廣東省河源高級中學(517000) 李佳炎 張玉婷

全概率公式是概率論中最基本且最重要的公式之一,它能幫助我們從簡單已知事件的概率推出復雜事件的概率.“全概率公式”已經(jīng)成為2019 版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊的重要內容,可以預見,未來在高考、強基競賽等試題中將?？吹饺怕使降纳碛?因此如何應用全概率公式變得非常重要.

完備事件組[1]設A1,A2,···,An為n個事件,若滿足:

(1)完全性:A1∪A2∪···∪An=Ω;

(2)互不相容性:AiAj=?,i/j,i,j=1,2,···,n;

(3)P(Ai)＞0,i=1,2,···,n,

則稱A1,A2,···,An為Ω 的一個完備事件組.

全概率公式[1]如果事件A1,A2,···,An是樣本空間Ω一個完備事件組,則對任意事件B,有

利用全概率公式計算復雜事件的概率,關鍵在于找到適當?shù)耐陚涫录M對樣本空間進行分割,這里的“適當”指在完備事件組下該事件的條件概率能夠較為容易地求出.下面本文總結三種常用的完備事件組的類型.

類型一:以“前n-1 次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例1從有a個紅球和b個藍球的袋子中,每次隨機摸出一個球,摸出的球不再放回,顯然,第一次摸出紅球的概率是那么第n(n≤a+b)次摸球摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率?

分析由于是不放回的摸球,每次摸球時,袋中的總球數(shù)和紅球數(shù)都會發(fā)生變化,這給概率計算帶來很大的麻煩.事實上,要計算第n次摸到紅球的概率,需要知道前n-1次摸球的結果如何,不妨考慮選擇“前n-1 次摸球中摸到紅球的個數(shù)”來分割樣本空間,設Ai={前n-1 次摸球中恰好摸到i個紅球},i=0,1,2,···,n-1,容易驗證這些事件可以構成一個完備事件組,并且利用古典概型,可以求出P(Ai)=,而對任意的i,在事件Ai發(fā)生的條件下,第n次摸球時,摸到紅球的概率也是可求的,等于于是可以利用全概率公式求出第n次摸球摸到紅球的概率.

評注巧合的是,不管是不放回摸球還是有放回摸球,在第n次摸球時,摸到紅球的概率是相等的,與摸球次數(shù)無關,只與袋中的紅球數(shù)與藍球數(shù)有關.而上述以“前n-1 次摸球結果”構成的完備事件組時,解法相對復雜,不妨換個角度思考.

既然第n次不放回摸球時,摸到的是紅球的概率只與袋中的紅球數(shù)與藍球數(shù)有關,假設第一次摸球摸到的是紅球,則此時袋中還剩a-1 個紅球和b個藍球,在這種條件下,第n次摸到的是紅球的概率,可以看成是從裝有a-1 個紅球和b個藍球的袋中,從頭開始不放回地摸球,第n-1 次摸到的是紅球的概率,其值為,同理若第一次摸球摸到的是藍球,則在該條件下,第n次摸球摸到的是紅球的概率是,由于例1 的結論與試驗次數(shù)n無關,我們不妨對其先猜想,然后利用數(shù)學歸納法反復歸納證明,證明過程中可以反復使用該結論來求上述條件概率.

類型二:以“第一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例2題目同例1.

例3(2018 年湖南省高中數(shù)學聯(lián)賽預賽B 卷)棋盤上標有第0,1,2,…,100 站,棋子開始時位于第0 站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99 站(勝利大本營)或第100 站(失敗大本營)時,游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為pn.

評注根據(jù)例2 和例3 的分析,我們可以看到,當隨機試驗需要進行n次時,若已知第一次試驗結果的條件下,進行剩下n-1 次的試驗,某個與試驗相關的事件的概率,等于從頭開始試驗,試驗次數(shù)為n-1 次時該事件的概率,這時可以選擇以“第一次試驗的結果”構成的事件列作為完備事件組,利用全概率公式去計算該復雜事件的概率.

類型三:以“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例4設有n個袋子,每袋裝有a個紅球,b個藍球,從第一袋摸出一球放入第二袋,再從第二袋中摸出一球放入第三袋,以此類推,直至從第n袋中取出一球,求最后摸出的是紅球的概率.

分析在已知第一袋中摸到的是紅球放入第二袋的條件下,這時第二袋有a+1 個紅球和b個藍球,要求最后摸出的是紅球的概率并不等于從頭開始摸球放入下一袋,直至第n-1 袋取出的是紅球的概率,因為后者要求每一袋中的紅球數(shù)及藍球數(shù)都是一樣的,而前者并不符合,故不適合選擇“第一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組.

例5(2022 湖北省八市高三(3 月)聯(lián)考)2022 年5 月6日,中國女足在兩球落后的情況下,以3 比2 逆轉擊敗韓國女足,成功奪得亞洲杯冠軍,在之前的半決賽中,中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5 驚險戰(zhàn)勝日本女足,其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球,表現(xiàn)神勇.

