張麗娟，耿秀麗

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093)

0 引言

多屬性決策(Multiple Criteria Decision Making，MADM)是決策理論的重要研究?jī)?nèi)容，通過(guò)選定的決策方法得到完整的方案排序。但由于現(xiàn)實(shí)生活中決策情景的復(fù)雜化以及決策者主觀思維的模糊性和不確定性，傳統(tǒng)二支決策方法（即只劃定接受和拒絕）的局限性也越來(lái)越明顯?；诖耍瑖?guó)內(nèi)外的研究學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)的多屬性決策進(jìn)行了拓展，包括在二支決策中引入延遲決策，提出了三支決策（Three-Way Decisions，3WD）的概念。

三支決策是由YAO等[1]基于決策粗糙集理論模型（Decision-Theoretic Rough Sets，DTRSs），進(jìn)一步結(jié)合決策情景而提出的一種決策理論。它成功地為粗糙集的正域、負(fù)域和邊界域合理地賦予了語(yǔ)義解釋[2]。三支決策的關(guān)鍵在于損失函數(shù)和條件概率的確定，在損失函數(shù)的評(píng)估方面，當(dāng)前大多數(shù)決策粗糙集模型中的代價(jià)損失函數(shù)都是以精確數(shù)值形式給出，但在實(shí)際決策過(guò)程中決策者往往很難對(duì)損失函數(shù)給出具體的實(shí)值評(píng)價(jià)，而相對(duì)容易給出不確定的形式[3]。針對(duì)此問題，本文利用直覺模糊在處理模糊性和不確定性問題時(shí)的靈活性和實(shí)用性優(yōu)勢(shì)，去表達(dá)損失函數(shù)中的模糊信息。

在條件概率的確定方面，LIU等[4]依據(jù)決策專家的主觀經(jīng)驗(yàn)給出條件概率，缺乏可解釋性和可參考性；LIANG 等[5]基于猶豫直覺模糊，利用熵與交叉熵的概念確定條件概率；高楊等[6]基于損失函數(shù)矩陣，選取改進(jìn)多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序（VIKOR）方法得到目標(biāo)的折衷排序值以估計(jì)條件概率；DENG 等[7]參照模糊β鄰域的概念進(jìn)一步得到各備選方案的條件概率，應(yīng)用范圍廣并且可行性強(qiáng)。本文參考文獻(xiàn)[7]的方式，先通過(guò)多數(shù)原則確定狀態(tài)集，把所有備選方案分成兩類，結(jié)合基于模糊覆蓋的模糊粗糙集確定條件概率。

損失函數(shù)和條件概率確定之后，依據(jù)三支決策的決策規(guī)則完成各備選方案決策域的分類。孫作雨等[8]提出了基于TOPSIS 的三支決策評(píng)價(jià)模型，通過(guò)檢測(cè)評(píng)價(jià)對(duì)象與最優(yōu)解、最劣解的距離進(jìn)行排序，基于此得到最終的三支分類結(jié)果。高楊等[6]針對(duì)在復(fù)雜動(dòng)態(tài)任務(wù)環(huán)境需要主觀做出判斷的情形下，提出了基于VIKOR 和三支決策的多目標(biāo)威脅評(píng)估方法，結(jié)合計(jì)算所得的綜合閾值和條件概率生成決策規(guī)則。這些研究成果大多依靠決策者主觀去做出判斷，交互式多屬性決策(Tomada de Decisao Interactiva e Multicritévio，TODIM)方法是一個(gè)基于前景理論基礎(chǔ)上的行為決策方法，充分考慮到了決策者的心理行為，通過(guò)直接選用其他比較方案的指標(biāo)值作為參考點(diǎn)[9]。因此將TODIM 應(yīng)用在三支決策中，可以使得決策更符合決策者的有限理性，從而能夠幫助決策者做出更加可靠的決策。

本文針對(duì)多屬性決策問題，在直覺模糊決策環(huán)境下將決策者的心理偏好引入三支決策，提出了一種基于TODIM 的三支多屬性決策方法。在決策粗糙集的基礎(chǔ)上，根據(jù)各備選方案各屬性的評(píng)價(jià)信息表，得到多屬性聚合損失函數(shù)矩陣，進(jìn)而得到相對(duì)損失函數(shù)。根據(jù)計(jì)算所得各方案的條件概率，參考TODIM 得到各方案三種行動(dòng)（即接受，延遲和拒絕決策）的綜合感知優(yōu)勢(shì)度，并建立三支決策規(guī)則，得出方案屬于接受域、拒絕域還是延遲決策域。最后，通過(guò)一個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證本文所提出方法的有效性和合理性，且與前人的決策方法進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證本方法的有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 直覺模糊集

