緒玉珍

(江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院 221000)

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)的極限是極限理論的一個(gè)重要組成部分.極限為零的變量稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱“無窮小”，在函數(shù)及數(shù)列的極限、函數(shù)的連續(xù)性、微分和積分的定義中都有無窮小的應(yīng)用.然而，理解清楚無窮小的概念以及運(yùn)算有一定的難度.無窮小的比較問題，不僅是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年全國(guó)碩士研究生招生考試的重要考點(diǎn).本文主要針對(duì)無窮小的比較給出了幾種方法，有利于讀者進(jìn)一步理解無窮小的含義以及更加系統(tǒng)地掌握此類問題的解決方法.

1根據(jù)定義比較無窮小

例1 當(dāng)x→0時(shí)，比較2x-x2與x2-2x3的階.

所以2x-x2是比x2-2x3低階的無窮小.

注1 不是任意兩個(gè)無窮小都可以比較，因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個(gè)無窮小量比值的極限存在或?yàn)闊o窮大時(shí)，才可以比較這兩個(gè)無窮小.特別地，xk+ο(xk)是x的k階無窮小(k>0).類似于這個(gè)方法，對(duì)于無窮小的比較，除了可以使用定義，還可以通過確定每個(gè)無窮小的階，然后比較階的大小來比較兩個(gè)無窮小.

2 比較無窮小的階

2.1 等價(jià)無窮小定階法

定理1只適用于函數(shù)相乘或者相除形式的極限，加減法并不適用.

2.2 與(x-a)k(k>0)比較定階法

2.3 泰勒公式定階法

取x0=0，那么有帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：

對(duì)于一些常見函數(shù)相加減的形式，用不了等價(jià)無窮小替換時(shí)，泰勒公式是個(gè)很好的選擇.

例4 當(dāng)x→0時(shí)，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，求a,b.

泰勒公式在求極限時(shí)使用方便，實(shí)際上利用泰勒公式還可以找一個(gè)無窮小量的等價(jià)無窮小.

特別地，若f(x0)=0，f′(x0)≠0，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)～f′(x0)(x-x0).

注2 在利用泰勒公式求函數(shù)相加減后的量的等價(jià)無窮小時(shí)，要將各函數(shù)展開到相同階數(shù)，并且在加減運(yùn)算完成后至少要剩余一個(gè)非零項(xiàng)，才可以根據(jù)推論1得到函數(shù)的等價(jià)無窮小.

2.4 求導(dǎo)定階法

此定理由洛必達(dá)法則容易證明.

由定理3可知，比較兩個(gè)無窮小α與β的階，可以轉(zhuǎn)化為比較它們各自的導(dǎo)函數(shù)α′與β′的階數(shù)，α′與β′階數(shù)具有什么樣的關(guān)系，則α與β階數(shù)具有同樣的關(guān)系.當(dāng)前面三種定階法都不能很好地處理無窮小比較的問題時(shí)，求導(dǎo)定階法往往可以解決一定的問題.特別地，如果遇到多個(gè)無窮小是積分上限的函數(shù)，在比較這些無窮小時(shí)，求導(dǎo)定階法可以快速地解決問題.

例5 (2020年全國(guó)碩士研究生招生考試試題)當(dāng)x→0+時(shí)，下列無窮小量中階數(shù)最高的是( ).

解當(dāng)x→0+時(shí)，由于四個(gè)選項(xiàng)中的無窮小都是積分上限的函數(shù)，比較它們的階數(shù)，相當(dāng)于比較它們各自的導(dǎo)函數(shù)的階數(shù).

將以上四種確定無窮小的階數(shù)的方法靈活使用，可以更加有效地處理無窮小的比較問題.

4結(jié)論

本文主要從無窮小比較的定義、等價(jià)無窮小定階法、比較定階法、泰勒公式定階法、求導(dǎo)定階法五種方法系統(tǒng)地歸納了無窮小量的比較問題，并結(jié)合實(shí)例給出了分析過程，使方法可以很好地結(jié)合實(shí)例進(jìn)行應(yīng)用.靈活使用這些方法，可以做到更加有效地解決無窮小的比較問題.