(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右、三個方向射門,門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球,不考慮其他因素,在一次點球大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望;

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練,甲、乙、丙、丁4 名女足隊員在某次傳接球的訓練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外3 人中的1 人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3 人中的1 人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住,記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0,

①試證明{pn-}是等比數(shù)列;

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較p10和q10的大小.

分析(2)傳球具有這樣一個特點——若上一次傳球前,球在甲腳下,則下一次傳球前球必然不在甲腳下,而如果上一次傳球前,球不在甲腳下,則下一次傳球前,球在甲或者其他兩個人腳下的概率是相等的,均為,因此選擇“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組是很自然的想法.

例6(2020 年高考江蘇卷)甲口袋裝有2 個黑球和1 個白球,乙口袋裝有3 個白球,現(xiàn)從甲、乙口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球的個數(shù)為Xn,恰有2 個黑球的概率為pn,恰有1 個黑球的概率為qn,

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示).

分析(2)每次交換球前都先要確定此時甲、乙兩袋的黑球數(shù)與白球數(shù),因為不同的黑球數(shù)和白球數(shù),會直接影響下一次交換球時,甲袋中黑球數(shù)為0,1,2 的概率,比如說在已知交換前甲袋中有2 個黑球和1 個白球,乙袋有3 個白球,則交換后甲袋黑球數(shù)為0 的概率是0,而甲袋中黑球為1 的概率是,這是因為這次交換是將甲袋中的黑球與乙袋中白球作交換,而在甲袋中摸到黑球的概率是,在乙袋中摸到白球的概率是1,同理可以得到交換后甲袋中黑球數(shù)為2 的概率是,根據(jù)同樣的分析,我們可以得到在交換前甲袋中的黑球數(shù)分別是0,1,2 的條件下,交換后甲袋中黑球數(shù)分別是0,1,2 的所有概率,于是,考慮選擇“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組,即選擇“交換前甲袋中黑球的個數(shù)”構成的事件列{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}來作為完備事件組,利用全概率公式建立起pn和qn的地推關系,從而解決問題.

解答(2) 由題設可知:Xn的可能取值為0,1,2,P(Xn=2)=pn,P(Xn=1)=qn,故P(Xn=0)=1-pn-qn,顯然,對任意n ∈N*,事件{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}均構成完備事件組,因而由全概率公式可得:

P(Xn=2|Xn-1=2)表示在第n次交換前,甲口袋已經(jīng)有兩個黑球,而第n次交換后,仍然有兩個黑球,即只把甲口袋中的白球與乙口袋的白球交換,因此

P(Xn=2|Xn-1=1)表示在第n次交換前,甲口袋恰有1 個黑球,第n次交換后,甲口袋有兩個黑球,即甲口袋的白球與乙口袋的黑球交換,因此

P(Xn=1|Xn-1=2) 表示第n次交換前甲口袋有兩個黑球,第n次交換后僅剩1 個黑球,即把甲口袋的黑球與乙口袋的白球交換,因此

評注通過對上面三道例題的分析,可以看到,在已知上一次試驗結果的條件下,可以直接確定下一次試驗各種可能情況發(fā)生的概率時,可以選擇“前一次試驗結果”所構成的事件列作為完備事件組.

不妨對比例1 和例4,對于例1,若已知前一次摸球摸出的是紅球,我們只能知道袋中紅球數(shù)和總球數(shù)減一,至于紅球還剩多少并不能因此確定,還需要知道前面每一次摸球的結果,因此不宜選擇“前一次摸球的結果”所構成的事件列作為完備事件組;反觀例4,由于每次摸球只會影響球被摸出和球被放入的兩袋球的紅球數(shù)或藍球數(shù),因此若已知在前一袋中摸球的結果,便可得到下一袋摸球中摸出的是紅球的概率,所以可以選擇“在前一袋中摸球結果”所構成的事件列來作為完備事件組.

同時我們還可以看到,每一次試驗中的某個事件發(fā)生概率可以看成一個數(shù)列,若是能得到這個事件在已知上一次試驗結果的條件下發(fā)生的概率,我們便可以利用全概率公式得到這個數(shù)列的遞推關系,進而求解出這個數(shù)列的通項公式.

總之,復雜事件的概率計算一直是概率統(tǒng)計中的一個重難點問題,其技巧性強,方法比較靈活,往往還都與試驗次數(shù)n有關,很難一一枚舉,學生難以掌握.通過本文的實例分析,不難發(fā)現(xiàn),找準完備事件組,把事件的概率看作一個數(shù)列,利用全概率公式建立起遞推關系,結合數(shù)列遞推關系的求解方法和數(shù)學歸納法,能有效解決許多復雜事件的概率計算問題.