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        在“做數(shù)學(xué)”中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

        2023-02-18 03:30:14饒正凱
        關(guān)鍵詞:動(dòng)手做做數(shù)學(xué)空間觀念

        饒正凱

        [摘 要]空間觀念主要是指一個(gè)人對(duì)物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念不是一蹴而就的,在發(fā)展學(xué)生空間觀念的過程中,直觀操作起到至關(guān)重要的作用。蘇教版教材“觀察物體”單元中的“動(dòng)手做”欄目提供了豐富的素材,讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷初始體驗(yàn)、矛盾體驗(yàn)、巔峰體驗(yàn),以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

        [關(guān)鍵詞]空間觀念;立體圖形;動(dòng)手做

        [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2023)35-0069-04

        一、開發(fā)背景

        1.教材分析

        空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,主要是指一個(gè)人對(duì)物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。空間觀念是主體自身通過大腦思維而產(chǎn)生的一種空間想象力,其中,空間想象起著至關(guān)重要的作用。

        相應(yīng)地,蘇教版教材安排的“觀察物體”的內(nèi)容,重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方向觀察活動(dòng),更加透徹地理解物體的特征,初步感受二維圖形與三維物體的相互轉(zhuǎn)化,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念,為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形、解決相關(guān)實(shí)際問題提供支持。

        蘇教版教材將“觀察物體”內(nèi)容分兩次編排。

        第一次,“觀察物體”內(nèi)容出現(xiàn)在二年級(jí)上冊(cè),側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察日常生活中的場(chǎng)景或?qū)嵨?,讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)辨認(rèn)從不同角度觀察到的場(chǎng)景圖片或?qū)嵨飯D片。

        第二次,“觀察物體”內(nèi)容出現(xiàn)在四年級(jí)上冊(cè),側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從前面、側(cè)面、上面觀察一些簡單的幾何圖形,初步感受三維物體與三視圖之間的轉(zhuǎn)換。值得一提的是,教材安排了三道例題之后,在單元末尾還安排了一次“動(dòng)手做”活動(dòng),要求學(xué)生根據(jù)給出的三視圖用5個(gè)同樣大的正方體擺出相應(yīng)的立體圖形,側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從不同角度體會(huì)三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換。

        這有助于學(xué)生逐步掌握觀察方法、積累觀察經(jīng)驗(yàn),學(xué)會(huì)辨認(rèn)從不同方向看到的圖形。教材的編排由易到難、由具體到抽象,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。關(guān)于“觀察物體”的例題基本內(nèi)容見表1。

        2.學(xué)情分析

        在學(xué)習(xí)有關(guān)“觀察物體”的知識(shí)后,學(xué)生本應(yīng)該可以依據(jù)物體的形狀、大小及位置關(guān)系辨認(rèn)從不同角度看到的物體的圖片;能通過觀察一個(gè)物體的前面、側(cè)面、上面較為全面地描述該物體的幾何特征;能辨認(rèn)從不同方向看到的幾何圖形的形狀或從同一個(gè)方向看到的不同幾何圖形的形狀;能初步感知三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換,體會(huì)物體與三視圖的聯(lián)系。

        在日常教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換過程難以理解。筆者認(rèn)為,這是因?yàn)樵谄匠W(xué)習(xí)的過程中,這些學(xué)生僅僅停留于觀察層面,缺乏相應(yīng)的活動(dòng)和思考。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是需要堅(jiān)持不懈的。在日常教學(xué)的過程中,筆者潛心研究,發(fā)現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的過程中,直觀操作起到至關(guān)重要的作用?;谶@樣的思考,筆者在平時(shí)教學(xué)過程中注重利用教材中的“動(dòng)手做”欄目設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)——體與面的碰撞,以發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

        二、案例透視

        1.我回顧

        師:圖1是一個(gè)立體圖形,我們能從哪幾個(gè)方向觀察這個(gè)立體圖形?

        生1:前面、上面、左面、右面。

        師:從前面看到的圖叫主視圖,從上面看到的圖叫俯視圖,從左面看到的圖叫左視圖,從右面看到的圖叫右視圖。這是我們之前學(xué)過的知識(shí),根據(jù)給出的立體圖形畫出它的三視圖,其實(shí)就是化立體為平面的過程(板書:立體→平面)。那我們研究這樣的立體圖形的哪些特征呢?

