吳 量，嚴(yán) 卿

（1.西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院 四川 成都 611130；2.湖北大學(xué)師范學(xué)院 湖北 武漢 430062）

在信息社會與大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是統(tǒng)計學(xué)素養(yǎng)的重要性越來越明顯。在實際生活中遇到的問題往往不是簡單而線性的，面對大量的信息與數(shù)據(jù)，勢必需要加以鑒別，評估、比較與選擇處理信息的方法，并反思得到的結(jié)果。NCTM（美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會）指出，具備統(tǒng)計學(xué)知識是做出關(guān)鍵而明智的決定的前提[1]。然而，即便具有相應(yīng)的知識，并不意味著我們能夠得到可靠的結(jié)果，我們所持有的觀念同樣會產(chǎn)生重要的影響。例如，如果個體持有“可誤主義”的數(shù)學(xué)觀，那么他在處理數(shù)據(jù)時，便有更大可能去比較不同數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)劣，并對得到的結(jié)果加以反思。

本研究通過編制調(diào)查問卷，調(diào)查統(tǒng)計學(xué)專業(yè)本科生數(shù)學(xué)觀的現(xiàn)狀，在此基礎(chǔ)上探討課程等因素對數(shù)學(xué)觀的影響。

1 研究設(shè)計

1.1 調(diào)查問卷的編制

狹義上，數(shù)學(xué)觀是對“數(shù)學(xué)是什么”這一問題的回答。相關(guān)研究對這一定義進(jìn)行了推廣，通常涉及“數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性”“數(shù)學(xué)知識的價值性”“數(shù)學(xué)知識的來源與辯護(hù)”等問題[2]。基于此，本研究建立了四維度的評價框架：知識的確定性，知識的復(fù)雜性，知識的價值性，知識的辯護(hù)，并在此基礎(chǔ)上選編題項。初步編制的問卷共計29 道題，采用李克特6 點(diǎn)式計分。

為了檢驗問卷是否科學(xué)有效，研究選取594 名樣本進(jìn)行了預(yù)測試，對得到的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行項目分析、探索性因素分析以及驗證性因素分析。在刪減了部分題目后，問卷的結(jié)構(gòu)調(diào)整為“知識的確定性”“知識的價值性”“知識的活動性”三個維度，具有較好的信度和結(jié)構(gòu)效度。

1.2 研究對象

在國內(nèi)某211 高校的統(tǒng)計學(xué)院發(fā)放問卷，共回收有效問卷465 份。其中，女生301 人，男生164 人；大一126 人，大二179 人，大三160 人。問卷發(fā)放時間為秋季學(xué)期開學(xué)后的一個月內(nèi)。在對問卷數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，選取部分教師與學(xué)生進(jìn)行訪談。

2 研究結(jié)果

2.1 統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生總體上持有比較積極的數(shù)學(xué)觀

考慮到不同維度試題數(shù)量不同，將各維度總分除以題數(shù)，得到各維度的均分，對于總問卷也按相同方式處理。取3.5 分作為檢驗值，考查其與總問卷及各維度均分之間的差異，單樣本t 檢驗結(jié)果顯示差異均達(dá)到顯著水平。這表明，無論是在總問卷還是各個維度上，統(tǒng)計學(xué)專業(yè)本科生都持有比較積極的數(shù)學(xué)觀。

2.2 學(xué)生數(shù)學(xué)觀在大一期間呈消極化趨勢

以年級為自變量，總問卷及各維度均分為因變量進(jìn)行單因素方差分析。結(jié)果顯示，年級差異達(dá)到顯著水平。事后多重檢驗結(jié)果顯示，大一學(xué)生得分高于大二（p<0.001），大一學(xué)生得分高于大三（p<0.001）。大二與大三間的差異則未達(dá)到顯著水平（p>0.05）。

具體到各維度，“價值性”與“活動性”的年級差異情況與總問卷基本一致。而在“確定性”維度，僅大一與大三學(xué)生的差異達(dá)到顯著水平（p<0.05）?？傮w上，大二與大三學(xué)生的數(shù)學(xué)觀得分比較接近，且均低于大一學(xué)生。

2.3 男、女生數(shù)學(xué)觀的變化趨勢存在差異

性別是數(shù)學(xué)能力研究中的一個重要變量，這一因素在數(shù)學(xué)觀問題上是否也存在某種效應(yīng)，同樣值得關(guān)注。以年級、性別為自變量，分別以總問卷及各維度均分為因變量，進(jìn)行3×2 方差分析。

