波的頻率和毛細管末端到聲源的距離與水柱高度密切相關，其他因素(如液體溫度、含氣量等)也會產(chǎn)生較為明顯的影響.

2 超聲毛細效應的理論分析

2.1 擠壓模效應的解釋

首先從擠壓模效應的角度建模. 在靜水中未開啟超聲波發(fā)生器時，毛細管內(nèi)液面上升主要是毛細現(xiàn)象[1]造成的. 這是固液表面的吸引力導致的現(xiàn)象，由注林定律[2]可知，靜水中毛細管內(nèi)液面上升的高度為

(1)

其中，hm為靜水條件下管內(nèi)液體較管外液面上升的高度，σ為液體的表面張力，θ為靜止液體與毛細管管壁的接觸角，ρ為液體密度，g為重力加速度，r2為管的內(nèi)徑.在毛細管表面和純凈水接觸時，接觸角近似為0.考慮液體壓強平衡公式：

p=ρgh,

(2)

可以求得毛細作用下毛細管中產(chǎn)生的靜壓強為

(3)

當超聲波發(fā)生器啟動時，超聲振子表面會產(chǎn)生高頻率、小振幅的振動，這會引起毛細管底部產(chǎn)生附加靜壓力，即擠壓模效應.毛細管末端與超聲波發(fā)生器表面的截面圖如圖2所示.如果將靜壓力表示為振動引起的液體體積改變量的函數(shù)，在柱坐標系中進行近似計算，并引入擠壓模因子α作為表征擠壓模效應的常量，得到擠壓模效應下附加靜壓強為[3]

圖2 毛細管末端與超聲波發(fā)生器的截面示意圖

(4)

其中，r1和r2分別為毛細管的外內(nèi)徑，u為聲速，A0為超聲波的振幅，d0為毛細管末端距超聲波發(fā)生器的距離.將式(4)代入式(2)，得到擠壓模效應下毛細管內(nèi)液面上升的高度為

(5)

因此擠壓模效應下毛細管內(nèi)液面上升的總高度值應為

(6)

2.2 輻射壓與沖流的影響

超聲波作用下毛細管內(nèi)液體所受附加壓強有2個分量：輻射壓pr和沖流壓ps[4].

由于聲波在非理想介質中傳播的非線性效應，聲波入射到障礙物上會產(chǎn)生前向壓強即輻射壓pr[5].將聲波在流體中的傳播近似為絕熱過程，又由于實驗為封閉的管壁情形，則可以用瑞利輻射壓來表示輻射壓pr[6]，即

(7)

其中，γ為氣體的比熱容比，D為聲場的聲能密度.可以取聲動能為

(8)

假設在聲場作用下，聲場引起的力做功為

Ep=-ΔpαΔV，

(9)

其中pα為激發(fā)聲場的聲壓幅值.將體積改變量用密度變化表示，并假設密度變化量相對于ρ是高階小量，可以得到聲勢能為

(10)

結合理想流體情況下小振幅波的狀態(tài)方程以及聲能密度的定義，可以得到聲能密度為

(11)

代入式(7)，得出輻射壓的大小為

(12)

從空泡動力學的角度考慮，空化效應導致的沖流壓也是重要的影響因素之一.空化是在均質的液體中出現(xiàn)蒸氣空泡，空化效應是水動力學領域的獨特物理現(xiàn)象，可發(fā)生在任意流體中[7].

空化時產(chǎn)生的大量空化泡在破裂時會產(chǎn)生瞬間的高溫和壓強.空化泡從1個空化核膨脹至初始尺寸的若干倍后，空化泡將會在達到最大半徑時破裂并附帶有較小的氣體分壓.當大量空化泡破裂時，在毛細管內(nèi)的液體中就會瞬間形成高速定向移動的沖流壓ps.

分析空化泡在液體中的平衡條件. 假設在靜止液體中處于平衡狀態(tài)、半徑為R(t)的類球狀微小空化泡內(nèi)含有空氣和液體的蒸氣.假設液體具有經(jīng)受低于蒸氣壓pv乃至張力的能力,微氣泡是液體開始破裂的薄弱點.假設在整個容器中壓力是均勻的,故微氣泡可視作球形.液體蒸氣壓與泡內(nèi)空氣壓強之和為空化泡內(nèi)部壓強，即

pin=pv+pg.

(13)

類似地，可將空化泡外部的壓強視為距空化泡較遠處液體壓強與氣泡表面張力導致的壓強二者之和，即

(14)

由此可以得出微氣泡界面平衡的條件為

(15)

假設液體是不可壓縮的牛頓流體并忽略重力作用,設泡內(nèi)氣體各項參量為常量且忽略慣性，忽略泡和周圍液體的熱交換即假設絕熱過程，可推導出瑞利方程[8]，即

(16)

如果考慮黏性損耗，得到瑞利方程的修正式，即瑞利-普萊斯特方程：

(17)

空化泡破裂的瞬間會向四周發(fā)射沖擊波，其本質上是高壓快速釋放氣體產(chǎn)生沖流.根據(jù)上述模型進行建模，可以得出蒸氣泡破裂所產(chǎn)生的壓力場滿足：

(18)

由于大量空化泡破裂產(chǎn)生的沖流是定向的，因而可以認為只有毛細管內(nèi)液面正下方的圓柱形區(qū)域內(nèi)液體中的空化泡破裂產(chǎn)生的沖流壓，才對液體上升產(chǎn)生影響.對圓柱體內(nèi)的空化泡進行積分，可以用

(19)

計算沖流壓的統(tǒng)計平均值，其中n為體積元內(nèi)的空化泡數(shù)量.于是得到毛細管內(nèi)液面上升的總高度為

(20)

2.3 擠壓模效應和空化效應解釋的聯(lián)系

3 實驗數(shù)據(jù)及分析

實驗裝置水槽內(nèi)膽為240 mm ×135 mm×100 mm，選用內(nèi)外徑之和為0.5～10.0 mm的若干組硅膠管和玻璃管,超聲波頻率為20,28,40,50,68 kHz，液體選用蒸餾水與含氣水.

