趙彥軍 ,孫曉輝 ,蘇麗 ,李文軒

(1.吉林外國(guó)語(yǔ)大學(xué)國(guó)際商學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130117;2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130012)

1.引言

2019年12月以來(lái),湖北省武漢市部分醫(yī)院報(bào)告了多例不明原因新型冠狀病毒病例.隨著確診病例的快速增長(zhǎng),中國(guó)所有省份都受到了冠狀病毒肺炎的影響.2020年2月11日,世界衛(wèi)生組織(WHO)宣布將冠狀病毒病命名為“COVID-19”.COVID-19病毒傳播相當(dāng)快,嚴(yán)重病例可導(dǎo)致呼吸困難甚至死亡.COVID-19病毒與嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS) 病毒相似[1],但比SARS 更具傳染性[2].根據(jù)公共衛(wèi)生界[3]和世界衛(wèi)生組織[4]的說(shuō)法,感染者之間的密切接觸是COVID-19病毒傳播的主要方式.該疾病可通過(guò)受感染個(gè)體咳嗽和打噴嚏的呼吸道飛沫傳播[5-6],另一種感染途徑是間接接觸受污染表面[7].由于中國(guó)政府采取了及時(shí)有效的措施,直到2020年4月底,COVID-19的傳播在中國(guó)已基本得到控制.2022年12月26日,中國(guó)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布公告,將新型冠狀病毒肺炎更名為新型冠狀病毒感染.經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn),自2023年1月8日起,解除對(duì)新型冠狀病毒感染采取的《中華人民共和國(guó)傳染病防治法》規(guī)定的甲類(lèi)傳染病預(yù)防、控制措施,但現(xiàn)在距離新冠疫情結(jié)束仍有很長(zhǎng)的路要走.

目前新型冠狀病毒感染已在世界范圍內(nèi)大規(guī)模傳播,但目前還沒(méi)有特效的疫苗、抗病毒藥物.因此,目前最有效的方法仍是早期發(fā)現(xiàn)和隔離治療.這一方法在中國(guó)得到了有力的實(shí)踐.面對(duì)突如其來(lái)的疫情,中國(guó)于2020年2月首次建設(shè)了大型、臨時(shí)性醫(yī)院-方艙醫(yī)院[8]進(jìn)行科普.他們將現(xiàn)有的公共場(chǎng)所,如展覽中心和體育館,改造成了方艙醫(yī)院,以隔離新冠肺炎患者,防止進(jìn)一步感染.這一措施通過(guò)嚴(yán)格的社會(huì)隔離、地方化和有針對(duì)性的措施,降低了發(fā)病率,并將其維持在非常低的水平.中國(guó)通過(guò)實(shí)施這些措施總體上控制了COVID-19的傳播.

控制病毒感染的基本策略包括早期識(shí)別、檢疫、診斷、隔離和治療[9].雖然流行病學(xué)家繼續(xù)對(duì)COVID-19進(jìn)行了大量研究[10],但數(shù)學(xué)家開(kāi)發(fā)并研究了數(shù)學(xué)模型,以幫助制定控制策略.早在18世紀(jì),流行病學(xué)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建工作就已經(jīng)開(kāi)始了.從當(dāng)時(shí)的Bernoulli[11]到100多年后的Kermack和McKendrick[12],模型發(fā)生了很多變化,現(xiàn)在流行病研究中使用的模型大多是基于后者.這些由一組非線性常微分方程構(gòu)成的模型稱(chēng)為倉(cāng)室模型.眾所周知,經(jīng)典的微分方程常被用來(lái)分析和研究傳染病[13-18].為了更好地理解和分析COVID-19,Ebrahem等[19]建立了如下非線性飽和發(fā)病率的COVID-19SQIR模型:

其中:S(t)、Q(t)、I(t)、R(t)分別表示在t時(shí)刻易感者、被隔離者、被感染者和恢復(fù)者的數(shù)量;N(t)S(t)+Q(t)+I(t)+R(t)表示t時(shí)刻人口的總量,并且將所有新生兒均視為易感者;β為輸入率;β1為正常接觸率;b為飽和系數(shù);d0為疾病導(dǎo)致的死亡率;α為易感人群中的隔離率;a為修正系數(shù);γ為感染人群中的恢復(fù)率;β2為采取隔離后的接觸率;μ為隔離人群的恢復(fù)率.基于生物學(xué)意義,假設(shè)模型(1.1)涉及的所有參數(shù)均為正數(shù),且采取隔離措施后,疾病的感染會(huì)受到限制,所以假設(shè)β1>aβ2.

