程麗雲(yún) 張新全

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”[1]數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，它是學(xué)生在接受數(shù)學(xué)教育中逐漸形成的，以適應(yīng)個人終身發(fā)展及社會需要的一種必備品格和關(guān)鍵能力．落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)已成為當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的核心問題和數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)注的熱點．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實要具體到數(shù)學(xué)課堂中，基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)深度契合以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)的新課程理念，是落實課改、發(fā)展核心素養(yǎng)的有效途徑．因此，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，提升綜合能力、培養(yǎng)高階思維、促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根．

1 深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與特征

深度學(xué)習(xí)也稱深層學(xué)習(xí)或深層次學(xué)習(xí)，原是機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的一種模式分析方法的統(tǒng)稱．1976年瑞典哥德堡大學(xué)研究者Ference Marton和Roger Saljo在基于學(xué)習(xí)本質(zhì)的層級理論中首次提出了教育領(lǐng)域的深層次學(xué)習(xí)概念，2005年國內(nèi)學(xué)者黎加厚將深度學(xué)習(xí)引入國內(nèi)．目前關(guān)于深層次學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，學(xué)界沒有統(tǒng)一界定，不同學(xué)者有不同的理解．基于對學(xué)術(shù)界影響力較大的觀點進行分析綜合，筆者認(rèn)為教育中的深度學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，積極主動地理解知識，批判性地學(xué)習(xí)新知，并最終能夠遷移應(yīng)用解決新的實際問題，由此獲得未來必備素養(yǎng)的學(xué)習(xí)．

依據(jù)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，本文將數(shù)學(xué)學(xué)科深度學(xué)習(xí)概括為以下六點特征：

（1）關(guān)注學(xué)習(xí)者主動投入式的學(xué)習(xí)；

（2）注重學(xué)習(xí)過程，關(guān)注學(xué)習(xí)體驗；

（3）強調(diào)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度加工；

（4）把握數(shù)學(xué)學(xué)科體系與內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)；

（5）關(guān)注對學(xué)習(xí)過程的構(gòu)建反思；

（6）強調(diào)遷移應(yīng)用與問題解決．

2 借深度學(xué)習(xí)促素養(yǎng)落地教學(xué)實踐

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)從理念走向行動需要從深度學(xué)習(xí)走向深度教學(xué)．本文將學(xué)習(xí)理論與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行深度融合，以人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修2“直線與平面垂直的判定”為例，通過具體的教學(xué)案例對如何在課堂教學(xué)中開展深度學(xué)習(xí)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學(xué)實踐進行示范，以提升學(xué)生的思維和問題解決能力，尋求達成落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的有效路徑．

2.1激活舊知，初成圖示

問題1 我們剛剛完成了空間中直線與平面平行這百花園的游覽，大家都收獲滿滿．請回顧空間中直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？

師生活動 學(xué)生將自己課前梳理的結(jié)構(gòu)展示出來（如圖1），通過小組代表交流，達成共識，形成空間中直線與平面的位置關(guān)系．

問題2 類比直線與平面平行的研究思路，你認(rèn)為對于直線與平面垂直要研究哪些內(nèi)容？按怎樣的線索展開研究？研究方法是什么？

師生活動 先讓學(xué)生嘗試，教師幫助分析，共同完善直線與平面垂直的研究思路（如圖2）．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶將立體幾何“平面化”的“降維”思想，強化空間位置關(guān)系的常用研究方法：空間問題平面化，即降維化歸，得到立體幾何認(rèn)知的研究內(nèi)容：“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”與研究路徑：“實例—抽象—概括—論證”．

設(shè)計意圖 通過思維導(dǎo)圖或概念圖的方式對知識點進行梳理、串聯(lián)、貫通，使學(xué)生對章節(jié)的知識脈絡(luò)了解得更加清晰，幫助學(xué)生從整體角度去建立知識之間的聯(lián)系，形成“單元化的知識”，促進學(xué)生融會貫通，真正理解知識、掌握知識．首先，借助思維導(dǎo)圖讓學(xué)生從整體上認(rèn)識空間中直線和平面的位置關(guān)系；其次，類比直線與平面平行形成直線與平面垂直的研究思路和方法，通過概念圖幫助學(xué)生達成結(jié)構(gòu)化意識和思維的意愿，并把數(shù)學(xué)思想、研究方法貫穿在知識生成過程中．

2.2探究新知，深度加工

2.2.1 實例導(dǎo)入，模型抽象

實例1 “一橋飛南北，天塹變通途．”港珠澳大橋被稱為是“世界七大奇跡之一”，橋墩地基是支撐橋體的重要力量，在水下建造橋墩時，工程師需要精確測量出橋墩與海平面垂直．

實例2 我國擁有世界上規(guī)模最大的高鐵網(wǎng)絡(luò)．高鐵被譽為“新四大發(fā)明之一”，高速鐵路多以高架橋的形式修建，在建造高鐵橋墩時，工程師需要精確監(jiān)測出高鐵橋墩與地面垂直．