對總問卷的方差分析結(jié)果顯示，性別主效應(yīng)不顯著（p>0.05），年級主效應(yīng)顯著（p<0.001），性別與年級的交互效應(yīng)顯著（p<0.05）。由此可見，盡管從總體上而言，男、女生的數(shù)學(xué)觀十分接近，但從大一到大三，表現(xiàn)出不同的變化趨勢：女生的數(shù)學(xué)觀得分在大一到大二之間有一個明顯的下降，大二到大三間保持穩(wěn)定；男生的得分盡管也呈下降趨勢，但三個年級間的差異并未達(dá)到顯著水平。對于各維度得分，亦呈現(xiàn)出類似的結(jié)果。

2.4 不同專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)觀存在差異

從大二開始，隨著專業(yè)分流，學(xué)生所學(xué)課程也有所區(qū)別，有必要考查這些課程的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)觀的影響。以專業(yè)為自變量進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，不同專業(yè)學(xué)生總問卷均值的差異達(dá)到顯著水平（p<0.05）。事后多重檢驗結(jié)果表明，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計專業(yè)得分高于管理科學(xué)與工程，且差異達(dá)到顯著水平（p<0.05），而這一差異主要來自“活動性”維度（p<0.05）。

3 分析與討論

3.1 對數(shù)學(xué)觀結(jié)構(gòu)的分析

數(shù)學(xué)觀的結(jié)構(gòu)是該領(lǐng)域一個基礎(chǔ)性的問題，也是相關(guān)研究的前提。本研究首先建立了一個四維度的理論框架，但數(shù)據(jù)支持的則是三因素的結(jié)構(gòu)。其中，“知識的確定性”與“知識的價值性”均屬于預(yù)設(shè)的維度，但“知識的活動性”則與預(yù)設(shè)不同?！盎顒有浴钡奶岢鰠⒖剂恕皵?shù)學(xué)活動論”。鄭毓信指出，數(shù)學(xué)包括知識成分與觀念成分。其中，知識成分是由問題、語言、方法、命題構(gòu)成的多元復(fù)合體，觀念成分表現(xiàn)為數(shù)學(xué)家共同體在工作中的能動性等[3]。這一理論主張數(shù)學(xué)知識不是定理與法則的簡單匯集，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識發(fā)展中過程性、動態(tài)性的一面。因素分析的結(jié)果驗證了這一理論的合理性。

3.2 對數(shù)學(xué)觀整體現(xiàn)狀的分析

根據(jù)研究結(jié)果，統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生總體上持一種比較積極的數(shù)學(xué)觀，他們更傾向于認(rèn)同數(shù)學(xué)并非絕對真理，數(shù)學(xué)知識具有實際價值，并且用一種動態(tài)的觀點(diǎn)來認(rèn)識數(shù)學(xué)的發(fā)展過程。與國外相關(guān)研究對比可以發(fā)現(xiàn)[4]，我國統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀是較為成熟的。

這種成熟一定程度上可以歸結(jié)為21 世紀(jì)以來的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革。近年來的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程越來越重視知識背景情境的創(chuàng)設(shè)、問題的引領(lǐng)以及數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的融入。在訪談中，圍繞數(shù)學(xué)知識的確定性問題，多名學(xué)生提及了非歐幾何的創(chuàng)立與三次數(shù)學(xué)危機(jī)。對這些事實的了解是學(xué)生認(rèn)同數(shù)學(xué)知識可誤性、活動性的主要依據(jù)。

3.3 對數(shù)學(xué)觀個體差異的分析

通過研究不同群體間數(shù)學(xué)觀的差異，可以揭示出數(shù)學(xué)觀的一些影響因素，進(jìn)而對數(shù)學(xué)觀的塑造提供啟示。本研究中，主要考慮了年級、性別、專業(yè)等因素。

