鄧明香 馮永平

(廣東省廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 510006)

二重積分是多元函數(shù)微積分學(xué)應(yīng)用的一個主要內(nèi)容,是在解決實際問題的實踐中不斷抽象出來的,是一元函數(shù)定積分、多元函數(shù)曲線積分的推廣.結(jié)合課程思政相關(guān)元素,本文主要從學(xué)情分析、教學(xué)目標、教學(xué)方法、教學(xué)策略、教學(xué)設(shè)計幾方面探討了二重積分的概念教學(xué)中如何隱性地融入課程思政元素,達到教書育人的目的.

1 學(xué)情分析及教學(xué)目標分析

本節(jié)課程選自理工類專業(yè)必修課《高等數(shù)學(xué)Ⅱ2》,為一節(jié)新授課程, 第8章《二重積分》第1節(jié)“二重積分的概念與性質(zhì)”,教材選用林偉初，郭安學(xué),高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類下冊，第1版),北京大學(xué)出版社,2018.07, 面向我校一流專業(yè)地理科學(xué)專業(yè) 211、212、213班開設(shè).

本節(jié)課程學(xué)習(xí)前,學(xué)生已掌握了一些規(guī)則立體圖形的體積求法,如長方體、圓柱體、錐體等;已學(xué)完一元微積分學(xué)、空間解析幾何及多元函數(shù)的微分學(xué)等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容;掌握了定積分概念及相關(guān)數(shù)學(xué)思想,能熟練使用分割、近似、求和、取極限四個步驟求解曲邊梯形面積問題.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生對推廣后的求解曲頂柱體體積問題能給出粗略方案,但精確化比較困難,特別是對最后如何從近似轉(zhuǎn)向精確的極限手法難以理解;學(xué)生對概念中涉及的積分區(qū)域和重積分符號的抽象性和復(fù)雜性有畏懼感,容易排斥抽象的概念課.

本節(jié)課程的教學(xué)目標為以下幾個方面.

知識與能力方面：掌握二重積分的概念、性質(zhì); 學(xué)會用極限思想分析具體問題,能靈活使用“分割,近似,求和,取極限”處理二元函數(shù)的相關(guān)問題;掌握從實例形成概念定義的重要方法.

過程與方法方面：通過類比定積分,引導(dǎo)學(xué)生回顧“以直代曲”在解決定積分問題中起到的關(guān)鍵作用,為整節(jié)課架設(shè)一個基本思維框架,讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)內(nèi)容;借助熟悉的“頂面為平面的體積計算問題”“密度均勻分布平面薄片質(zhì)量計算問題”,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從特殊到一般,從具體到抽象的數(shù)學(xué)方法,實現(xiàn)能力目標的培養(yǎng).

情感方面：借助引例直觀體會“以直代曲”和“逼近”的思想,學(xué)習(xí)歸納、類比的推理方式,體驗從特殊到一般、從具體到抽象、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;從實踐中創(chuàng)設(shè)情境,滲透“化整為零、積零為整”的辨證唯物觀,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科技服務(wù)于生活的人文精神.

本課程用“問題驅(qū)動”教學(xué)理念的統(tǒng)領(lǐng)指導(dǎo)實施課程教學(xué),力求在課程教學(xué)中實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生具備“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界, 用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語言表達實現(xiàn)世界”的最終能力素養(yǎng)目標.

2 教學(xué)過程

教 學(xué) 過 程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖及思政融入Ⅰ.問題引入及問題分析(10分鐘)圖11.引例1:曲頂柱體的體積問題:回憶柱體與長方體的體積計算→變平面為曲面,引出新問題→回顧微積分數(shù)學(xué)史及定積分,啟發(fā)學(xué)生尋找思路→視頻動態(tài)演示求解思路,讓學(xué)生有直觀認識(如圖1). 2.引例2:平面薄板質(zhì)量求解問題:回顧均勻密度下平面薄板質(zhì)量計算公式→類比引例1過程,給出一般方法.3.引例分析:比較總結(jié)兩個引例思想方法、過程與結(jié)構(gòu)式→提煉共性→形成定義.1.回答問題(基本知識,學(xué)生紛紛舉手);2.思考新問題(有些疑慮);3.參與互動,積極總結(jié)情景-問題教學(xué),啟發(fā)學(xué)生思考三個問題,逐層推進,逐步深入,使學(xué)生充分認識到用小平頂柱體近似代替小曲頂柱體的合理性,實現(xiàn)由感性認識到理性認識的升華.實例引入,激發(fā)學(xué)生興趣,調(diào)動學(xué)生自行探索,自然發(fā)現(xiàn)問題.視頻演示求曲頂柱體體積過程,形象地展示“分割、近似替代、求和、取極限”的經(jīng)典過程,讓學(xué)生直觀理解解決問題的基本思想,明確其正確性和可執(zhí)行性,增強學(xué)習(xí)信心.通過圖示,引導(dǎo)學(xué)生對引例進行類比,有益于快速觀察到要點,有助于形成初步印象.Ⅱ.講授及探討概念(15分鐘)1.ppt展示二重積分定義,分步強調(diào)關(guān)鍵表述;2. 與定積分進行類比:列表類比→概念形成數(shù)學(xué)思想和過程→二重積分的幾何性質(zhì)和物理意義→二重積分的發(fā)展簡史.1.概念講授時主要以聆聽為主;2.類比中嘗試學(xué)生自己進行總結(jié),再對照加深理解.強調(diào)這是重點:1.從多個方面進行深入探討,加深概念理解.2. 積分數(shù)學(xué)思想;3.相關(guān)的數(shù)學(xué)發(fā)展史簡介,拓展知識視野;Ⅲ.鞏固知識與強化拓展(15分鐘)例1 利用二重積分定義計算?[0,1;0,1]x2ydσ;討論、練習(xí)板書講解,鞏固概念及性質(zhì),感知利用概念計算二重積分的困難性.培養(yǎng)學(xué)生求真求實、踏實認真的做事態(tài)度.Ⅳ.思想方法與知識總結(jié)(3分鐘)Ⅴ.課后作業(yè)布置及預(yù)習(xí)(2分鐘)1.作業(yè):課后習(xí)題1,6;2.小組任務(wù):思維導(dǎo)圖制作(提示:知識結(jié)構(gòu)、與定積分類比、思想方法等) 3.預(yù)習(xí):二重積分的計算.教學(xué)評價與反思1.在教學(xué)理念方面:課程以學(xué)生為中心,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情境,讓學(xué)生在課堂上成為主角,教師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.2.在知識目標方面:做到教學(xué)思路清晰、突出重點、突破難點.3.在教學(xué)過程方面:在課堂上采取小組討論、個別提問、學(xué)生總結(jié)等方法讓學(xué)生參與到教學(xué)過程中,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)方法,立德樹人,突出能力培養(yǎng),關(guān)注學(xué)生的終身發(fā)展.4.在教學(xué)方法與策略方面:能根據(jù)教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容選擇合適的教學(xué)方法.