◇遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 于茹子 吳 華

智能時代的教育教學(xué)變革需要信息技術(shù)與教學(xué)活動的深度融合，借助GeoGebra動態(tài)幾何軟件的優(yōu)勢，以“雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，經(jīng)過范希爾理論的學(xué)前診斷、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合五個教學(xué)階段，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，理解幾何本質(zhì)，提高幾何思維水平。

新版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》對教育信息化提出說明：“信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源。因此，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)的方式[1]?！泵绹秶胰斯ぶ悄苎邪l(fā)戰(zhàn)略規(guī)劃》中也提到要利用人工智能技術(shù)改進(jìn)教育機(jī)會，實(shí)施個性化學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)等[2]。

在宏觀政策要求下，智能時代教育教學(xué)的變革需求使信息技術(shù)與教學(xué)活動的深度融合迫在眉睫[3]。然而GeoGebra作為一個多功能動態(tài)幾何軟件，具有數(shù)學(xué)化、視覺化、動態(tài)化呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象與思維的功能[4]，同時它能夠做到幾何圖形與代數(shù)方程的同步變化，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，理解幾何本質(zhì)[5]?，F(xiàn)已被世界各國廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，它豐富了課堂活動，拓展了學(xué)生思維，改變了教學(xué)現(xiàn)狀。

范希爾理論不僅能夠評估學(xué)生的幾何思維發(fā)展現(xiàn)狀，還可以設(shè)計教學(xué)階段進(jìn)而提高學(xué)生的幾何思維水平。范希爾認(rèn)為，學(xué)生幾何思維的發(fā)展具有先后順序[6]，設(shè)計教學(xué)需要依據(jù)“順序性”原則，遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?；诖?，本文以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，借助范希爾理論對幾何教學(xué)進(jìn)行思考，并結(jié)合GeoGebra，旨在促進(jìn)技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的改革。

1 范希爾理論

20世紀(jì)50年代，范希爾夫婦在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)幾何教學(xué)存在的問題，并受皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的啟發(fā)，提出了幾何思維的五個水平與對應(yīng)的五個教學(xué)階段[7]。筆者梳理了范希爾理論并做出結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。

圖1 范希爾理論示意圖

五個思維水平分別為：①層次0—視覺，學(xué)生能根據(jù)外觀辨識圖形，在心理上把圖形表示成直觀圖像；②層次1—分析，學(xué)生能確定圖形的性質(zhì)，辨別圖形的特征；③層次2—非形式化的演繹，學(xué)生能提出非形式化的推論，形成抽象的定義；④層次3—形式化的演繹，學(xué)生能通過形式化的推理，建立定理；⑤層次4—嚴(yán)密性，學(xué)生形成了更高的思維水平，能在不同的公理系統(tǒng)下建立定理并分析其特性。

五個教學(xué)階段分別為：①階段1—學(xué)前咨詢，課前教師通過雙向交談的方式了解學(xué)情，幫助學(xué)生理解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容；②階段2—引導(dǎo)定向，教師幫助學(xué)生安排活動順序，這個過程中學(xué)生逐漸確定學(xué)習(xí)的方向；③階段3—闡明，通過前面的活動經(jīng)驗(yàn)和教師的提示，學(xué)生能夠明確表達(dá)自己的看法；④階段4—自由定向，學(xué)生在解決復(fù)雜問題的過程中獲得經(jīng)驗(yàn)，確定自己學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向；⑤階段5—整合，學(xué)生將所學(xué)到的方法內(nèi)化到自己的思維結(jié)構(gòu)中去，形成一個新的思維領(lǐng)域。

本文主要針對“雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這一部分內(nèi)容，依據(jù)范希爾理論設(shè)計更符合學(xué)生幾何認(rèn)知發(fā)展的課程，結(jié)合動態(tài)幾何軟件的優(yōu)勢，通過折紙實(shí)驗(yàn)與雙曲線定義的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的幾何思維，有效改善傳統(tǒng)的幾何教學(xué)。

2 GeoGebra動態(tài)幾何軟件

GeoGebra是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計的，這是一款結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的免費(fèi)、多平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件[8]。GeoGebra最大優(yōu)勢就是其能夠動態(tài)展示數(shù)學(xué)對象的生成過程，幫助學(xué)生在“變化”中找到“不變”的幾何規(guī)律。其次就是它能夠做到“數(shù)”與“形”的同步變化，通過構(gòu)建“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系通道，幫助學(xué)生跨越知識符號，建立內(nèi)在的邏輯和意義[9]。而數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想，華羅庚曾有詩云：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”[10]。充分說明了數(shù)形結(jié)合的重要性，這也是GeoGebra軟件的優(yōu)越性所在。