年級差異主要體現(xiàn)在大一到大二之間存在一個比較明顯的下滑。由于問卷施測于秋季開學(xué)后不久，大一學(xué)生的數(shù)學(xué)觀反映了高中畢業(yè)時的水平。這一結(jié)果和已有的一些研究并不一致。在Schommer 等的研究中，高年級的學(xué)生往往具有更加成熟的認(rèn)識信念，因為他們所學(xué)的知識更加豐富，對于知識發(fā)生、發(fā)展的過程有更深入的理解[5]。而在本研究中，通過對師生的訪談可以發(fā)現(xiàn)，造成這種現(xiàn)象的主要原因在于數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)方式。這些課程本身就具有高度形式化、抽象化的特征，在教學(xué)中又往往遵循“概念+習(xí)題”這樣一種“演繹”的模式。學(xué)生很難將大學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識與實際問題聯(lián)系在一起，很少有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，對于數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的挫折與數(shù)學(xué)家努力過程中的選擇性缺乏了解，學(xué)習(xí)到的只是作為結(jié)果的、看起來十分完備的知識體系。因此，與大一相比，大二、大三學(xué)生更傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是客觀的、絕對真理的集合。

性別差異在數(shù)學(xué)觀的研究中始終獲得了學(xué)者相當(dāng)多的關(guān)注，在這些研究中，男、女生在對于知識的看法上往往并不存在顯著差異，這與本研究的結(jié)果是一致的。不過，本研究通過兩因素方差分析對性別與年級的關(guān)系作了進(jìn)一步探討，揭示出男女生在數(shù)學(xué)觀的變化趨勢上存在差異，女生在大一至大二間存在消極化的趨勢。在訪談中，教師普遍表示女生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更為勤奮與認(rèn)真，這一點(diǎn)與已有研究是一致的[6]。盡管女生對學(xué)習(xí)有著更為積極的態(tài)度，但在面對高度形式化、抽象化的內(nèi)容時，這種態(tài)度就轉(zhuǎn)化為了如下的典型觀點(diǎn)——“即便一時難以完全理解，但也應(yīng)該先記憶下來”。女生對自身施加了更高的要求和更大的壓力，這強(qiáng)化了她們對數(shù)學(xué)知識客觀真理性的認(rèn)識以及對教學(xué)中權(quán)威角色的依賴。

在不同專業(yè)中，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的學(xué)生持有最為成熟的數(shù)學(xué)觀，其次是金融統(tǒng)計。實際上，在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計課程中，很多時候?qū)W生會面臨著統(tǒng)計學(xué)方法選擇上的問題，這些方法在使用條件、結(jié)果可靠程度等方面存在差異，因此并不能簡單用“對”或“錯”來評判。即便學(xué)生最終決定選擇某一方法，對其局限性的認(rèn)識也是必要的。再者，這些方法本身仍處于不斷發(fā)展中，新的方法往往依賴于新模型的使用，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計專業(yè)的學(xué)生對此更為熟悉。因此，他們在數(shù)學(xué)知識的確定性、活動性問題上持有更為成熟的信念。

4 研究結(jié)論

基于對研究結(jié)果的分析，筆者在此提出優(yōu)化統(tǒng)計學(xué)專業(yè)本科生數(shù)學(xué)觀的教學(xué)建議。第一，轉(zhuǎn)化知識教學(xué)的基本邏輯。改變由概念到性質(zhì)、再到習(xí)題的傳統(tǒng)教學(xué)模式，創(chuàng)設(shè)問題情境，通過對問題的探究引出新的知識，再利用新知認(rèn)解決最初的問題。新知識的學(xué)習(xí)與解決實際問題緊密結(jié)合，能夠讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的價值性。第二，還原知識的來龍去脈。盡管教材上的數(shù)學(xué)知識通常以完備、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问匠尸F(xiàn)，但數(shù)學(xué)知識在其發(fā)展過程中往往充滿了“波折”。知識的發(fā)展通常來自問題，在探究問題的過程中，基于形象思維的猜想經(jīng)常發(fā)揮著重要作用，新知識的接受與否則依賴于數(shù)學(xué)家共同體的認(rèn)可。知識發(fā)展過程中也常常伴隨著反駁、證偽，甚至在很多時候都面臨著無法解決的悖論。在教學(xué)中為學(xué)生還原這一過程，能夠讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的活動性特征。第三，創(chuàng)設(shè)開放性的任務(wù)。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，任務(wù)的設(shè)置通常服務(wù)于知識點(diǎn)，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)題中就是通常沒有任何多余的條件，并且方法與答案往往是唯一確定的。顯然，這樣的任務(wù)會使學(xué)生傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)知識就是確定性真理的集合，解決數(shù)學(xué)問題就是“套公式”。開放性任務(wù)存在多種解答方法或多個答案，能夠讓學(xué)生比較不同的方法，反思思維的方向，感悟數(shù)學(xué)探究過程中主體的選擇性。