胡坤 王旭

在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)中，高斯計(jì)算“123100？+++???+=”的故事常作為典型數(shù)學(xué)史，鮮有其他數(shù)學(xué)史案例．事實(shí)上，我國有著悠久的歷史文化，很多方面都有豐富的典籍流傳于世，在數(shù)學(xué)教學(xué)上不能忘記自己的傳統(tǒng)，不能忽略自己傳統(tǒng)中有重要價(jià)值的東西[1]．《算經(jīng)十書》是具有代表性意義的十種數(shù)學(xué)著作，它們是了解我國古代數(shù)學(xué)史的必要文獻(xiàn)．《算經(jīng)十書》中的《張丘建算經(jīng)》就有很多利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問題的案例．若在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中融入這些案例，就能讓學(xué)生更深入了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，開拓視野，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]．

1 史料閱讀，欣賞古代數(shù)學(xué)文化成就

《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，現(xiàn)傳本分為上、中、下三卷．卷中結(jié)尾及卷下開頭現(xiàn)均已殘缺，共保存有92個(gè)數(shù)學(xué)問題及其解答，雖其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相似，但在最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)、等差數(shù)列、不定方程等方面超過了《九章算術(shù)》的水平．其中，關(guān)于等差數(shù)列的同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)．下面通過閱讀史料具體了解一下《張丘建算經(jīng)》．

材料閱讀——《張丘建算經(jīng)》提要[3]．《張丘建算經(jīng)》三卷，自序最后題“清河張丘建謹(jǐn)序”，不詳著書年代．清河是張姓郡望，未必是作者的籍貫．據(jù)卷中題目與魏書《食貨志》的記載，斷定《張丘建算經(jīng)》的編書年代是在公元466年～485年．

《張丘建算經(jīng)》繼承了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，并且提供了很多推陳出新的創(chuàng)見，主要有以下幾點(diǎn)：（1）卷上第10、11題是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用題．（2）卷上第22、23、32題，卷中第1題和卷下第36題等是等差級數(shù)應(yīng)用問題．（3）有些算術(shù)問題比較難解，在《九章算術(shù)》中用“盈不足術(shù)”來解答．張丘建對這些問題一一加以分析，從而獲得直接的解答方法．（4）卷中第22題和卷下第9題都需要采用“開帶從平方”（求二次方程正根）來解決，這推廣了“開帶從平方”的應(yīng)用，是我國數(shù)學(xué)史上最早出現(xiàn)的不定方程問題．

現(xiàn)在常見各種版本的《張丘建算經(jīng)》，皆出于南宋刻本．古本保存于上海圖書館．

問題1 閱讀完材料，談?wù)勀銓ξ覈鴶?shù)學(xué)史上取得的成就的感受．

設(shè)計(jì)意圖 將數(shù)學(xué)文化史料融入教學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．同時(shí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)．

教師可引導(dǎo)學(xué)生交流分享，亦可參與交流．引導(dǎo)學(xué)生對我國古代數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力產(chǎn)生欽佩之情，及對不屈不饒、精益求精的精神產(chǎn)生敬意．

2 合作交流，古今對比拓寬視野

教師引導(dǎo)各學(xué)習(xí)小組相互合作，合理分配任務(wù)，讓學(xué)生帶著下列問題登錄網(wǎng)上圖書館查閱《張丘建算經(jīng)》，并摘錄至學(xué)習(xí)共享平臺(tái)．

問題2 根據(jù)上述材料，找出《張丘建算經(jīng)》中的等差數(shù)列問題．

設(shè)計(jì)意圖 注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，提高教學(xué)的實(shí)效性．利用網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)信息交流，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建平臺(tái)，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升溝通合作能力．

在各學(xué)習(xí)小組已經(jīng)完成任務(wù)后，一起來看學(xué)習(xí)共享平臺(tái)：

（小組1）卷上第22題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？

（小組2）卷上第23題：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何？

（小組3）卷上第32題：今有人與錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還數(shù)聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？

（小組4）卷中第1題：今有戶出銀一斤八兩一十二銖，今以家有貧富不等，今戶別作差品，通融出之，最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問戶幾何？

（小組5）卷下第36題：今有舉取他絹，重作券，要過限一日，息絹一尺，二日息二尺，如是息絹日多一尺．今過限一百日，問息絹幾何？

我國古代著書都以文言文記載，《張丘建算經(jīng)》亦是如此．相對于現(xiàn)代漢語，無文言文常識(shí)就難以理解．現(xiàn)在各小組根據(jù)自身組員情況，可以嘗試自譯，也可以尋求其他小組，或借助網(wǎng)絡(luò)幫助完成．

問題3 嘗試將古漢語數(shù)學(xué)問題翻譯為現(xiàn)代漢語數(shù)學(xué)問題，并上傳至學(xué)習(xí)共享平臺(tái)．

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生養(yǎng)成能學(xué)習(xí)、會(huì)學(xué)習(xí)、善學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣．同時(shí)，充分發(fā)揮信息技術(shù)、教育大數(shù)據(jù)平臺(tái)在數(shù)學(xué)教學(xué)上的作用[5]，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決數(shù)學(xué)問題．以上五個(gè)問題譯文如下：

