何月豐

【編者按】“數與運算”是“數與代數”領域的兩大主題之一，是小學數學教學的重要組成部分?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》首次系統性地提出了“數與運算的一致性”，其中包含了數的概念的一致性與運算的一致性。幫助學生感悟運算的一致性，對于其運算能力、推理意識、符號意識等核心素養(yǎng)的發(fā)展有著重要意義。教師如何厘清運算的一致性的本質，以整體的視角觀照數學教學，幫助學生實現核心素養(yǎng)的發(fā)展？本期話題圍繞小學數學運算的一致性研究展開。

【摘 要】運算的一致性是《義務教育數學課程標準（2022年版）》對運算教學提出的新要求，其內涵主要表現為加法、減法、乘法、除法在整數、小數、分數運算中算理、算法的一致。落實好運算的一致性，需要厘清教學的要求，清晰其教學是一個循序漸進的過程；需要更系統、更到位地突出計數單位在運算教學中的實際作用和價值；需要結合小學生的實際直觀表征算理和算法；需要從基礎課和比較課兩個層面把握關鍵課的教學；還需立足單元視角把握運算教學。

【關鍵詞】運算 一致性 計數單位

運算的一致性是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）對運算教學提出的新要求。因此，在接下來的小學數學教材編寫及教學中，突出運算的一致性應當成為運算教學的重要任務。作為一線數學教師，在基于《課程標準》編寫的新教材還沒有使用之前，正確理解運算的一致性，并在使用現行教材的過程中積極踐行運算的一致性亦是非常重要的任務。

一、對運算的一致性的理解

運算的一致性，即加法、減法、乘法、除法在整數、小數、分數運算中算理、算法的一致。

如20+30、0.2+0.3、[27]+[37]，這三個加法算式在運算時都會經歷“2+3”（2+3的運算屬于“基本事實”，是所有加減運算的基礎）的過程。在現實背景中，這三個“2+3”的意義是不一樣的，但如果將算式再抽象（算式本身就是抽象的結果）到運算更本質的算理與算法層面，就可以發(fā)現這四個加法算式之間的關系，能夠感悟到加法運算本質上的一致性。20+30=2×10+3×10=（2+3）×10=5×10=50；0.2+0.3=2×0.1+3×0.1=（2+3）×0.1=5×0.1=0.5；[27]+[37]=2×[17]+3×[17]=（2+3）×[17]=5×[17]=[57]。在這里，10、0.1、[17]都是計數單位，2、3是計數單位上的數字（即計數單位的個數）。因此，加法運算的一致性就體現為：相同計數單位上的數字相加，計數單位不變。

減法是加法的逆運算，因此其運算的一致性又與加法一致。于是，加減法運算的一致性可以體現為：相同計數單位上的數字相加減，計數單位不變。

乘除法運算的一致性體現為：計數單位與計數單位相乘除，計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘除。以乘法為例，0.2×0.3=（0.1×2）×（0.1×3）=（0.1×0.1）×（2×3）=0.01×6=0.06。其中“0.1×0.1”是計數單位與計數單位相乘產生新的計數單位，“2×3”（2×3也屬于“基本事實”）是計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘得出一共有幾個新的計數單位。

二、對運算的一致性的教學建議

許多教師對運算的一致性的教學產生了困惑甚至質疑。比如，前文所述20+30的計算方法，用這樣的方法教學20+30可行嗎？當然不行！所以，關于運算的一致性，理解其內涵是一個方面，如何基于小學生的認知特點開展教學又是另一個方面。為此，筆者站在一線的視角，對運算的一致性提出如下教學建議。

（一）厘清教學要求

以“運算的一致性”作為關鍵詞進行搜索，在《課程標準》中的相關表述一共出現了9次，分別出現在“課程目標”“課程內容”和“學業(yè)質量”部分中。仔細分析這9次描述，可以得到一些關于運算的一致性的教學要求。

1.運算的一致性的教學要循序漸進。

在《課程標準》關于運算的一致性的描述中，2次是在第二學段，6次是在第三學段。其中第二學段的關鍵詞是“了解”，第三學段的關鍵詞是“感悟”。

由此可見，運算的一致性的教學是一個循序漸進的過程，即在第二學段是了解——能借助具體實例進行說明；在第三學段是感悟——具有初步的理性認識。

之所以會有這樣的循序漸進過程，一是與學生對數的認識是一個循序漸進的過程有關，二是與對運算的一致性的認識是在比較中實現的有關。

第一，對數的認識。學生對數的認識影響著他們對運算的認識。小學階段學生對數與運算的認識分布大致如下表所示（以人教版為例）。

表1 小學階段學生對數與運算的認識分布

[學段 年級 認識數 認識運算 要求 第一學段 一年級 100以內的數 整數加法、減法 100以內 二年級 萬以內的數 整數乘法、除法 表內 第二學段 三年級 整數加法、減法 萬以內 整數乘法 多位數乘一位數

