陳書(shū)愉 劉雨晴 王曉燕(通訊作者)

(南通大學(xué)理學(xué)院 江蘇南通 226000)

隨著時(shí)代經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展與進(jìn)步，人們的消費(fèi)需求不斷增長(zhǎng)。新冠疫情對(duì)經(jīng)濟(jì)的沖擊下，刺激消費(fèi)已經(jīng)成為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一輛重要馬車(chē)，而社會(huì)消費(fèi)品零售總額很好地反映了消費(fèi)要素的特征。利用社會(huì)消費(fèi)品零售總額可以了解國(guó)民需求，進(jìn)而了解南通市的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)狀況。

本文分別選用因素分解模型和ARIMA乘積季節(jié)模型(SARIMA模型)對(duì)2010—2021年南通市社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度數(shù)據(jù)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“社消零”)進(jìn)行建模分析并預(yù)測(cè)，比較在兩種模型下真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差大小，進(jìn)而分析南通市社會(huì)消費(fèi)水平發(fā)展趨勢(shì)。

1 樣本選擇與數(shù)據(jù)處理

本文選取南通市 2010年1月至2021年8月 的“社消零”月度數(shù)據(jù)為樣本，由于“社消零”月度數(shù)據(jù)為該年首月到當(dāng)前月的累計(jì)值，并非當(dāng)期值；以累計(jì)值做時(shí)間序列是不合理的，因?yàn)槊總€(gè)月的趨勢(shì)效應(yīng)、隨機(jī)效應(yīng)等均被累計(jì)，計(jì)算當(dāng)期值。鑒于每年月度數(shù)據(jù)線性趨勢(shì)明顯，因此我們采用簡(jiǎn)單的線性插值法補(bǔ)全缺省數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)繪制成時(shí)序圖1。從圖1粗略可見(jiàn)該時(shí)間序列具有明顯的長(zhǎng)期遞增趨勢(shì)，并且隨著趨勢(shì)的遞增，每個(gè)周期的振幅逐漸增大(2020年數(shù)據(jù)的異常是由于疫情的影響)。此外，基本上每一年數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)先上升再下降，這一現(xiàn)象反映出該序列的季節(jié)性。因?yàn)樾蛄芯哂汹厔?shì)性和季節(jié)效應(yīng)，故采用因素分解模和SARIMA模型兩種季節(jié)時(shí)間序列模型對(duì)序列進(jìn)行建模分析。

圖1 2010年1月至2021年8月南通市“社消零”當(dāng)期值時(shí)序

2 模型建立與分析

2.1 因素分解模型

從圖1可以看出：隨著趨勢(shì)的遞增，每個(gè)季節(jié)的振幅也隨之增加，即季節(jié)效應(yīng)受到趨勢(shì)的影響，如虛線所示，周期波動(dòng)范圍隨著趨勢(shì)增加而擴(kuò)大，呈現(xiàn)喇叭形，因此選用因素分解的乘法模型。

2.1.1 利用R軟件對(duì)序列進(jìn)行乘法模型的因素分解

由圖2可見(jiàn)：從現(xiàn)實(shí)出發(fā)2月為中國(guó)農(nóng)歷春節(jié)，消費(fèi)者在此月會(huì)加大支出，消費(fèi)額會(huì)大幅增加，故2月的季節(jié)指數(shù)理應(yīng)最高；接著，3月、4月陸續(xù)上班，季節(jié)指數(shù)應(yīng)逐步下降，而當(dāng)5月時(shí)，勞動(dòng)節(jié)來(lái)臨，市民外出旅游增加消費(fèi)，季節(jié)指數(shù)達(dá)到階段性小高峰；此外，10月國(guó)慶長(zhǎng)假消費(fèi)者外出旅游加大消費(fèi)，季節(jié)指數(shù)上升達(dá)到小高峰，12月年底市民開(kāi)始陸續(xù)準(zhǔn)備年貨，季節(jié)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。故季節(jié)指數(shù)符合現(xiàn)實(shí)意義，分解得當(dāng)。2010—2019年，南通市“社消零”呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但在2020年新冠疫情蔓延，南通實(shí)行封城居家隔離政策，因此趨勢(shì)下降；隨后疫情逐漸得到控制，常態(tài)化管理下居民得以外出工作、消費(fèi)，故而趨勢(shì)又上升；分解出的趨勢(shì)效應(yīng)符合現(xiàn)實(shí)意義，因此分解得當(dāng)。此外分解后隨機(jī)序列在值1附件波動(dòng)，可以認(rèn)為其是白噪聲序列。

圖2 因素分解效果

2.1.2 基于Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

由于上面因素分解可見(jiàn)時(shí)序既有趨勢(shì)又含有季節(jié)，下面利用Holt-Winters三指數(shù)平滑對(duì)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)?；谧顑?yōu)擬合原則計(jì)算出平滑系數(shù)，進(jìn)而得到向前任意k期的預(yù)測(cè)值：

式(1)中j為t+k期對(duì)應(yīng)的季節(jié)，Sj為季節(jié)因子。得到三個(gè)參數(shù)的最后迭代值a(t)=328.6404768,b(t)=1.6966638，Sj的最后的12個(gè)估計(jì)值對(duì)應(yīng)的是12個(gè)月的季節(jié)指數(shù)，分別為0.990197、1.0542752、0.9669401、0.9889556、0.9388016、0.9959767、0.9919118、0.9411289、1.0146027、1.0605129、0.9645991、0.991402。從預(yù)測(cè)值來(lái)看，模型很好地反映的季節(jié)效應(yīng)與趨勢(shì)效應(yīng)，在1、2、5、10與12月均有明顯增加。

