●馬貞，韓淑嫻

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中指出，模型意識主要是指對數(shù)學模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑[1]。培養(yǎng)模型意識，發(fā)展“建模”能力是小學數(shù)學教學的難點之一。近期，聽了全國知名特級教師吳正憲執(zhí)教的“乘法分配律”，她在課堂上充分尊重學生感知，學生大膽地說、創(chuàng)造地想、熱烈地辯，在充分感知的基礎(chǔ)上從算式到文字、到圖形、再到字母，逐步抽象概括，這樣的“建?！弊裱瓕W生的認知規(guī)律，是有“根”的教學?，F(xiàn)摘錄其中的教學片段，與大家共享。

【課堂片斷】

師：同學們，今天吳老師和大家一起學數(shù)學，大家一起看屏幕（圖1）。

圖1

師：你們看到了什么？看到什么就說什么。

生：左邊花壇中每行有12朵花，總共有8行。

師：真好！不僅看到了花，還看到了重要的數(shù)據(jù)。你呢？

生：右邊的花壇中每行有8朵花，總計有8行。

師：真棒！你們發(fā)現(xiàn)了這么多的信息。如果吳老師把左邊的花壇覆蓋了（圖2），你們看到了什么？這個花壇的長是多少？

圖2

生：這個花壇長12米，寬7米。

師：那你再看看這兒，你又看到了什么？

生：這個花壇長8米，寬7米。

師：同學們都睜大了眼睛，努力在情境中發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學信息。那你能提出什么數(shù)學問題嗎？你想求什么？好，這個男孩。

生：我想求紅花的寬跟長。

師：寬跟長已經(jīng)有了，有了寬跟長可以求他們的什么？（周長）還可以求什么？面積還沒學是不是??？有沒有會求的？你會求。

生：12乘以7。

師：哦，我明白了，你想求左邊的面積。還有嗎？你想求什么？

生：我想求黃花的面積，7乘以8。

師：有沒有再勇敢點的。你想求左邊，他想求右邊，你還想求什么？

生：我還想求兩塊并起來的面積。

師：可以嗎？除了面積，還可以求什么？

生1：我想求左邊的花壇有幾朵花。

生2：我想求右邊的花壇有幾朵花。

生3：我想求一共有多少朵花。

師：面對一個情境，我們從不同的角度可以提出很多問題?？梢郧笞筮吅陀疫呉还灿卸嗌俣浠?，還可以研究左邊面積和右邊面積一共有多少平方米。請你選擇其中一個問題，能列綜合式的盡量列綜合式，聽懂沒？

【賞析】

設(shè)置對話情景，讓學生站到課堂的中央，“你看到了什么”“你想求什么”“還可以求什么”，讓學生發(fā)現(xiàn)信息，讓學生提出問題，由學生尋找答案，有時學生的發(fā)言雖然不那么精確，但有著對數(shù)學質(zhì)樸的理解，充滿著濃濃的兒童味與生活味。吳老師的提問常常充滿商量的語氣，看似讓學生選擇，但學生實在無法拒絕吳老師期待與鼓勵的眼神。

【課堂片斷】

師：寫一種方法就好！他求共有多少面積，跟他方法不一樣的可以到前面來寫。誰求花把手舉起來，揮揮手。這是誰寫的？你求的是什么？

生：我求的是花，我是這樣想的。

師：不著急，上來就想當老師。你是這樣想的，我們還沒讀懂呢！下面我們開始對話，誰來對他提問題？

圖3

生：12乘8是什么意思？

師：問得真好！我建議第一次掌聲響起來。生：12乘8，意思是左邊的花壇有96朵花。

師：誰支持他的觀點？有問題嗎？你們也是這么想的嗎？接著問。

生：韓程陽，8乘以8等于幾？哦，8乘以8是什么意思？

師：你這么一調(diào)整，問得就深刻了。還有嗎？接著問。

……

師：問得真好！為什么把96與64加在一起？

生：我把左邊和右邊的花先求出來，然后再加。

師：都同意嗎？這是誰寫的，也是160朵，和大家討論。

生：12加8什么意思？

師：問得好！你們可睜大了眼睛好好看?。∷f左邊12朵，右邊8朵，合在一起，這第一排是多少朵？還有問題嗎？

生：為什么要乘8？

生：因為都有8行.

生思考。

師：思考就行了嗎？還得親自動手……說吧！

生：算一算。

師：我也特別喜歡你，真會聽講！

【賞析】

2.3.4 注意該區(qū)域范圍歷史沿革變化，重視口述文獻的收集。在收集湘西地區(qū)紅色文獻時，地域范圍不能局限于現(xiàn)在的行政區(qū)劃，而應根據(jù)本地區(qū)的歷史沿革等實際情況來確定。注意與湘鄂西、湘鄂川黔各紅色紀念基地、老紅軍取得聯(lián)系，實地走訪，了解、記錄紅色口述文獻。