GeoGebra軟件有其獨(dú)特的功能與特點(diǎn)，圖2[11]為筆者整理的結(jié)構(gòu)模型，可以幫助讀者加深對GeoGebra的了解。

圖2 GeoGebra結(jié)構(gòu)模型圖

本文通過運(yùn)用GeoGebra軟件對“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這一部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計重構(gòu)，希望彌補(bǔ)傳統(tǒng)解析幾何教學(xué)的局限性，培養(yǎng)學(xué)生對于解析幾何的興趣，促進(jìn)學(xué)生的直觀思維向抽象思維過渡，提升課堂教學(xué)的實(shí)效性。

3 基于范希爾理論的“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計

3.1 教學(xué)內(nèi)容分析

雙曲線是高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-1第二章“圓錐曲線與方程2.3”的內(nèi)容，一般安排三個課時，本節(jié)課是第一課時[12]。它是繼學(xué)習(xí)橢圓之后的又一種圓錐曲線，也是我們高中解析幾何部分的重要內(nèi)容之一。接下來依據(jù)范希爾理論并且融入GeoGebra，對“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”進(jìn)行了幾何思維水平的劃分，如表1所示。

表1 “雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的幾何思維水平劃分

3.2 GeoGebra環(huán)境下依據(jù)范希爾理論的雙曲線教學(xué)設(shè)計

階段1：學(xué)前咨詢—復(fù)習(xí)引入，初識雙曲線

師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，對于橢圓你掌握了什么嗎？

生：利用拉線作圖掌握了橢圓的定義，利用邏輯推理獲得了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程過程中明確了建系的方法。

師：大家對于橢圓有了一定的了解，這節(jié)課我們繼續(xù)探索另一種圓錐曲線—雙曲線，請看大屏幕。

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常可以抽象出雙曲線的形狀，通過知網(wǎng)檢索也可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線在許多我們熟知的領(lǐng)域都有應(yīng)用，雙曲線究竟有什么魅力以至于它有如此廣泛的存在與應(yīng)用呢，今天我們就來探尋一下雙曲線的形成吧！

設(shè)計意圖：①這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的學(xué)前咨詢階段。②教師通過與學(xué)生的雙向交談，了解學(xué)生關(guān)于圓錐曲線的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。③教師通過PPT引入生活中的雙曲線，使學(xué)生通過幾何的直觀感知、初識幾何體，明確數(shù)學(xué)來源于生活并高于生活。

階段2：引導(dǎo)定向—直觀想象，雙曲線定義的猜想

探究1：雙曲線的定義。

師：在前面“橢圓的幾何性質(zhì)”學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道，在半徑為r的圓F1內(nèi)取一定點(diǎn)F2，折疊紙片使圓周上的某一點(diǎn)A剛好與點(diǎn)F2重合，折痕為L。連接AF1交L于點(diǎn)M，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡就是橢圓，如圖3所示。

圖3

問題1：如果將上述問題中的條件“在圓內(nèi)取一定點(diǎn)F2”改為“在圓外取一定點(diǎn)F2”，那么點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡又會是什么呢？

圖4

師：通過自己的動手實(shí)踐，大家發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是什么了嗎？

生：雙曲線。

師：由于折紙無法取遍圓上所有的點(diǎn)，所以老師借助GeoGebra軟件動態(tài)展示雙曲線生成的全過程。

圖5

師：大家通過觀察圓片折疊形成雙曲線的過程，能夠發(fā)現(xiàn)各線段間存在什么關(guān)系嗎？

生：點(diǎn)A與點(diǎn)F2通過折疊重合，并形成了折痕L，所以折痕L為線段AF2的垂直平分線。點(diǎn)M是折痕L 與半徑AF1延長線的交點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，MA=MF2。

圖6

問題2：動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1、F2會形成什么關(guān)系式？

師：前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道“平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓”，大家能否觀察圖形，抽象出雙曲線的定義呢？

生：平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差是定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

師：你是怎么抽象出來的？

師：這樣就得出了“動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差是定值”的結(jié)論。

問題3：MF2與MF1之間需要滿足什么關(guān)系式呢？

師：這是交點(diǎn)M在圓內(nèi)的情形，如果交點(diǎn)M在圓外呢，上述得到的關(guān)系式還能否適用？

圖7

設(shè)計意圖：①這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的引導(dǎo)定向階段。②教師運(yùn)用GeoGebra動態(tài)生成雙曲線的形成過程，通過構(gòu)造動點(diǎn)，觀察“數(shù)”與“形”的同步變化，為猜想雙曲線定義提供技術(shù)支持。③教師通過問題鏈的形式，一步步引導(dǎo)學(xué)生思維的深入。④基于此階段的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生通過自主探究、分析、推理，最終獲得雙曲線的關(guān)系式，達(dá)到提升學(xué)生幾何思維水平的目的。