兩位數乘兩位數 整數除法 除數是一位數 分數初步認識 分數加法、減法 同分母 小數初步認識 小數加法、減法 一位小數 四年級 萬以上的數 整數乘法 三位數乘兩位數 整數除法 除數是兩位數 小數的意義 小數加法、減法 多位小數 第三學段 五年級 小數乘法、除法 分數的意義 分數加法、減法 異分母 六年級 分數乘法、除法 ]

從上表可以清晰看出，學生對運算的認識是從第二學段開始豐富起來的，這與一年級下冊學習了“萬以內的數”有著直接的關系。之后，在學習了分數之后，對應著逐步學習分數的加法、減法、乘法和除法，小數也是如此。

由此可見，學生對數的認識決定了學生對運算的認識，進而決定了學生對運算的一致性的了解與感悟。顯然，這是一個循序漸進的過程，不可能一蹴而就。由此亦可明白，讓學生感悟運算的一致性是一個長期的過程?！墩n程標準》指出，對數的認識不斷加深，對數的運算的要求逐步提高，最后使學生感悟運算的一致性，便很好地佐證了上述觀點。

第二，在比較中實現。一致，是沒有分歧的意思，也可理解為是對于兩個或兩個以上的對象進行比較后的統一。這就是說，運算的一致性，不是在認識某一種運算時感悟到的，而是在學習了兩種或兩種以上的運算后進行比較而感悟到的。上表已經給我們啟示，到第二學段學生對運算的認識開始豐富起來，此時對于運算進行比較的可行性開始顯現，到第三學段隨著學生對于運算的認識進一步豐富（包括學習了運算定律），進行比較的條件進一步充足，就能更好地讓學生感悟運算的一致性了。

綜上所述，強化運算的一致性的教學是整個運算教學的任務，不是某一種運算的任務，是一個長期堅持、循序漸進的過程。更進一步說，這里的一致性是對整個義務教育階段的運算而言的，要使學生了解不同的數及四則運算之間的聯系，感悟算理的一致性。

2.“感悟”是運算的一致性教學的最終目標。

在《課程標準》關于運算的一致性的描述中，有5次的行為動詞是“感悟”，且都在第三學段。同時在“附錄2：有關行為動詞的分類”中對“感悟”的解釋為：在數學活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認識。也就是說，運算的一致性的教學，最終是要幫助學生對它的認識上升到理性層面，即要求教學要使學生從根本上去把握住運算的本質規(guī)律和內在聯系，而不僅僅是停留在理解算理和得出算法層面。

（二）突出計數單位

通過對運算的一致性的內涵分析可以發(fā)現，感悟運算的一致性，核心是計數單位，即要突出計數單位在算理和算法中的意義。換言之，如果計數單位的教學不到位，那么就會給學生感悟運算的一致性帶來一定的困難。

關于計數單位在運算中的意義，在我們當前的運算教學中是有體現的，但還不夠系統和到位，這當然與之前沒有強調運算的一致性有關。因此，在強調運算的一致性背景下，要在運算教學中更系統、更到位地突出計數單位的地位。

第一，更系統。更系統地突出計數單位，包含兩個層面：一是在教學數的認識的時候更加突出計數單位的意義，使學生更好地理解整數、小數、分數都是由計數單位構建的；二是在認識運算的初期就開始突出計數單位在運算中的實際意義，讓學生從一開始便在運算中感受到計數單位的作用，接觸運算的本質規(guī)律。

第二，更到位。更到位地突出計數單位，即不是將計數單位作為理解算理和得出算法的橋梁，更不能過河就拆橋，而是要將計數單位作為運算的核心——體現本質規(guī)律和內在聯系的關鍵。如將加法的運算方法在合適的時機提煉為相同計數單位上的數字相加，計數單位不變，便是更到位的體現。

（三）直觀表征方式

20+30=2×10+3×10=（2+3）×10=5×10=50，顯然不能用這樣的方式教“20+30”。那么怎么辦？其實我們以前也是這樣教的，只是換了一種方式（如圖1所示）。這樣，就將“2×10”以“2個10”的方式表征，雖都是乘法分配律的意義，但后者顯然更為直觀，學生就能理解其中的道理。當然，為了學生能更好地理解，在得出“2個10”之前，一般還有10根1捆的小棒圖作為過渡，逐步抽象。