課堂追問既是教學手段，也是教學藝術(shù)?！罢l來對他提問題？”“還有嗎？接著問?！薄斑€有什么問題呀？”學生的回答不可謂不精彩，但吳老師并不滿足，她總是不停地追問，讓學生的思維向更深處漫溯。“問得真好！”“真會聽講！”吳老師善于用自己的眼神、手勢、笑容鼓勵學生、調(diào)動學生、影響學生。在吳老師的課堂，學生想說、敢說、善說，師生之間、生生之間充滿溫情與智慧。

【課堂片斷】

師：好，該求面積的上來了，這是誰的？先說這個吧。

生：大家對我的算式有什么提問？

師：12乘7是先算出紅花的面積，你問他能聽懂嗎？找那些沒發(fā)言的人行嗎？我建議那個男孩還沒說過呢，很想聽到你的聲音！

生：7乘8是什么意思？

生：7乘8算出黃花的面積。

師：加是什么意思？

生：因為要算出總面積，所以應該把紅花和黃花的面積加起來。

師：給點掌聲吧！真挺好的，那這是誰寫的？

生：這是我寫的，有什么問題嗎？

生：12加8是什么意思？

生：12加8的意思是紅花的長和黃花的長相加總的長。

師：合起來了，那這個長就是幾米了？寬呢？

生：寬是7米。

師：那20乘7就是什么？

生：這兩塊地的總面積。

師：聽明白了嗎？左邊等于多少？右邊等于多少？那你說這兩個結(jié)果怎么樣？（相等）

師：謝謝你支持我啊。你是說這個式子和這個式子是相等的對不對？我們寫出幾組算式了？有點感覺了嗎？誰有感覺了把手舉起來，有點兒感覺但說不出來的也請舉手！

【賞析】

“很想聽到你的聲音！”“聽懂了嗎？”“給點掌聲吧！”“謝謝你支持我啊?！眳抢蠋熒朴凇傲脫堋睂W生的情緒，她的課堂語言很有親和力，學生愛聽。在吳老師的課堂，學生愛問、愛說、愛思考，這源于吳老師對孩子真誠無差別的愛與洞察，也源于吳老師對課堂與教材的深刻理解與把控。她的課看似平淡，但聽著聽著就有“感覺”了。

【課堂片斷】

師：我們繼續(xù)研究看看誰能再有新的感覺。你們看這兒，正面墻要貼瓷磚，側(cè)面墻也要貼瓷磚，現(xiàn)在要求一共貼瓷磚的面積，會求嗎？這次要求可高了，你能試著像剛才那樣用兩種方法來求嗎？

圖4

師：你們算出的面積是多少??？

生：10平方米。

師：能說說你的算式嗎？

生：2乘2等于4平方米，2乘3等于6平方米，加起來就等于10平方米。

師：你還想說點什么？你來說吧，還可以怎么樣？

生：借助一張長方形紙和一張正方形紙，我把3米和2米墻合在一起，然后再乘那邊的寬就得10平方米。

師：你一口氣寫了兩個算式。你剛才在這兒猶豫了半天，你不回去，你想干嗎呀？

生：我想問同學有沒有不明白的地方。

師：掌聲送給他！好，那這邊跟這邊又相等了，睜大了眼睛好好看，此時此刻你有感覺了嗎？有感覺的人把手舉起來，這么多人??！

圖5

【賞析】

乘法分配律的算理很重要，吳老師沒有急于告訴或解釋，而是借助兩張紙，把兩面墻合在一處，就題論理，以形象來支撐和發(fā)展抽象。一個“合”字形象而生動，自然貼切地“打通”了分步算式和綜合列式之間的算理，在這里，抽象獲得了形象的支撐?！按藭r此刻你有感覺了嗎？”開始學生的感覺也許是懵懂、模糊、不具象的，但這種朦朧的感覺正是“建模”的基礎(chǔ)。

【課堂片斷】

師：現(xiàn)在我們又提出了新的要求，沒有情境了，也不貼瓷磚了，也不數(shù)花朵了，也不求面積了。你有感覺了，你能遵從你的感覺再寫出一組這樣的式子嗎？（學生嘗試寫）

圖6

師：我們先看看這兩個同學的吧，3加5的什么？

生：3加5的和乘10就等于3乘10加5乘10。

師：你就這么輕易地畫了一個等號？你為什么用等號連接啊？

生：我是這么想的，3加上5等于8，再乘10就等于80。

師：明白了，他是真正去算了的。同學們我們過去學過乘法呀，誰能換個角度來解讀這個算式？有沒有從乘法意義的角度去理解的？

生：3個10加5個10等于8個10，左邊呢也是8個10。

師：掌聲還不響起來！他能用自己的經(jīng)驗、過去的知識解讀今天遇到的新問題。我們看第五個式子。左邊幾個5？再看右邊，這是幾個5加幾個5？合在一起是幾個5？

師：這就是填等號的重要原因，對嗎？如果讓你們繼續(xù)寫下去，還能寫嗎？寫到今天下課？寫到明天上課？那能寫出多少??？

【賞析】

學生“原生態(tài)”的思考彌足珍貴，看似五花八門、霧里看花，但仔細觀察，還是能看出端倪[2]?！澳阌懈杏X了，你能再寫出這樣的一組式子嗎？”“感覺”是什么東西，這還真不容易說清楚，但學生聽明白了，你們看，孩子們寫出來的“感覺”、說出來的“感悟”多好啊，這不僅是對乘法分配律的“模仿”，更是一種基于感性的“數(shù)學表達”。