在現(xiàn)實(shí)生活中,疾病的傳播過(guò)程不可避免的受到環(huán)境波動(dòng)的影響,在數(shù)學(xué)上用“白噪聲”來(lái)描述.環(huán)境的改變會(huì)對(duì)傳染病模型的參數(shù)產(chǎn)生一定的影響,因此為了更好地描述環(huán)境變化對(duì)疾病的影響,根據(jù)實(shí)際情況并受文[19-20]的啟發(fā),本文主要研究正常接觸系數(shù)β1受到白噪聲干擾時(shí)疾病的動(dòng)力學(xué)行為,即β11+σ˙B(t),建立了一類(lèi)帶有隔離的COVID-19隨機(jī)SQIR傳染病模型:

其中B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),即隨機(jī)干擾源;σ為白噪聲強(qiáng)度.

由于模型(1.2)中的前三個(gè)方程與R無(wú)關(guān),故只考慮前三個(gè)方程構(gòu)成的與(1.2)等價(jià)的模型:

定義1.1對(duì)于模型(1.2)-(1.3),

那么稱(chēng)疾病I(t)是持久的.

2.全局正解的存在唯一性

為了研究傳染病模型的動(dòng)態(tài)行為,首先需要考慮其解是否具有全局正解.在本節(jié)中,首先證明模型(1.3)全局正解的存在唯一性.

定理2.1對(duì)任意初值(S(0),Q(0),I(0)).隨機(jī)模型(1.3)存在唯一全局正解(S(t),Q(t),I(t))(t ≥0),且該解依概率1位于Φ中.

我們采用反證法.若不然,則一定存在常數(shù)T>0和(0,1),使得

則存在正整數(shù)n1≥n0使得

對(duì)(2.2)兩端分別從0到tn ∧T積分并取期望,得

3.疾病的滅絕性

本節(jié)我們將討論模型(1.3)的隨機(jī)滅絕性,研究傳染病滅絕性的充分條件.

定理3.1如果

則模型(1.3)的疾病幾乎必然滅絕.

因M1(t)是滿(mǎn)足初值M1(0)0的局部鞅,根據(jù)鞅的強(qiáng)大數(shù)定理有

對(duì)模型(1.3)中第三個(gè)方程應(yīng)用It?公式可得

根據(jù)下一代矩陣的方法,我們定義模型(1.3)的隨機(jī)基本再生數(shù)為

則有

由定理3.1和定理3.2表明,當(dāng)白噪聲擾動(dòng)較大或R?<1且白噪聲擾動(dòng)不大時(shí),疾病就會(huì)滅絕.

4.疾病在均值意義下的持久性

本節(jié)我們將討論模型(1.3)的隨機(jī)持久性,研究傳染病持續(xù)下去的條件.

定理4.1若R?>1，則模型(1.3)的疾病將持續(xù)存在，且滿(mǎn)足

定理得證.

定理4.1表明,當(dāng)白噪聲擾動(dòng)足夠小,使R?>1時(shí),疾病將持續(xù)存在.

5.疾病的遍歷平穩(wěn)分布性

為了研究疾病是否持久流行,本節(jié)基于Khasminskii理論[21-24]和Lyapunov函數(shù)法研究模型(1.3)的遍歷平穩(wěn)分布存在性，首先給出引理.

引理5.1[22-23]隨機(jī)微分方程是正常返的,如果Rn中存在一個(gè)有界開(kāi)子集D,D的緊閉包具有正則(或光滑)有界性,并且滿(mǎn)足下述性質(zhì):

(A1) 存在1,2,...,n}和常數(shù)η>0,對(duì)任意,有aii(x)>η;

(A2) 存在一個(gè)非負(fù)C2函數(shù)V,使得LV對(duì)任意的RnD是負(fù)的;則Markov過(guò)程x(t)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布π(·).