問題3 從以上兩個實例中可以抽象出直線和平面的哪種位置關(guān)系？直線與平面垂直在我們的生活中還有許多直觀的感知，試舉例說明．

設(shè)計意圖 通過具體的生活實例，讓學(xué)生感悟中國特色社會主義制度的優(yōu)越性，激發(fā)民族自豪感，堅定愛國主義情懷，并直觀感知直線與平面垂直的幾何關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)模型，形成猜想，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，進而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.2.2 新知探究，深度理解

任務(wù)1建構(gòu)直線與平面垂直的定義

教師利用信息技術(shù)呈現(xiàn)我國古代計時儀器日晷（如圖3），并向?qū)W生介紹其基本結(jié)構(gòu)和計時原理．

問題4 請同學(xué)們觀看日晷的圖片，圖中有哪些讓你印象深刻的數(shù)學(xué)畫面和數(shù)學(xué)元素？思考晷針與晷盤之間有何種位置關(guān)系？

追問 思考在陽光下，隨著時間的變化，晷針及其投影所在直線與晷盤所在平面有何位置關(guān)系？晷針?biāo)谥本€是否與晷盤內(nèi)所有直線都垂直？請說明理由．

師生活動教師借助GeoGebra軟件對日晷的計時過程進行數(shù)學(xué)抽象，動態(tài)模擬影子試驗（如圖4）．學(xué)生通過觀察易得在任意時刻晷針及其投影所在直線與晷盤所在平面均保持垂直．然后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過平移得到晷針?biāo)谥本€與晷盤內(nèi)所有直線都垂直．

設(shè)計意圖 結(jié)合生活模型創(chuàng)設(shè)問題情境，驅(qū)動學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，在將實際問題數(shù)學(xué)化的過程中提升數(shù)學(xué)抽象能力．

問題5 試用簡潔的語言歸納出直線與平面垂直的定義．

追問 試辨析定義中的“任意”能否替換為：“所有的”“全部”“每一條”“無數(shù)條”？

師生活動 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括直線垂直于平面的定義：直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則其與該平面垂直．接著，教師引導(dǎo)學(xué)生列舉反例，辨析概念，加深學(xué)生對“任意一條”的理解，如圖5．

設(shè)計意圖 對其中的重點詞匯做近似替換，加以區(qū)分，有助于學(xué)生深入理解，并掌握定義的本質(zhì)．

問題6 為便于研究和表達，還需要建立哪些輔助性的概念？試分別用圖形語言和符號語言表示直線與平面垂直的定義．

追問 運用已學(xué)過的邏輯用語我們還能怎么解釋定義？

師生活動 學(xué)生探究思考后回答：為研究和表述方便還需要建立垂面，垂足等輔助性概念．接著，教師引導(dǎo)學(xué)生借助邏輯用語進一步理解線面垂直的定義，最后，教師出示表1，并解釋相關(guān)概念．

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用是必要的，尤其在立體幾何問題中圖形語言是重要的數(shù)學(xué)語言．讓學(xué)生嘗試圖形語言的表述，加強對數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，同時鞏固直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)．

2.2.3 分析綜合，新知整合

任務(wù)2 探索直線與平面垂直的判定定理

問題7 古人在制作日晷時，如何準(zhǔn)確判斷晷針與晷盤垂直？

追問 定義法是判定直線與平面垂直的一種方法，解決實際問題時易操作嗎？

師生活動 教師通過詢問學(xué)生，古人如何判斷晷針是否與晷盤垂直？讓學(xué)生感受證明“任意一條”的不可操作性．

設(shè)計意圖 合理設(shè)置問題情境，既起到了承上啟下的作用，又讓學(xué)生體會到尋求線面垂直判定新方法的必要性，更堅定了學(xué)生簡化定義中“任意一條”的想法．

問題8 類比線面平行的判定定理，對于直線與平面垂直的判定是否有簡便可行的方法？通過直線與平面內(nèi)有限條直線垂直能否判定直線與平面垂直？

追問 在前面我們已經(jīng)學(xué)過了平面向量的相關(guān)內(nèi)容，試解釋：直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直．

師生活動 首先，教師對學(xué)生的每一種想法進行辨析，得出關(guān)于線面垂直判定定理的猜想．其次，教師引導(dǎo)學(xué)生通過實驗探究來證實猜想，教師讓學(xué)生取出三角形的紙片，并做以下試驗：過三角形的頂點翻折紙片，得到折痕AD（記作：直線l），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（紙片底邊與桌面接觸）．引領(lǐng)學(xué)生在觀察中比較，在比較中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，且BDC，，不在同一直線上時，翻折之后折痕AD所在直線l與桌面所在平面α形成垂直關(guān)系，如圖6所示．否則，不能使AD與桌面垂直．教師借助GeoGebra軟件進行演示，增強學(xué)生的直觀體驗，引導(dǎo)學(xué)生將線面垂直的判定簡化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，即：線不在多，相交則行．最終教師引導(dǎo)學(xué)生回憶平面內(nèi)的任意向量都可以用兩個不共線的非零向量表示，以驗證線面垂直判定定理的合理性．