定義1[10]設(shè)U={x1,x2,…,xn} 是非空有限的對(duì)象集，稱為論域。集合稱為直覺模糊集，μ(x)和(x)分別稱為對(duì)象x屬于U的隸屬度和非隸屬度。也即：

其中0 ≤μ(x)+v(x)≤1，另外πA(x)=1-μ(x)-v(x),代表直覺模糊集A中元素x的猶豫度或者直覺模糊指標(biāo)。U上的全體直覺模糊集所構(gòu)成的集合記為IF(U)。

直覺模糊集中的元素稱為直覺模糊數(shù)。通常情況下，直覺模糊數(shù)可以用表示，簡(jiǎn)記為分別表示兩個(gè)直覺模糊數(shù)時(shí)，其得分函數(shù)[12]和距離測(cè)度[13]表示如下：

1.2 三支決策基礎(chǔ)

設(shè)U是有限非空集合，R?UU是定義在U上的等價(jià)關(guān)系，apr=(U,R)是粗糙近似空間，U可以被等價(jià)關(guān)系R進(jìn)行劃分，設(shè)定閾值滿足0，?C?U是概率粗糙集的上近似和下近似集分別為：

為了賦予三個(gè)域合理的語(yǔ)義解釋，YAO結(jié)合Bayesian最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論，提出決策粗糙集理論包含兩類狀態(tài)和三種行動(dòng)。設(shè)Ω={C,?C} 是狀態(tài)集，狀態(tài)集包含目標(biāo)的兩類狀態(tài)，分別表示目標(biāo)屬于或不屬于C。A={ap,aB,aN} 為行動(dòng)集，行動(dòng)集包含三種行動(dòng)：ap表示x∈POS(C)，aB表示x∈BND(C)，aN表示x∈NEG(C)分別代表接受、延遲和拒絕決策三種行動(dòng)。假設(shè)不同狀態(tài)下采取的不同行動(dòng)所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)損失以直覺模糊數(shù)值的形式給出，即(i,j=P,B,N)，具體詳見表1。

表1 直覺模糊風(fēng)險(xiǎn)損失函數(shù)矩陣

在表1中，λPP，λBP和λNP分別表示當(dāng)目標(biāo)屬于C時(shí)，采取行動(dòng)ap，aB和aN所對(duì)應(yīng)的損失值;λPN，λBN和λNN分別表示當(dāng)目標(biāo)不屬于C時(shí)，采取行動(dòng)ap，aB和aN所對(duì)應(yīng)的損失值。通常損失函數(shù)滿足0 ≤λPP≤λBP＜λNP和0 ≤λNN≤λBN＜λPN?？梢缘玫?jīng)Q策粗糙集的三支決策規(guī)則：

（P）：如果Pr(C|[x])≥α和Pr(C|[x])≥γ成立，則有x∈POS(C)。

（B）：如果Pr(C|[x])≤α和Pr(C|[x])≥β成立，則有x∈BND(C)。

（N）：如果Pr(C|[x])≥β和Pr(C|[x])≤γ成立，則有x∈NEG(C)。

其中各閾值分別為：

令β＜α，則三支決策規(guī)則為：

(P1)：如Pr(C|[x])≥α成立，則x∈POS(C)；

(B1)：如β＜Pr(C|[x])＜α成立，則x∈BND(C)；

(N1)：如Pr(C|[x])≤β成立，則x∈NEG(C)。

2 直覺模糊信息下基于三支決策的多屬性決策方法

2.1 算法的主要流程

本文所提方法改變了傳統(tǒng)“非此即彼”的方案決策模式，同時(shí)考慮到?jīng)Q策者具有參照依賴和損失規(guī)避行為，提出了直覺模糊信息下考慮決策者心理行為的三支多屬性決策方法。根據(jù)三支決策，實(shí)現(xiàn)基于“接受-延遲-拒絕”模式的決策分類，核心包括計(jì)算各方案的損失函數(shù)和條件概率，結(jié)合TODIM 推導(dǎo)決策規(guī)則，計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 計(jì)算流程圖

2.2 損失函數(shù)表示

損失函數(shù)的構(gòu)成涉及兩種狀態(tài)和三種行動(dòng)，方案的兩類狀態(tài)分別表示屬于或不屬于C，三種行動(dòng){ap,aB,aN} 分別表示接受決策，延遲決策和拒絕決策。λPP，λBP和λNP分別表示x屬于C時(shí)，決策ap,aB,aN的損失函數(shù)值，λPN，λBN和λNN分別表示x不屬于C時(shí)，決策ap,aB,aN的損失函數(shù)值，由此，構(gòu)建出多屬性聚合損失函數(shù)矩陣。具體步驟如下。

步驟1 構(gòu)建直覺模糊信息評(píng)價(jià)矩陣

假設(shè)各屬性的評(píng)價(jià)信息值以直覺模糊數(shù)的形式給出，備選方案集X={X1,X2,…,Xm}，屬性集C=為評(píng)價(jià)信息矩陣的集合。則多屬性綜合直覺模糊評(píng)價(jià)信息聚合為