證為證明定理5.2,只要驗(yàn)證引理5.1中的條件(A1)和(A2)即可.

現(xiàn)在證明條件(A1).模型(1.3)的擴(kuò)散矩陣為

引理5.1中條件(A1)成立.

現(xiàn)在證明引理5.1中條件(A2)成立,定義

即對(duì)任意(S,Q,I)3,有LV ≤?1.

情況4 對(duì)任意(S,Q,I)4,利用(5.5),(5.9)有

即對(duì)任意(S,Q,I)4,有LV ≤?1.

情況5 對(duì)任意(S,Q,I)5,利用(5.5),(5.10)有

即對(duì)任意(S,Q,I)5,有LV ≤?1.

即對(duì)任意(S,Q,I)6,有LV ≤?1.

由(5.11),(5.12),(5.13),(5.14),(5.15),(5.16)可知,對(duì)于充分小的ε,在(S,Q,I)D,有LV(S,Q,I)≤?1.引理5.1中條件(A2)成立.定理得證.

6.數(shù)值模擬

在這一部分我們基于文[19-20]的模擬數(shù)據(jù),利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性.利用Matlab對(duì)確定SQIR傳染病模型(1.1)的前三個(gè)方程進(jìn)行模擬,離散格式如下:

選擇初值(S(0),Q(0),I(0))(47.89,14.99,14.99),參數(shù)取值如下：a0.0034,μ0.062,d00.019,b0.000761.

在圖1中,取β0.1,β10.005,β20.02,γ0.03,α0.0009,基本再生數(shù)R00.5128<1.由圖1可知,確定SQIR模型(1.1)此時(shí)疾病將趨于滅絕.

圖1 疾病在R0 ≤1時(shí)滅絕

在圖2中,取β0.9,β10.005,β20.002,γ0.105,α0.0009,基本再生數(shù)R01.8237>1.由圖2可知,確定SQIR模型(1.1)此時(shí)疾病將持續(xù)存在.

圖2 疾病在R0>1時(shí)持久

圖3 疾病在環(huán)境擾動(dòng)較大時(shí)滅絕

圖4 疾病在環(huán)境擾動(dòng)較小且R?<1時(shí)滅絕

我們根據(jù)Milstein方法[25],利用Matlab對(duì)隨機(jī)SQI傳染病模型(1.3)進(jìn)行模擬，模型(1.3)的離散格式如下:

在圖5中,取β0.9,β10.005,β20.002,γ0.105,α0.0009,小擾動(dòng)σ0.008,使得R?1.2958>1,滿(mǎn)足定理4.1的條件.由定理4.1的結(jié)論可知，此時(shí)隨機(jī)SQI傳染病模型(1.3)的疾病將持續(xù)存在,這與定理4.1的結(jié)論相吻合.

圖5 疾病在環(huán)境擾動(dòng)較小但R?>1時(shí)持久

圖6 疾病存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布

7.結(jié)論

本文結(jié)合流行病學(xué)理論和COVID-19傳播的特點(diǎn),考慮疾病傳播過(guò)程中,環(huán)境的隨機(jī)波動(dòng)是影響傳染病傳播的不可避免地重要因素之一.研究了一類(lèi)利用白噪聲來(lái)描述環(huán)境對(duì)疾病傳播影響的帶隔離的COVID-19隨機(jī)SQIR傳染病模型,得到了模型全局正解的存在唯一性、滅絕性、持續(xù)性和遍歷平穩(wěn)分布性的充分條件,結(jié)果表明: 白噪聲強(qiáng)度較大時(shí)疾病必然滅絕,而白噪聲強(qiáng)度較小時(shí),如果R?<1,疾病也會(huì)趨于滅絕,但如果R?>1,疾病在均值意義下將持續(xù)存在,且具有遍歷平穩(wěn)分布性.同時(shí)結(jié)果還表明: 國(guó)家通過(guò)采取強(qiáng)有力的管控措施,居家隔離,限制出行,出行戴口罩等防護(hù)措施,加強(qiáng)患者隔離集中治療,切斷疾病傳染途徑,避免人員接觸,在很大程度上控制了疾病的傳播,減緩了疫情的蔓延.最后,通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了我們所得到的主要結(jié)果.