馮茂春,肖佳妮,王淼坤

(湖州師范學院理學院,浙江 湖州 313000)

1.引言

帶有小參數(shù)的微分方程在許多理論和應用領域都會經(jīng)常出現(xiàn),對這類問題的研究許多學者表現(xiàn)出很大的興趣.如Nave[1]和Chashechkin[2]分別研究了奇異攝動問題在渦輪增壓器發(fā)動機模型上與在流體力學問題上的應用;而Abdelhakem[3]與Lukyanenko[4]則各自討論了奇攝動問題的譜勒讓德導數(shù)算法和數(shù)值模擬;Priyadarshana[5]探究具有大時滯的奇攝動半線性拋物型問題;馮[6]探討了對二次方程Robin問題奇攝動群的估計;王愛峰[7]和周克浩[8]分別研究了具有積分邊界條件的二階半線性奇攝動方程脈沖狀對照結構與一類奇攝動非線性邊值問題的角層現(xiàn)象;歐陽成[9],吳欽寬[10]和朱紅寶[11]各自討論了分數(shù)階微分方程的奇攝動問題,等等.

本文討論帶有小參數(shù)的擬線性橢圓型方程.由于方程是帶有一階偏導的橢圓型方程,它的解有比較復雜的情形,非線性問題更顯難度,所以研究的人并不太多.Il’in在他的專著[12]中的第四章討論了高階導數(shù)帶小參數(shù)的橢圓型方程,但他討論的是線性方程.本文的獨創(chuàng)之處在于,其一,參考了文[12]的原本應用于線性方程的方法,將它應用于非線性問題;其二,針對非線性偏微分方程出現(xiàn)的難以求漸近解的困難,第一次配合使用求奇攝動解的兩種不同方法,完美求得漸近解;其三,證明了求得的漸近解的一致有效性,以此證明了前述方法的合理性.

2.問題與外部解

考慮如下擬線性橢圓型方程邊值問題:

這里ε>0為小參數(shù),?為拉普拉斯算子,?{(x,y):00.為方便,我們記

方程(2.1)的奇異特征[12]為線段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0},這是三角形??的下面的一條邊.

定義2.1在適用極限方程P(x,y)Q(x,y,u)的區(qū)域的邊界上,如果有不光滑的點和邊界曲線的切線斜率等于0的點,過這些點作平行于x軸的直線,如果直線中有一段包含在該區(qū)域內部或邊界,則把這些直線段都稱為方程(2.1)的奇異特征.邊界曲線中如果也含一段平行于x軸的直線段,則也稱此直線段為方程(2.1)的奇異特征.

線段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0}為方程(2.1)的奇異特征,所以邊界條件會在線段右端處留給漸近解中的外部解,邊界層在線段的左端點產(chǎn)生.這是我們下文求外部展開式和邊界層內部解時確定邊界條件,使之相容的依據(jù).

記問題(2.1)-(2.2)的外部展開式(the outer expansion)為

再將Q(x,y,R)按ε展開:

將uR和(2.4)代入(2.1),并令等式兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,得

現(xiàn)將(2.8)代入(2.6),則可由(2.6),(2.7)依次求出R2,R4,···,R2m,其中m為任意正整數(shù).取A2m,x,y為關于ε的冪級數(shù)的截斷函數(shù),意為級數(shù)中ε的次數(shù)不超過2m的項之和,且變量為x,y.于是上述過程說明我們可以求得

3. y=0處的內部解

上述求得的外部解會在三角形??的除{(x,y)|x1,0≤y ≤1}外的另外兩條邊和頂點上產(chǎn)生奇異性,所以我們需要設置內部解(the inner solution).先考慮邊{(x,y)|y0,0≤x ≤1}.