        生2:個(gè)數(shù)、體積、表面積。

        2.我還原

        師:如果給你某個(gè)立體圖形的三視圖(如圖2),你能還原它原來的樣子嗎?

        (四人為一組,進(jìn)行小組合作,還原圖形)

        師:請(qǐng)這位同學(xué)介紹下自己擺放的過程。

        生3:我是先確定俯視圖,再根據(jù)其他兩個(gè)角度的圖進(jìn)行調(diào)整得到的。

        生4:我也是根據(jù)主視圖先擺放的,然后根據(jù)另外兩個(gè)圖進(jìn)行調(diào)整。

        師:這兩名同學(xué)都是根據(jù)一個(gè)角度的圖先擺,再根據(jù)另外兩個(gè)角度的圖進(jìn)行調(diào)整。其他同學(xué)擺放的結(jié)果有沒有不一樣的呢?

        生5:沒有。

        師:看來根據(jù)三視圖,我們只能擺出唯一的、確定的立體圖形。

        3.我探究

        師:現(xiàn)在只給出兩個(gè)圖(如圖3),你還能還原這個(gè)立體圖形嗎?

        師:剛才大家擺出的圖形肯定符合,還有沒有其他擺法?

        (展示學(xué)生不同的作品,教師驗(yàn)證)

        師:圖還是剛才的圖,為什么立體圖形的擺放方法不唯一了呢?

        生6:因?yàn)樯倭艘粋€(gè)圖,所以有的地方可以多放,有的地方可以少放。

        師:照這樣下去,如果只給大家一個(gè)圖呢?擺出的立體圖形會(huì)怎樣呢?

        生7:會(huì)有很多種可能性。

        師:欣欣找到了一個(gè)俯視圖(如圖4-1),悅悅在這幅圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行了加工(如圖4-2),兩者有什么區(qū)別嗎?

        生8:悅悅在上面加了數(shù)字。

        師:你知道這些數(shù)字代表什么嗎?標(biāo)記數(shù)字的好處是什么呢?還原的圖形是唯一的嗎?這些問題都交給大家解決,開始吧!

        (學(xué)生自主嘗試,教師巡視,然后展示學(xué)生不同的作品,教師驗(yàn)證)

        生9:其實(shí),從標(biāo)有數(shù)字的俯視圖可以知道,從前面看(如圖5-1),可以看到1+2+1+1=5(個(gè))正方體;從右面看(如圖5-2),可以看到1+2=3(個(gè))正方體。

        師:大家根據(jù)一個(gè)角度的圖,擺出了唯一的一個(gè)立體圖形。

        師:欣欣又產(chǎn)生了這樣的疑問——像這樣標(biāo)有數(shù)字的俯視圖,可以幫助我們解決個(gè)數(shù)、體積、表面積這些問題嗎?

        生10:個(gè)數(shù)只需要數(shù)就可以了。

        生11:體積也只需要數(shù)就可以了。

        師:為什么個(gè)數(shù)和體積只要數(shù)就可以了?

        生12:都是看個(gè)數(shù)。

        小結(jié):個(gè)數(shù)和體積的本質(zhì)就是研究對(duì)象中包含多少個(gè)體積單位。

        師:在解決表面積的過程中你有什么困惑嗎?

        生13:不好確定各個(gè)面的情況是什么。

        4.我思考

        師:看圖6(一個(gè)立體圖形的俯視圖),大家想想這個(gè)立體圖形的表面積是多少。

        學(xué)生給出兩種答案:38平方厘米和42平方厘米。

        師:我們來還原一下立體圖形。(課件演示)

        5.我總結(jié)

        師:回顧今天的學(xué)習(xí),我們經(jīng)歷了哪些過程呢?在這些過程中你獲得了哪些體驗(yàn)?