問題9 試分別用圖形語言和符號語言表示直線與平面垂直的判定定理．

追問 你認(rèn)為定理的條件由幾部分組成？定理推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的哪些思想和方法？

師生活動 經(jīng)過實驗探究，學(xué)生對線面垂直的判定定理有了模糊的認(rèn)知，教師此時給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩ɡ?，并引?dǎo)學(xué)生進行自然語言、圖形語言和符號語言三種語言的轉(zhuǎn)換，得到線線垂直?線面垂直，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)范與嚴(yán)謹(jǐn)，促進學(xué)生對判定定理的理解，為發(fā)展邏輯思維能力奠定基礎(chǔ)，教師通過對定理中的關(guān)鍵詞及推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想方法展開剖析，深化學(xué)生對定理本質(zhì)的理解，彰顯數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．

設(shè)計意圖通過“操作實物—數(shù)學(xué)模型—剖析定理”的過程，使學(xué)生能基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步構(gòu)建新的知識體系，實現(xiàn)難點突破，促進深度理解．線面垂直的判定定理具有抽象性，為使學(xué)生深入理解定理的本質(zhì)，先讓學(xué)生操作實物，再借助GeoGebra

軟件的可視化的特點，將實物抽象成數(shù)學(xué)模型，最后利用三種語言的表達形式刻畫線面垂直的判定定理．

2.2.4 思維迸發(fā)，應(yīng)用遷移

任務(wù)3 運用定義和定理，深化理解

求證 兩條平行直線中的一條直線垂直于平面，則另一條直線也垂直于該平面． 師生活動 教師引導(dǎo)學(xué)生與學(xué)生共同分析論證思路，規(guī)范論證過程，學(xué)生按題意繪制示意圖，將文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言，歸納出證明線面垂直的又一方法．

設(shè)計意圖 在此過程中，學(xué)生掌握了證明線面垂直的又一方法，增強了思維的靈活性．

2.2.5 新知同化，素養(yǎng)展現(xiàn)

問題10 如圖7，在四棱錐P-ABCD中，已知側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形．求證：CD⊥PD．

問題11 如圖8，長方體ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是正方形，點E在AA棱上，證明：BE⊥平面EBC．

師生活動 學(xué)生對條件和結(jié)論進行分析論證、合理選擇方法，自主解答，教師板書演示解題過程．

設(shè)計意圖 考查學(xué)生能否靈活運用線面垂直的判定定理，藉此提高學(xué)生分析和解決問題的能力．

3 教學(xué)反思

指向深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)改變了孤立、淺層、碎片化的學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)了關(guān)聯(lián)整合的學(xué)習(xí)，強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，促進學(xué)習(xí)朝著本質(zhì)把握和問題解決的方向發(fā)展，從而實現(xiàn)遷移和創(chuàng)新．基于此，本教學(xué)設(shè)計在課堂實施時取得了較好的效果．首先，主題單元教學(xué)，宏觀把握全局．在整體中進行有序的知識整合，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識體系；其次，巧用思維導(dǎo)圖，建構(gòu)知識體系．遵循知識主線，幫助學(xué)生理清思維脈絡(luò)，從整體上認(rèn)識空間中直線和平面的位置關(guān)系，促進學(xué)生聯(lián)系整合，遷移應(yīng)用和批判反思能力的形成；再者，以問題驅(qū)動，培養(yǎng)高階思維．立足于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題鏈的設(shè)計引發(fā)學(xué)生深度思考，驅(qū)動學(xué)生參與交流探究，實現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中的深度互動，讓學(xué)生真正參與到直線與平面垂直的判定中，并領(lǐng)悟立體幾何知識的內(nèi)容主線：“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”與研究路徑：“實例—抽象—概括—論證”；最后，借助信息技術(shù)，促進深度理解．信息技術(shù)的恰當(dāng)運用優(yōu)化了教學(xué)的效果，GeoGebra軟件的使用有效突破了直線與平面垂直這一內(nèi)容的抽象性和學(xué)生已有知識的局限性，使得直線與平面垂直的探究過程能夠豐富地展開．總之，教師在課堂教學(xué)中需考慮如何提升學(xué)習(xí)過程的體驗、互動和創(chuàng)造性，以促進深度學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]溫佳贏．促進深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究[D]．吉林：東華理工大學(xué)，2022

[3]嚴(yán)婷．構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以“直線與平面垂直”教學(xué)為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（2）：13-16

[4]李洋．構(gòu)建基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)智慧型課堂的策略[J]．牡丹江基于學(xué)院學(xué)報，2022（10）：112-114

[5]李珍，馬文?。畡?chuàng)設(shè)問題情境，關(guān)注生成過程，提升核心素養(yǎng)——“直線與平面垂直的判定”教學(xué)實踐與思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（4）：06-09 [6]宋建輝．指向深度學(xué)習(xí)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)策略——以2022年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷第17題為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（1）：52-54

（本文系合肥師范學(xué)院2023年研究生創(chuàng)新基金項目（2023yjs029）、合肥基礎(chǔ)教育研究院2022年度研究項目（2022YJY47）、2021年度安徽高校自然科學(xué)研究重大項目（KJ2021ZD0112）的研究成果之一）