2.2 SARIMA模型

2.2.1 序列的平穩(wěn)化處理

根據(jù)圖1分析結(jié)果，對(duì)原序列做1階12步差分消除趨勢(shì)和季節(jié)效應(yīng)，數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性也已被基本消除，基本可視為平穩(wěn)序列，進(jìn)一步對(duì)此做平穩(wěn)性的ADF檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果顯示P值均小于顯著性水平0.01，數(shù)據(jù)在1%檢驗(yàn)水平下拒絕原假設(shè)，此時(shí)時(shí)間序列已經(jīng)平穩(wěn)，故差分后序列通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)。此外，通過(guò)純隨機(jī)檢驗(yàn)，延遲6階和延遲12階LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都顯著小于0.05，該模型是非白噪聲序列。

2.2.2 模型定階和參數(shù)估計(jì)

為了給模型的定階，畫(huà)出其延遲36階的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖(見(jiàn)圖3)。

圖3 自相關(guān)和偏相關(guān)

由圖3進(jìn)行模型選擇，觀察非季節(jié)性部分：自相關(guān)系數(shù)(ACF)由圖顯示在一階顯著超出二倍標(biāo)準(zhǔn)差，其他階數(shù)均小于二倍標(biāo)準(zhǔn)差，可認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)一階截尾；偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)圖可見(jiàn)一階二階顯著超出二倍標(biāo)準(zhǔn)差，可判斷該序列偏自相關(guān)系數(shù)二階截尾，也可理解為均是拖尾的。觀察季節(jié)自相關(guān)和偏自相關(guān)特征：自相關(guān)圖顯示延遲36階和48階的自相關(guān)系數(shù)均顯著非零，偏自相關(guān)圖顯示延遲24階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著非零，而延遲36階和48階的偏自相關(guān)系數(shù)均落入兩倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，可以認(rèn)為偏自相關(guān)系數(shù)2周期截尾。因此可以認(rèn)為季節(jié)自相關(guān)系數(shù)是自相關(guān)拖尾(Q=0)，偏自相關(guān)2周期截尾(P=2)。通過(guò)以上分析，選SARIMA季節(jié)乘積模型ARIMA(1,1,2)×(P,D,Q)S來(lái)進(jìn)行擬合，且根據(jù) AIC 準(zhǔn)則進(jìn)行模型篩選。我們?cè)谒A數(shù)的附近采用逐次升階策略計(jì)算各模型的AIC準(zhǔn)則，經(jīng)多次嘗試，模型的AIC相對(duì)于其他模型要小，且模型參數(shù)不能拒絕參數(shù)為 0 的假定，因此認(rèn)為該模型優(yōu)于其他定階模型。模型擬合顯式表達(dá)為：

2.2.3 模型適應(yīng)性檢驗(yàn)與序列預(yù)測(cè)

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：模型系數(shù)均大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，表示參數(shù)是顯著的；殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果可以看出各階延遲下白噪聲檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都顯著大于0.05，可以認(rèn)為擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，認(rèn)為擬合模型顯著成立。可以進(jìn)行序列的預(yù)測(cè)，由圖4預(yù)測(cè)圖可見(jiàn)，模型的擬合值和實(shí)際的變動(dòng)具有較好的一致性。

圖4 SARIMA季節(jié)乘法模型預(yù)測(cè)效果圖

2.3 模型對(duì)比

利用因素分解模型(1)對(duì) 2021年9月至2022年3月的“社消零”總額當(dāng)期值進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將實(shí)際值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較。通過(guò)計(jì)算比較，從表1中可以看出預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差控制在10%以?xún)?nèi)，通過(guò)計(jì)算得平均相對(duì)誤差為5.63%。在 SARIMA模型(2)下，數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差控制在 7%以?xún)?nèi)，平均相對(duì)誤差為4.62%。從預(yù)測(cè)的結(jié)果來(lái)看，雖然兩種模型都考慮到了時(shí)間序列數(shù)據(jù)趨勢(shì)性和季節(jié)性，但預(yù)測(cè)效果都一般。對(duì)比因素分解模型，SARIMA模型更能較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)南通的“社消零”的季節(jié)變化，相對(duì)誤差較小。從預(yù)測(cè)趨勢(shì)可見(jiàn)南通市未來(lái)短時(shí)間內(nèi)的“社消零”仍將保持高速增長(zhǎng)，新冠疫情對(duì)南通消費(fèi)水平影響不大。

表1 兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用因素分解模型和SARIMA模型對(duì)南通市城鎮(zhèn)居民社會(huì)消費(fèi)品零售總額當(dāng)期值進(jìn)行預(yù)測(cè)，SARIMA模型預(yù)測(cè)的誤差較小，說(shuō)明采用SARIMA模型預(yù)測(cè)南通市社會(huì)消費(fèi)品零售總額當(dāng)期值是可行的，短期預(yù)測(cè)具有一定的可信度，可為南通市宏觀經(jīng)濟(jì)決策提供參考，促進(jìn)地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展。