        生14:今天我們研究的過程很豐富,從探究立體圖形的三個(gè)過程(如圖7),明白了只需知道一個(gè)標(biāo)有數(shù)字的俯視圖就可以還原立體圖形。

        三、設(shè)計(jì)意圖

        1.矛盾初現(xiàn),引發(fā)思維轉(zhuǎn)折

        荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”,讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中通過自己的實(shí)踐和思考去創(chuàng)造,去獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。在本課的開始,通過經(jīng)歷根據(jù)三視圖、兩個(gè)圖和一個(gè)圖還原立體圖形的過程,學(xué)生理解了如果只有一個(gè)角度的圖是無法將立體圖形還原的,但教師將教材中常見的俯視圖與特殊的“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”同屏展示,引發(fā)學(xué)生思考兩者之間的區(qū)別,產(chǎn)生了思維的轉(zhuǎn)折。有了這樣的初始矛盾引發(fā)的思考,學(xué)生的思維出現(xiàn)了拐點(diǎn),即只提供一個(gè)角度的圖,的確可以將立體圖形進(jìn)行還原,但前提是“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”。另外,學(xué)生將“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”和立體圖形的三維結(jié)構(gòu)之間建立對(duì)應(yīng)的聯(lián)系,最后通過擺一擺,進(jìn)一步體會(huì)“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”所蘊(yùn)含的深度信息,感受這樣的方式帶來的好處,為接下來的自主思考和解決問題打下基礎(chǔ)。

        2.矛盾深化,促使思維進(jìn)階

        我國數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生認(rèn)為,數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一,萬變不離其宗,而我們之所以研究這些變化,最終的目的是找到共同的本質(zhì)特征。在學(xué)生理解了“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”的內(nèi)涵之后,讓學(xué)生用自己的方式計(jì)算立體圖形體積及表面積的大小,在對(duì)比中感受到求體積和表面積的方法不是唯一的。初步感受到使用數(shù)字俯視圖可以將平面轉(zhuǎn)化成立體,將體積問題轉(zhuǎn)化為求和問題,幫助學(xué)生完善空間圖像,切實(shí)發(fā)展空間觀念。特別是在研究立體圖形表面積問題的過程中,明確只要知道上面、前面、右面3個(gè)面的面積再乘2就能計(jì)算圖形的表面積。在該過程中教師適時(shí)追問,使學(xué)生在平面與立體之間、圖形與數(shù)字之間來回比較,經(jīng)歷這樣的過程后,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),從上面看,只要將看到的數(shù)字加起來,就得出組成立體圖形的小正方體的總個(gè)數(shù),而從右面和前面看,不僅要明確方向,還要對(duì)數(shù)字進(jìn)行比較,這一列(行)的數(shù)字是幾,還要對(duì)從這一面看到的小正方體的個(gè)數(shù)進(jìn)行考究。通過這樣深化矛盾性的認(rèn)識(shí),產(chǎn)生了思維的進(jìn)階。

        3.矛盾再現(xiàn),抵達(dá)思維巔峰

        我國數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為,新的數(shù)學(xué)方法和概念,常常比解決數(shù)學(xué)問題更重要。在經(jīng)歷了利用“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”探究立體圖形表面積計(jì)算的過程后,學(xué)生已經(jīng)能熟練運(yùn)用這樣的方法進(jìn)行計(jì)算,隨即拋出“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”,這時(shí)大部分學(xué)生還是通過已有思路直接計(jì)算,計(jì)算的結(jié)果是38平方厘米,而少數(shù)學(xué)生想象出的結(jié)果是42平方厘米,從而再次引發(fā)矛盾,到底哪個(gè)結(jié)果是對(duì)的呢?教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生還原立體圖形,經(jīng)過討論、觀察、對(duì)比不難發(fā)現(xiàn),其實(shí)對(duì)于“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”,無論是采用直接計(jì)算的方法,還是觀察已有的立體圖形的三視圖,都無法準(zhǔn)確計(jì)算出立體圖形表面積。這與學(xué)生之前的總結(jié)又有了矛盾,在這樣的矛盾再現(xiàn)過程中,學(xué)生的空間想象力和空間觀念達(dá)到了巔峰。

        教師要充分利用教材中的操作活動(dòng)素材,精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié),以問題引領(lǐng)學(xué)生深入思考問題,放手讓學(xué)生動(dòng)手操作,學(xué)生才能深刻理解“觀察物體”的知識(shí),從而發(fā)展空間觀念。

        [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

        [1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

        [2] 趙勁松.不同版本教材“觀察物體”內(nèi)容比較及教學(xué)啟示[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2017(24):13-15.

        [3] 王金法.蘇教版教材“觀察物體”內(nèi)容分析及教學(xué)建議[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2017(24):6-8.

        [4] 婁煜鵬.引進(jìn)表征工具? ?導(dǎo)向高階思維:《搭小正方體中的學(xué)問》教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),2022(11):10-13.

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