王沿朝，謝惠祥，郭劍峰，杜海霞

（火箭軍工程大學 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025）

“理論力學”是大學工科專業(yè)非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其架起了大學基礎(chǔ)課與專業(yè)課之間的橋梁［1-3］。“理論力學”主要研究的是物體機械運動的一般規(guī)律，其內(nèi)容包含靜力學、運動學及動力學三個部分［4-5］。點的加速度合成定理是運動學篇章中的重點及難點內(nèi)容之一，也是后續(xù)動力學內(nèi)容的基礎(chǔ)。然而，在教學過程中，學員普遍反映該部分內(nèi)容不易理解，尤其是對于牽連運動包含轉(zhuǎn)動時點的加速度定理，需要很長時間才能真正領(lǐng)悟其中的奧義。究其原因，主要是因為學員對牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)理解不透徹及教材中所給出的牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的理論關(guān)系不清晰所致［6-8］。鑒于此，本文將從牽連速度與牽連加速度的基本定義出發(fā)，并以具體案例為牽引，著重闡述牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的本質(zhì)差異，并進一步建立牽連速度與牽連加速度間的統(tǒng)一關(guān)系。通過本文的研究，以期能在課堂教學中更好地引導(dǎo)學員理解和掌握點的加速度合成定理的內(nèi)容，為學員學習后續(xù)專業(yè)課程打下堅實的基礎(chǔ)，并在此過程中逐步培養(yǎng)學員的力學思維與科學探索精神。

一、牽連速度與牽連加速度的定義性質(zhì)

在研究點的加速度合成定理時，一般將動點的絕對運動分解為其相對于動參考系（固定在相對于地球運動的參考體上的參考系）的相對運動及隨著動參考系的牽連運動［9-10］。在研究點的加速度合成定理時，所涉及的基本概念較多，其中主要包括動點、定參考系、動參考系、相對運動、絕對運動、牽連運動、相對速度、絕對速度、牽連速度、相對加速度、絕對加速度和牽連加速度等。其中，相對運動和絕對運動所研究的是動點，相關(guān)的物理量物理意義明確，研究起來相對較為簡單。而牽連運動的研究對象是剛體，對于牽連速度和牽連加速度的求解還需要引入牽連點的概念，因此就使得相關(guān)問題的研究變得復(fù)雜起來。下面，本節(jié)將著重對其中的牽連速度和牽連加速度進行闡述和剖析，以期引導(dǎo)學員厘清牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)差異。

在教材中，將動參考系上與動點相重合的那一點（即牽連點）的速度和加速度分別定義為動點的牽連速度和牽連加速度［4］。由于動點的牽連速度與牽連加速度都是相對于定參考系而言的，因此，對于這二者的定義，筆者及所在教學組在教學過程中發(fā)現(xiàn)很多學員都會誤認為牽連速度對時間求導(dǎo)即可得到牽連加速度，并因此對教材中的推導(dǎo)過程產(chǎn)生了一系列的疑問與困惑。下面我們以具體案例為出發(fā)點，來探究牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)關(guān)系。

如圖1（a）所示，在直桿AB上有一動點沿桿運動，桿同時繞著A軸做勻速轉(zhuǎn)動。其中動參考系與桿AB固連。假設(shè)在初始時刻t0，動點位于桿上的M處，其牽連速度為，相對速度為。在經(jīng)過一個很短的時間間隔Δt之后，直桿AB繞著A軸轉(zhuǎn)動到新的位置AB′，此時，動點沿著直桿運動到M′位置處，這時，動點的牽連速度為，相對速度為。因此，根據(jù)教材中的定義，牽連速度對時間求導(dǎo)可得［4］：