選用頻率為40 kHz、超聲波功率為120 W、加熱功率為100 W的超聲波發(fā)生器，選用不同的d0值并改變內(nèi)外徑之和進行實驗. 可以發(fā)現(xiàn)在實驗范圍內(nèi)水柱高度與毛細管內(nèi)外徑之和呈現(xiàn)負相關，如圖3所示,這與擠壓模效應得出的結論一致. 當內(nèi)外徑之和增大時，如式(19)所示，沖流的貢獻減小，沖流壓也相應減小.

圖3 水柱高度與毛細管內(nèi)外徑之和的關系

改變超聲波頻率，探究頻率對超聲波泵現(xiàn)象的影響.令d0≈1.5 mm，更換不同型號的超聲波發(fā)生器,改變超聲波的頻率進行實驗，如圖4所示.可以發(fā)現(xiàn)在實驗范圍內(nèi)毛細管內(nèi)液面上升的高度隨超聲波頻率的增大而減小.當頻率增大時，膨脹時間相對變短，空化核來不及膨脹到破裂應有的尺寸，而壓縮的時間又相對變短，空化泡來不及收縮破裂，因此難以發(fā)生劇烈的空化現(xiàn)象.由此可知，高頻時空化效應較弱，此時的超聲毛細效應主要由輻射壓引起；低頻時聲波接近于球面波，空化現(xiàn)象較為明顯，此時超聲毛細效應主要由沖流壓引起.

圖4 水柱高度與超聲波頻率的關系

通過觀察實驗現(xiàn)象可以發(fā)現(xiàn),毛細管距離聲源處d0很微小時，才能觀測到明顯的現(xiàn)象，這是由于毛細管較遠時超過了空化閾值所致[9].實驗結果如圖5所示，超聲波作用下毛細管內(nèi)液面高度的反常上升高度與毛細管底部到超聲振子中心的距離呈現(xiàn)：先在0.5～0.7 mm內(nèi)快速增加，之后液面高度與d0呈負相關.這是由于在極短距離內(nèi)，隨著距離增加空化泡的數(shù)量也會增加，沖流壓的大小也就隨之增加，此時空化效應占據(jù)主導地位，而擠壓模效應的效果相對不明顯；而當距離更大時，聲波能量的衰減加劇，沖流壓會隨之減小，此時空化效應與擠壓模效應的影響都相應減弱，水柱高度隨d0的增大而減小.

圖5 水柱高度與d0的關系

通過改變液體溫度來改變液體黏度的方式探究不同阻抗、具有不同聲學特性的液體在超聲毛細效應中的狀況.實驗表明：溫度會對超聲毛細效應產(chǎn)生較大的影響[10].但是溫度因素較難探究，其原因在于超聲振子工作時會在很短的時間內(nèi)產(chǎn)生大量的熱量，水槽內(nèi)的溫度場難以控制，因此采用降溫的方式進行實驗.實驗過程中發(fā)現(xiàn)：在23 ℃附近，毛細管內(nèi)液面會升高到極大值，而溫度升高或降低都會導致現(xiàn)象的減弱，如圖6所示.溫度開始升高時，液體的黏度和表面張力系數(shù)下降，液體中空化核的數(shù)量增多，更容易產(chǎn)生空化泡并破裂；而當溫度升高到一定程度后，液體蒸氣壓增大，空泡破裂產(chǎn)生的沖流壓減小會導致空化強度減弱.但若僅從擠壓模效應的角度來分析，隨著溫度的升高，液體黏度降低，擠壓模因子α隨之增大，擠壓模效應變強.這說明擠壓模效應對超聲毛細效應的解釋應當在考慮d0處液體的具體性質后進行合理修正.

圖6 水柱高度與溫度的關系

為探究液體含氣量對實驗的影響，選用蒸餾水與含氣水進行對照實驗，觀察到含氣水中超聲毛細效應更加明顯. 這是因為蒸餾水中缺少空化核，空化現(xiàn)象難以發(fā)生.

在選擇合適的擠壓模因子情況下，實驗結果可以較好地符合擠壓模效應的預測，且頻率越高、液體黏度越大，則擠壓模效應越明顯. 但是當管道直徑較寬時，無法用固定的擠壓模因子來表達靜壓強與管道內(nèi)外徑之和的關系. 此外，對于超聲波泵間隙內(nèi)聲阻抗和液體黏度對擠壓模效應的影響，還應當求解間隙的流體動力學方程來計算實際的擠壓模因子. 空化效應在各種情況下都可以較好地對超聲毛細現(xiàn)象進行解釋.

4 結 論

從空化的角度看，超聲毛細效應主要是由于空化效應造成的大量空化泡破裂形成的定向沖流壓，以及超聲波作用下液體產(chǎn)生的輻射壓共同導致的. 超聲振子表面發(fā)生高頻率、小振幅的振動引起毛細管底部產(chǎn)生附加靜壓力的擠壓模效應也可以解釋超聲毛細效應. 通過實驗證明了超聲毛細效應導致的毛細管內(nèi)液面高度反常增加與毛細管的內(nèi)外徑之和以及超聲波頻率呈負相關，與毛細管末端距離聲源的間距以及溫度的增加呈先增后減的關系. 另外，含氣水中的超聲毛細效應更明顯.