階段3：闡明—邏輯推理，雙曲線定義的獲得

問題5：雙曲線的定義是什么？

師：通過上述得到的關(guān)系式，能否總結(jié)其共性，給雙曲線下一個定義？

生：將平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2距離之差的絕對值是常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。

圖8

生：當(dāng)2a=2c時，M點(diǎn)的軌跡是射線；當(dāng)2a大于2c時，M點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a小于2c時，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線。故要給2a一個限制條件，只有當(dāng)軌跡才是雙曲線。

師：這樣我們就得出了雙曲線的完整定義：把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（<）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

設(shè)計意圖：①這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的闡明階段。②教師通過語言和技術(shù)的引導(dǎo)，向?qū)W生闡明雙曲線定義的內(nèi)容和限定條件，使定義更加完整化、系統(tǒng)化。③學(xué)生則根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)與教師的提示，推導(dǎo)出雙曲線的定義。④通過GeoGebra的直觀演示，將抽象的數(shù)學(xué)概念用直觀圖形來顯示，進(jìn)而提高課堂教學(xué)的實(shí)效性[13]。

階段4：自由定向—數(shù)學(xué)建模，雙曲線定義的深化

探究2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

問題1：回顧圓錐曲線的發(fā)展歷史，第一定義較原始定義有什么優(yōu)點(diǎn)？

生：有了這個定義，方便我們寫出雙曲線的方程。

師：用方程研究雙曲線的性質(zhì)，這是解析幾何學(xué)研究問題的手段。

問題2：回顧一下研究曲線方程的步驟是什么？

生：第一步是建系。

師：雙曲線應(yīng)該怎么建系合理呢？

生：以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。

師：坐標(biāo)系建好后，我們設(shè)點(diǎn)就方便多了，大家可以把M、F1、F2的坐標(biāo)點(diǎn)表示出來嗎？

師：如何根據(jù)這幾個點(diǎn)的坐標(biāo)列式呢？

（由于時間原因，推導(dǎo)過程作為練習(xí)題在課前留給學(xué)生，自己探索解決辦法，教師挑出具有代表性的方法課上交流討論。）

師：怎樣讓方程變得更簡潔？

師：焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程需要大家自己動手完成。

設(shè)計意圖：①這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的自由定向階段。②這個階段學(xué)生能用演繹推理的方式得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過對雙曲線定義的應(yīng)用，最終達(dá)到對于雙曲線定義的全面把握。③整個教學(xué)過程，師生共同參與，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，完成方程的推導(dǎo)。

階段5：整合—數(shù)學(xué)運(yùn)算，雙曲線定義的內(nèi)化

例題1：已知，動點(diǎn)P到F1、F2的距離之差的絕對值為6，求P點(diǎn)的軌跡方程。

例題2：根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計意圖：①這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學(xué)階段的整合階段。②這個階段學(xué)生對雙曲線的定義的理解進(jìn)入內(nèi)化階段，能用雙曲線的知識解決問題，同時進(jìn)一步體會了數(shù)形結(jié)合思想。③學(xué)生通過各種習(xí)題的練習(xí)，深化對于雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，最終達(dá)到知識的遷移與靈活應(yīng)用。

4 結(jié)束語

本文以范希爾理論與GeoGebra動態(tài)幾何軟件的結(jié)合為支點(diǎn)，充分發(fā)揮范希爾理論的理論指導(dǎo)和動態(tài)軟件的技術(shù)優(yōu)勢，從生活情境入手，讓學(xué)生體會生活中的雙曲線，到通過折紙實(shí)驗(yàn)和問題鏈的方式推導(dǎo)出雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，最后內(nèi)化知識并靈活運(yùn)用知識解決問題，過程中學(xué)生逐漸加深對知識的理解，經(jīng)歷獲得知識、深化知識、內(nèi)化知識的過程，最終形成新的思維領(lǐng)域。整個過程遵循學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，從特殊到一般，具體到抽象，學(xué)生一步步將知識內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其中在GeoGebra軟件的技術(shù)支持下，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，縮小教學(xué)內(nèi)容的思維水平與學(xué)生實(shí)際的思維水平間的差距，幫助學(xué)生進(jìn)行形式化的演繹推理[14]。