在對運算的一致性的感悟中，涉及運算定律的運用，這對于尚未學習相關知識的學生而言，自然是一條走不通的路，因此需要改變表征方式。即使到了第三學段學生已經學習了運算定律，同樣不建議直接采取運用運算定律再抽象后的形式化推理，而要引導學生經歷探索直觀表征的過程后再進行抽象。

如0.2×0.3，不能簡單地將0.2×0.3看成（0.1×2）×（0.1×3），然后結合運算定律推理得出（0.1×0.1）×（2×3）=0.01×6=0.06，而是要引導學生探索其中的道理，借助幾何直觀進行表征。就如，為學生提供圖2的學習工具進行探索、表征。通過畫圖，學生就能直觀地看到0.1×0.1=0.01，產生了一個新的計數單位，2×3是在計算新的計數單位的個數，在此基礎上再結合運算定律進行推理表達。

這樣的探索過程不能忽視，更不能忽略。

（四）把握關鍵課例

在數學教學的過程中，不論哪個內容的知識，總有一些關鍵課。這些關鍵課中承載的知識教好了，后續(xù)的相關教學就會順利。運算的一致性教學也是如此，比如在整數加減法教學中，一年級“兩位數加減一位數”便是一節(jié)關鍵課，因為在這節(jié)課中首次涉及“數位對齊”，而“數位對齊”的本質便是“相同計數單位上的數字相加減”，這與加減法運算的一致性直接關聯。

根據前文中關于運算的一致性的相關分析，與此相關的關鍵課大致可以分為兩類。

第一類，關鍵基礎課，即為后續(xù)感悟運算的一致性奠定知識基礎的課。如上述一年級“兩位數加減一位數”便是加減法中的關鍵基礎課，因為在這節(jié)課中學生將比較正式地觸及加法運算中的“計數單位”“相同計數單位上的數字相加減”等與運算的一致性緊密相關的知識。在乘法中，三年級“兩位數乘兩位數”也可理解為是一節(jié)關鍵基礎課，因為在這節(jié)課中學生將首次遇到“計數單位與計數單位相乘產生新的計數單位”，這一知識將為學生后續(xù)進一步學習乘法和感悟乘法運算的一致性奠定基礎。

第二類，關鍵比較課，即為了感悟運算的一致性而進行算理、算法比較的課。如三年級“分數的加減法”便是一節(jié)關鍵比較課，因為在理解了這節(jié)課中的算理和算法之后，便可將其與整數加減法進行比較，使學生初步了解加減運算的一致性。后續(xù)在學習了“小數的加減法”之后又可以進行比較，如此就可讓學生感悟到加減法在整數、分數、小數運算中的一致性了。當然，比較也未必一定要在新授課中實施，也可以在復習中開展。到了六年級下學期總復習時，還可開展更為數學化的比較，幫助學生更好地感悟運算的一致性。

一般而言，開展一種新的運算教學時，或者是每一次數系擴充后的運算教學，可以理解為是運算的一致性的關鍵課。上好這些關鍵課，就可以幫助學生更好地感悟運算的一致性。

（五）立足單元視角

前文已述，現行教材是在沒有提出運算的一致性要求下編寫的，因此在內容和結構上對于一致性要求的體現難免會有所欠缺。特別是，要實現“突出計算單位”“把握關鍵課例”等要求，常常需要對現行教材中關于運算教學的單元結構進行必要的調整。因此，立足單元視角從整體上把握運算教學，對于踐行運算的一致性同樣非常重要。比如，現行人教版教材三年級下冊“兩位數乘兩位數”單元“口算乘法”編排了16×3和6×10兩道例題，在習題中編排了40×10的題型。經過多次實踐，考查學生的學習結果，我們認為，40×10這樣的題型更能凸顯“突出計數單位”這一要求。因此，教學時我們對教材上的兩道例題進行重構，以30×20為例開展教學。在學生理解算理之后再將其與3×2、30×2進行比較，以體會運算的一致性。立足單元視角開展運算的一致性教學的探索，教師可能需要調整單元中例題的編排順序，甚至需要根據需求增設或刪減例題，等等。

運算的一致性，作為《課程標準》的“始生之物”，其形丑與美，在于我們如何理解、是否接受。倘若我們不認可、不接受，則為丑。倘若我們能深刻認識到其對學生發(fā)展的價值，并愿意去研究實施，則為美。

（作者單位：浙江省海鹽縣三毛小學）

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