【課堂片斷】

師：那好，這一類的問題，有沒有共同的規(guī)律？你能把這個共同的規(guī)律用你的語言寫出來嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)結(jié)果是一樣的，而且寫不完。

師：這個發(fā)現(xiàn)多了不起?。∥乙穯柫?，那我說3加5等于幾？7加1等于幾？這結(jié)果也一樣呀，它跟我們今天學的有什么不同？你得把這個過程用我們的語言表達出來。

生：我發(fā)現(xiàn)他們其中的一個數(shù)是一樣的。

師：你發(fā)現(xiàn)了他們其中的一個數(shù)是一樣的，這很重要。比如說第一題的哪個數(shù)是一樣的？

師：再來看這一題，就是兩個數(shù)的和都乘一個數(shù)是這意思嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)兩個物體的長加在一起再乘以寬就等于總面積。

師：挺好的，你發(fā)現(xiàn)兩個物體的長合在一起乘寬就等于總面積。還可以怎么樣？

生：還可以先求一個物體的面積，再求另一個物體的面積，然后加起來。

師：越來越發(fā)現(xiàn)新東西了，誰能把這一類的題用一句話做總結(jié)？

生：分配率。

師：你說的？有戲！但不是你那個率啊。

生1：這一類問題兩組數(shù)既可以分開算，也可以一起算，而且結(jié)果一樣，寫不完。

生2：兩個算式有一個數(shù)肯定是一樣的。

師：有點兒意思。他說這一類的問題兩組數(shù)可以怎么樣？你來說。

生：可以分開算，也可以合起來算。最后的結(jié)果一定是一樣的。

圖7

師：真棒！真是越總結(jié)越完善。

【賞析】

“你能把這個共同規(guī)律用你的語言寫出來嗎？”自己的語言是學生聽得懂的語言，在這樣的課堂里，大家一起“聊”數(shù)學，有一種熟悉的“家”的味道?！拔乙穯柫??！眳抢蠋煹淖穯柨偰茏プW生的“癢處”，引導學生的思維向更深處漫溯?！澳隳馨堰@個過程表達出來嗎”“你還有什么發(fā)現(xiàn)？”“誰能把這一類題用一句話做總結(jié)？”兒童化、生活化的提問讓孩子們聽起來特別親切。數(shù)學語言的本質(zhì)是一種數(shù)學模型，它是溝通數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁[3]。學生的回答雖不十分準確，但核心要義達到了，這是孩子們對乘法分配律的“兒童化表達”。

【課堂片斷】

師：你們都是這么想的嗎？北京有一位同學是這樣寫的，爸爸和媽媽合在一起疼我，然后他說爸爸疼我，你們接著說，應該怎么說？

圖8

生：媽媽也疼我。

師：他們一起疼我。這好記吧？那你說這個爸爸可不可以代表12？可以代表上式中的2嗎？代表3、4可以嗎？這個媽媽可以代表8嗎？代表3、5、6可以嗎？誰能比他寫得再好點？我不用文字表示，還可以用什么表示？

生：圖形。

師：接著寫，圖形怎么表示？〇表示誰？

生：表示爸爸。

師：爸爸表示誰？（其中的一個數(shù)）然后再加上一個△，三角形表示什么？（媽媽，也是其中的一個數(shù)）然后呢？

生：再乘☆。

師：五角星又表示什么？

生：就是兩個算式里面一模一樣的那個數(shù)。

師：你的意思就是這個7對不對？然后等于什么？這很關(guān)鍵。大家一起來說！

生：等于圓乘五角星，再加三角形乘五角星。

師：那你說你這個可以表示多少個式子？如果我不用圖形表示，還有新的表示方法嗎？你想用什么？

生：字母。

師：來，你就當著大家一起來寫啊。好，不許你寫了，大家一起接著寫下去。

生：等于a×c加b×c。

師：我們能把這句話說出來嗎？跟著我試試說好嗎？兩個數(shù)的什么？乘一個數(shù)等于什么？再把兩個結(jié)果怎么樣？他們的結(jié)果變不變？這就是什么？

圖9

生：乘法分配律。

師：我們今天學習了什么？乘法分配律能解決什么問題呀？讓我們帶著這一個個的問題和期待，回到生活中去找一找，看看在哪兒能用到它，好嗎？

【賞析】

數(shù)學在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括和模式化的過程中發(fā)展、豐富起來的。數(shù)學學習只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學學習[4]?！氨本┯幸晃煌瑢W是這樣寫的”把孩子們的思維從具體算式引入到文字表述，它代表的不再是一道道算式了，而是一類現(xiàn)象，孩子們說得很好、很到位。“誰能寫得比他更棒點！”在吳老師的“撩撥”下，孩子們思維空前活躍，又想到了圖形、字母，它反過來驗證了前面講到的所有算式。至此，乘法分配律的“模型”水到渠成，并深深扎根于學生的頭腦之中。