圖1 運動分析示例圖

對于上式，需要提醒學員注意的是，在初始時刻t0和末時刻t0+Δt，動參考系上與動點相重合的點并不是同一個點。也就是說，由于相對運動的存在，在t0時刻和t0+Δt時刻，牽連點已經(jīng)發(fā)生了改變，在t0時刻的牽連點經(jīng)過時間Δt之后運動到了M1處，見圖1（b）所示，而實際上，在t0+Δt時刻，新的牽連點位于M′位置處，見圖1（a）所示。因此，牽連速度對時間的導(dǎo)數(shù)表示的是兩個不同的牽連點的速度相對于時間的變化率。

若動點與桿AB之間無相對運動，則動點將由M運動至M1處，見圖1（b），此時動點的牽連速度應(yīng)為。因此，根據(jù)定義，動點的牽連加速度可表示為：

上式的物理意義即為某瞬時該牽連點的速度對時間的變化率，其所研究的對象即為同一牽連點。因此，由上文的分析可知，和所表示的物理意義并不相同。其中，表達式中隱含了由于牽連點隨動點運動改變而引起的牽連速度的變化，該點是學員最容易忽視并引起混淆的地方，教員在授課過程中應(yīng)當著重予以說明。實際上，對式（1）進一步分解可得：

通過引導(dǎo)學員觀察上式并與式（2）進行對比可以發(fā)現(xiàn)，式（3）中等式右邊第二項即為牽連加速度的表達式，而第一項則反映了牽連點隨動點發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化情況。

二、牽連速度與牽連加速度關(guān)系的統(tǒng)一推導(dǎo)

由前面的分析可以知道，動點的牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此，本節(jié)將從點的運動學中的基本知識點出發(fā)，來推導(dǎo)動點的牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系。

由“理論力學”運動學知識可知，當牽連運動包含轉(zhuǎn)動時，動點的牽連速度可表示為：

因此，式（1）也同樣可以表示為：

將式（6）代入式（5）進一步整理可得：

基于牽連加速度的定義和運動學知識，可將動點的牽連加速度表示為：

通過前述推導(dǎo)，式（9）即給出了牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系，且該式對牽連運動為任意形式的運動均適用。由式（9）可以發(fā)現(xiàn)，當牽連運動為平移時，式中動參考系轉(zhuǎn)動的角速度的大小為0，表明此時牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度是相等的。而當牽連運動包含轉(zhuǎn)動時，牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度不再相等，其中，反應(yīng)為科氏加速度的一部分［12-13］。

此外，通過進一步對比式（9）和式（3）還可以得到如下表達式：

式（10）即表明牽連點隨動點改變而引起的牽連速度的變化等于動參考系轉(zhuǎn)動的角速度與相對速度的叉乘。對于式（10），我們同樣可以通過以下過程予以證明。

因此有：

結(jié)語

點的加速度合成定理是“理論力學”運動學中的重點與難點內(nèi)容之一，然而，鑒于其中涉及基本概念多，公式推導(dǎo)復(fù)雜，且低年級學員對剛體復(fù)雜空間運動的理解和想象能力較差等因素的制約，使得學員在學習這部分內(nèi)容時容易產(chǎn)生理解上的偏差，并對這部分內(nèi)容的掌握不夠牢固。因此，本文從動點的牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)出發(fā)，并以實際案例為牽引，著重分析了牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度的概念性質(zhì)之間的差異。在此基礎(chǔ)上，從運動學的基本知識出發(fā)，進一步推導(dǎo)了牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系，明確了牽連點隨動點發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化對牽連速度導(dǎo)數(shù)的影響。筆者及所在教學組將本文研究內(nèi)容應(yīng)用于課堂教學實踐后，在“理論力學”課程中點的加速度合成定理內(nèi)容的教學效果有明顯提升。學員普遍反映更容易理解和掌握該節(jié)的知識要點，尤其是對其中牽連速度的導(dǎo)數(shù)和牽連加速度的內(nèi)在含義更加明晰。此外，本文的研究也可讓學員意識到對力學重要概念的理解和探索要從源頭出發(fā)，有助于培養(yǎng)學員縝密的邏輯思維能力與創(chuàng)新思維能力。