令x不變,用ξε-λy去代替y,這里λ>0為待定常數(shù).我們根據(jù)O’Malley的方法[13]來構造漸近解,令u(x,y,ε)≡R(x,y)+εI(x,ξ,ε)為原方程的解,代入(2.1)得

顯然,特異極限(the distinguished limit)[14]取λ1.在內變量ξε-1y和x下,方程變?yōu)?/p>

由假設[H2],Qu(x,0,R0)0,所以

再設內展開式為

將P(x,εξ)在y0處展開成ε的級數(shù):

由此得到遞推關系式

其中ti(x,ξ),i1,2,···為已求得的函數(shù).

由于R+εI必須滿足邊界條件(2.2),所以上述方程應滿足條件

方程(3.4),(3.5),(3.6)是左邊形式相同的拋物型方程.我們作變換:

再記方程(3.5),(3.6)的右端為Hi(x1,ξ),即(3.5),(3.6)記為

在條件I0(0,ξ)I0(x1,0)0下,其解為

但這樣求得的Ii的一階偏導在(1,0)點并不連續(xù),所以(1,0)點是奇異點.其次,將(3.8)代入(3.5),(3.6)后,Hi(x1,ξ)出現(xiàn)分母為x的正整數(shù)冪,從而Ii也出現(xiàn)分母為x的正整數(shù)冪的式子,并且隨著i的增大,奇異性的階數(shù)(次數(shù))也增大,所以(0,0)也是奇異點.這些問題下文都必須加以解決.

顯然,從(3.8),(3.9)可以看出,當時,Ii(i1,2,···)是指數(shù)型衰減的.所以我們有

其中M1,γ1為某正數(shù),?1? ?{(x,y)|0≤x ≤εα,0≤y ≤εα},α為某個小的正數(shù).

這樣我們求得了在直線{(x,y)|x1,0≤y ≤1}和{(x,y)|y0,0≤x ≤1}上滿足邊界條件(2.2)的方程(2.1)的漸近展開式A2m,x,yR+A2m,x,ξI.但在三角形??頂點處會出現(xiàn)奇異性.

現(xiàn)在還需考慮三角形??的第三條邊{(x,y)|0≤x ≤1,yx}.

4.(x,y)|0 ≤x ≤1,y=x}處的內部解

比較兩端ε的同次冪系數(shù),得到遞推關系式

其中si(σ,y),i1,2,···,為已依次求得的函數(shù).邊界條件為

由P(x,y)>0可知,當時,Si(σ,y)指數(shù)型衰減.關于對u(x,y,ε)≡R(x,t) +εI(x,ξ,ε)+εS(σ,y,ε)誤差的估計,考慮到(4.2),(4.3),(4.4),所以我們有

其中M2,γ2為某正數(shù).

這樣我們求得了三角形??的三條邊上滿足邊界條件(2.2)的方程(2.1)的漸近展開式

5.點(0,0)處的內層解

我們在點(0,0)處引入變量ηε-2x,ζε-2y.現(xiàn)在跟上面做法不同,我們只求單一滿足方程(2.1)的處的邊界層函數(shù).所以將u(x,y,?)≡J(η,ζ,ε)代入方程(2.1)得

在上式中代入級數(shù)

及變換η1?η,并令ε的同次冪系數(shù)之和等于零,為方便,假設P(0,0)≡P01,則可得到

其中qi(η1,ζ),i1,2,···,為依次已求得的函數(shù).由于方程

其中δ(η1?s,ζ ?t)δ(η1?s)δ(ζ ?t)為2維δ函數(shù),K0為Macdonald函數(shù)(參看文[15]140頁),則方程(5.3)在邊界條件

是方程(5.3)在邊界條件J0(0,ζ)0和J0(η1,0)0下邊值問題的格林函數(shù).類似地,(5.4)有解

其中它滿足的邊界條件為

我們假設函數(shù)qi(η1,ζ)和J0(η1,0)在無窮遠處沒有比+ζ2增長快,則(5.3),(5.4)的解是慢增長函數(shù).為得出解的漸近性,我們需要下面的引理:

引理5.1[12]方程(5.3),(5.4)和邊界條件(5.5),(5.8)存在慢增長函數(shù)的解J2i(η,ζ)≡J2i(η1,ζ).函數(shù)J2i(η,ζ)和它們所有導數(shù)的絕對值不超過M3exp(?γ3η),η ≥Aζ+1.這里A是任意正數(shù),γ3由A決定,M3由i和導數(shù)的階數(shù)決定.