（小組1）卷上第22題：現(xiàn)有一女子善于織布，織得很快，織的尺數(shù)逐日增多．已知她某月的第一天織布5尺，一個(gè)月共織9匹3丈，問該女子每天多織多少布？（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一個(gè)月按30天計(jì)算．）

（小組2）卷上第23題：現(xiàn)有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織1尺，30天織完，問30天共織多少布？

（小組3）卷上第32題：現(xiàn)在有人要給大家發(fā)錢．第一人發(fā)3錢，第二人發(fā)4錢，第三人發(fā)5錢，依次類推，后一人比前一人多發(fā)1錢．若將所有人的錢都收上來，再平均分給大家，這樣每人可以分得100錢．問，一共給多少人發(fā)錢？

（小組4）卷中第1題：每戶應(yīng)交稅銀1斤8兩12銖，經(jīng)協(xié)商，若考慮貧富的差別，貧者少交，富者多交．家最貧者交8兩，戶別差為3兩，則交稅銀的戶數(shù)是多少？（注：1斤=16兩，1兩=24銖）

（小組5）卷下第36題：債主拿欠債方的絹?zhàn)龅盅浩罚窟^期一天便加收一天利息，債務(wù)過期一天要收利息1尺絹，過期二天則第二天便再收利息2尺絹，這樣，每天利息比前一天增加1尺絹．若過期100天，欠債方共交多少利息？

通過譯文，古今對比欣賞到了《張丘建算經(jīng)》的等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題．雖然在《張丘建算經(jīng)》中給出了答案與解題過程，但出于是文言文，專業(yè)術(shù)語依然晦澀難懂．那么，這些問題能不能古為今用，能不能今法解古？

3 古題今解，夯實(shí)基礎(chǔ)積累建模經(jīng)驗(yàn)

眾所周知，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題常要數(shù)學(xué)化，即對實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題．古題今解，就是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，一是對先前知識(shí)的鞏固；二是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平，積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)．

問題4 各小組能否建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決《張丘建算經(jīng)》中摘錄的實(shí)際應(yīng)用問題？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生對簡單的實(shí)際問題選擇適當(dāng)?shù)闹R(shí)（數(shù)列）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決．感悟數(shù)列是可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中一類具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用．

教師巡視，與各學(xué)習(xí)小組交流溝通，了解學(xué)生情況，予以必要的提點(diǎn)．完成后，請各小組選派一人來分享他們構(gòu)建的模型和解決問題的思想過程．鼓勵(lì)學(xué)生在聽取他人分享的時(shí)候，提出合理質(zhì)疑．如果可以的話，給出解決方案．

（小組1）本組認(rèn)為此題在現(xiàn)代實(shí)際生活中屬于工程模型問題．

教師及時(shí)點(diǎn)評各小組的分享，強(qiáng)調(diào)問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)、注意點(diǎn)，最后總結(jié)，深化教學(xué)目標(biāo)．在用數(shù)列模型解決問題的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)列與方程思想，體會(huì)等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用展現(xiàn)的數(shù)學(xué)簡潔美．大家都知道，問題解決往往并非只有一種方法，尤其在數(shù)學(xué)建模中，問題的發(fā)現(xiàn)與提出、模型的建立與求解，不同人有不同想法與方案，這就需要進(jìn)一步對模型檢驗(yàn)與完善，對問題加以分析從而解決，讓得出的結(jié)論更加貼合實(shí)際．

4 總結(jié)、反思與展望

弘揚(yáng)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，在教育教學(xué)上如何將之落到實(shí)處？回顧全文可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中融入古代數(shù)學(xué)史，不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)[4]，而且能夠讓學(xué)生通過閱讀了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)精髓，促使學(xué)生充分感受社會(huì)歷史文化、數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過程中蘊(yùn)涵的民族精神與情感，從而不斷健全學(xué)生的人格，培養(yǎng)學(xué)生高尚情感，讓學(xué)生獲得自信，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展．在數(shù)學(xué)教學(xué)上，尤其是基礎(chǔ)知識(shí)上，教師不妨嘗試放“慢”一點(diǎn)，膽子大一點(diǎn)，預(yù)留一些傳統(tǒng)文化滲透的空間．

參考文獻(xiàn)

[1]周學(xué)智，王光明．傳統(tǒng)的現(xiàn)代價(jià)值——評代欽教授著作《數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)文化》[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（4）：61-63，66

[2]中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[3]錢寶琮．校點(diǎn)．算經(jīng)十書[M]．北京：中華書局，1963

[4]任子朝，陳昂，趙軒．加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀能力考查展現(xiàn)邏輯思維功底[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（7）：8-13

[5]胡坤．基于智學(xué)教育大數(shù)據(jù)平臺(tái)的數(shù)學(xué)教與學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（1）：58-59，72