步驟2 構(gòu)建并表示各方案的相對(duì)損失函數(shù)矩陣

根據(jù)公式計(jì)算出各直覺模糊數(shù)的距離測(cè)度，結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)σ得到各方案的相對(duì)損失函數(shù)矩陣如下：

步驟3 構(gòu)建多屬性相對(duì)損失聚合矩陣

進(jìn)一步結(jié)合屬性權(quán)重因子ωj，可獲得方案xi的多屬性相對(duì)損失矩陣表示如下：

2.3 條件概率計(jì)算

定義4假設(shè)一個(gè)元組S=(U,A∪jlrzjxp)是一個(gè)多屬性決策信息系統(tǒng)，決策屬性d的值域表示為Vd，根據(jù)決策的屬性值，所有對(duì)象可以分為兩類：

多數(shù)原則中2/3 是決策屬性評(píng)估值的臨界點(diǎn)，多數(shù)原則在生活中隨處可見，比如在干部選拔過(guò)程中，得票超過(guò)一半的人就能保證晉升，合格率在2/3 以上就能確定備選方案的資格等。因此，通過(guò)把對(duì)象分為D1和D2，分別對(duì)應(yīng)于三支決策里的“好狀態(tài)”D1和“不好狀態(tài)”D2。在不引起任何混淆的情況下，把D1和D2分別表示為D 和≠gD。通過(guò)多數(shù)原則可以表示出條件概率，其中Pr(≠gD|[x]σ)+Pr(D|[x]σ)=1。

條件概率計(jì)算步驟如下：根據(jù)決策屬性值的2/3原則分類，把各備選方案分為D 和≠gD兩類。再根據(jù)定義3中模糊β鄰域的概念去計(jì)算各方案條件概率。

2.4 三支決策規(guī)則生成

在決策過(guò)程中，決策者面對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，更傾向于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。本節(jié)利用TODIM 方法推導(dǎo)三支決策規(guī)則。

條件概率PP=Pr(C|x)和PN=Pr(?C|x)=1-Pr(C|x)=1-PP表示的相對(duì)值為：

其中，j=P,N,Pr={PP,PN} 。⑴當(dāng)PP＞0.5時(shí)，Pr=PP，此時(shí)：

由公式表示各方案下行動(dòng)am與al的優(yōu)勢(shì)度?j(am,al)(j=P,N)，R指收益集合，L指損失集合。計(jì)算公式為：

其中，m∈{P,B,N},l={P,B,N}，θ表示損耗衰退系數(shù)。因此對(duì)應(yīng)三種情況下的優(yōu)勢(shì)度分別為：

參考TODIM 方法，表示出各方案行動(dòng)am對(duì)al的綜合感知優(yōu)勢(shì)度為：

那么行動(dòng)am的綜合感知優(yōu)勢(shì)度為：

基于此，我們可以分別計(jì)算出各方案三種行動(dòng)的綜合感知優(yōu)勢(shì)度為：

最后，建立如下的三支決策規(guī)則：

（P1）如果同時(shí)滿足φ(aP)≥φ(aB)和φ(aP)≥φ(aN)，則x∈POS(C)。

（B1）如果同時(shí)滿足φ(aB)≥φ(aP)和φ(aB)≥φ(aN)，則x∈BND(C)。

（N1）如果同時(shí)滿足φ(aN)≥φ(aP)和φ(aN)≥φ(aB)，則x∈NEG(C)。

3 案例分析

隨著我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，投資項(xiàng)目日漸增多，現(xiàn)企業(yè)準(zhǔn)備將一筆資金投資給若干個(gè)工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)品去進(jìn)行開發(fā)改進(jìn)，為此，該企業(yè)成立了一個(gè)評(píng)估委員會(huì)來(lái)商討并作出決定。本節(jié)通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例驗(yàn)證所提方法的有效性。

3.1 算例計(jì)算

現(xiàn)有七個(gè)工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)品開發(fā)項(xiàng)目參與其中，委員會(huì)決定主要從四個(gè)方面去進(jìn)行評(píng)估。設(shè)可選擇備選方案集合為X={X1,X2,…X7}，評(píng)價(jià)指標(biāo)有4個(gè)，記作C={c1,c2,…c4}，分別為靈活度(C1)，承載力(C2)，作動(dòng)范圍(C3)和作業(yè)效率(C4)，屬性的權(quán)重向量由評(píng)估委員會(huì)協(xié)商一致確定，記作ω={ω1,ω2,ω3,ω4}={0.3,0.1,02,0,4}。σ 是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)(0≤σ≤0.5)，σ取值越大，表示掌握的評(píng)估信息越充足，本文折中設(shè)定為0.3。θ是損耗衰退系數(shù)，通常情況下，1≤θ≤2.5，選取較大的θ值則總體優(yōu)勢(shì)度相對(duì)大的方案即使在一些方案上有損失，但同時(shí)可以提供更大的收益，本文θ值設(shè)為2.5。通過(guò)綜合評(píng)估得到最終的評(píng)價(jià)信息收集如表2所示。