引理5.2[12]方程(5.3),(5.4)和邊界條件(5.5),(5.8)的解,當η<ζ時能被展開為漸近級數(shù)

這里Φi,j(t)充分光滑,且在無窮遠處指數(shù)型衰減.

這樣我們可求得具有漸近性態(tài)的A2m,η,ζJ(η,ζ).

現(xiàn)在我們將第4節(jié)中求得的漸近解與u(x,y,?)≡J(η,ζ,ε)進行匹配.根據(jù)匹配條件,下式成立:

其中k,n1,2,···,2m.此式能完全確定I2i.由此得到(0,0)點近旁符合條件的復合漸近解:

6.點(1,0)和(1,1)處的內層解

點(1,0)和(1,1)處的內層解與第4節(jié)完全類似.在點(1,0)處,引入變量κε-2(1?x)和ζε-2y分別去代替x和y,將u(x,y,ε)≡U(κ,ζ,ε)代入方程(2.1)可得

令Uε2iU2i(κ,ζ),代入上式,并展開Q(1?ε2κ,ε2ζ,J),再比較ε的同次冪系數(shù),可得與(5.3),(5.4)相同的方程和與(5.5),(5.8)類似的邊界條件,利用與前述幾乎相同的方法可求得

將第4節(jié)中求得的漸近解與U(κ,ζ,ε)進行匹配.令匹配條件

成立,由此可得到(1,0)點近旁符合條件的復合漸近解

在點(1,1)處,引入變量κε-2(1?x),με-2(1?y),并設相應邊界層函數(shù)u(x,y,ε)≡V(κ,μ,ε),則它滿足方程

再將第4節(jié)中求得的漸近解與V(κ,μ,ε)進行匹配.令匹配條件

成立,最后可得到符合條件的最終復合漸近解

我們再在(0,0)附近,將A2m,x,yR與A2m,η,ζJ匹配,令

得點(0,0)附近的匹配復合解

7.結論

至此,我們可以敘述本文的主要結論了,約定以下結果都是在前述假設下成立的.

定理7.1由(6.3)定義的復合漸近展開式是方程(2.1)的近似解,它滿足邊界條件

且存在常數(shù)M4,δ>0,使得

證回顧R(x,y),I(x,ξ),S(σ,y),J(η,ζ),U(κ,ζ),V(κ,μ)的構造過程和滿足的相應邊界條件,由(2.7),(5.8)及I(x,ξ),S(σ,y)當x1時為指數(shù)型小項,J(η,ζ)當x1,y1時為指數(shù)型小項,當x1,y1時再由(5.8),可得(7.1)的第一式成立.由(4.5),(5.8)及指數(shù)型小項的理由可得(7.1)的第二式和第三式也成立.

由(2.5),(2.6),和(3.1),(3.4),(3.5),(3.6),及(4.2),(4.3),(4.4),可得

由A2m,η,ζJ與A2m,x,yR+A2m,x,ξI+A2m,σ,yS的匹配條件及當x,y>0時,A2m,η,ζJ為指數(shù)型小項,再考慮到引理5.2,我們有

在上式中將A2m,η,ζJ ?A2m,x,y(A2m,η,ζJ)替換成它的偏導數(shù),則同樣成立.于是,

其中δ>0為某常數(shù).類似可證得

所以(7.2)成立.證畢.

證證明很容易,利用定理7.1,再對方程(2.1)應用最大值原理即得.證畢.

內問題(2.1)-(2.2)的一致有效的漸近解.

證由于在離開點(0,0)處,I,S,J,U,V都是指數(shù)型小項,由定理7.1和定理7.2即得第一個結論.關于第二個結論,由于排除了I,無界性不會出現(xiàn),邊界層只有(0,0)處附近的一個,所以R與J的匹配解能符合要求.至于對的估計,與定理7.1的證明完全類似即可證得.