表2 綜合多屬性評(píng)估信息表

根據(jù)公式可以計(jì)算出距離測(cè)度，從而可以得到多屬性相對(duì)損失函數(shù)信息如表3所示。

表3 相對(duì)損失函數(shù)信息表

根據(jù)相對(duì)損失函數(shù)進(jìn)而得到收益集合R和損失集合L如表4、表5所示。同時(shí)各方案屬性的評(píng)估得分函數(shù)如表6所示。

表4 收益集合

表5 損失集合

表6 各屬性的評(píng)估得分函數(shù)

同時(shí)，根據(jù)定義4 和決策屬性把所有的對(duì)象分成兩類，即D={x1,x5,x6} 和?D={x2,x3,x4,x7} 。根據(jù)定義4，C={C1,C2,C3,C4}，可以看作是U的模糊β鄰域覆蓋（0＜β≤0.48），可以計(jì)算出所有的模糊β鄰域如表7所示。

表7 各屬性的模糊鄰域覆蓋

從而可以得到：

然后得到條件概率如表8所示。

表8 各方案的條件概率

借助TODIM 公式生成決策規(guī)則。根據(jù)公式可以計(jì)算得到行動(dòng)am對(duì)al的綜合感知優(yōu)勢(shì)度，進(jìn)一步得到方案接受、延遲和拒絕三種行動(dòng)的綜合感知優(yōu)勢(shì)度如表9 所示。最后根據(jù)⒁-⒃可以得到最后的分類如 表10 所 示：POS(C)={x1,x5,x6},BND(C)={x3,x7},NEG(C)={x2,x4} 。結(jié)果表明，x1,x5,x6為考慮投資的三款工業(yè)機(jī)器人，x3,x7為需要進(jìn)一步考察的兩款，x2,x4為直接不予投資的兩款。根據(jù)分類結(jié)果可以優(yōu)化投資資源的使用，為進(jìn)一步投資做有效的考量。

表9 各方案的綜合感知優(yōu)勢(shì)度

表10 方案決策分類結(jié)果

3.2 比較分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性和可行性，TOPSIS和三支決策結(jié)合的多屬性決策方法，TOPSIS和三支決策的結(jié)合主要是構(gòu)建多屬性聚合損失函數(shù)矩陣，通過(guò)聚合損失函數(shù)矩陣計(jì)算出目標(biāo)決策閾值和條件概率，從而獲得決策分類結(jié)果。根據(jù)本文案例，基于TOPSIS的三支多屬性決策方法可以得到各備選方案的決策閾值和條件概率如表11所示，從而得到最終分類結(jié)果。

表11 方案的決策閾值與條件概率

由表11可知，運(yùn)用三支決策結(jié)合TOPSIS方法得到的方案分類結(jié)果為POS(C)={x1,x5,x6},BND(C)={x3,x7},NEG(C)={x2,x4} 。與本文所用方法計(jì)算所得結(jié)果幾乎一致。存在差異是由于損耗衰退系數(shù)θ取值的不同，不同的θ取值下方案排序也存在差異。同時(shí)TOPSIS方法是基于完全理性的，沒有考慮到?jīng)Q策者的有限理性，而TODIM 方法可以捕捉到?jīng)Q策者的心理行為，從決策者的角度出發(fā)也更加具有說(shuō)服力，使得分類結(jié)果更加合理。通過(guò)比較也證實(shí)了將TODIM 和三支決策結(jié)合去進(jìn)行決策時(shí)，選取較大的損耗衰退系數(shù)θ更合理。

4 結(jié)論

由于傳統(tǒng)的多屬性決策方法通常是二支決策，只能得到方案的排序結(jié)果，無(wú)法得到客觀的分類結(jié)果。本文基于三支決策思想研究，提出了基于直覺模糊和TODIM的三支多屬性決策方法，創(chuàng)新點(diǎn)在于：

⑴針對(duì)三支決策模型中的損失函數(shù)都是以精確值形式給出，無(wú)法有效表達(dá)模糊信息。采取直覺模糊集和多屬性決策理論結(jié)合，兼顧了直覺模糊集良好的不確定性表征能力和多屬性理論較高的決策評(píng)估精度。

⑵針對(duì)實(shí)際決策過(guò)程中決策者具有參照依賴和損失規(guī)避心理行為，將TODIM 與三支決策結(jié)合表達(dá)決策規(guī)則，充分地考慮到了決策者的心理行為，得到更加準(zhǔn)確合理的決策結(jié)果。