文∣徐周亞

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是要讓學(xué)生學(xué)會“三會”?！耙粫笔且獣脭?shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,在形象思維的基礎(chǔ)上發(fā)展兒童的抽象思維。抽象是所有各門學(xué)科都具有的性質(zhì)，沒有抽象就沒有科學(xué)。[1]從學(xué)科研究的角度來說，數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他學(xué)科。數(shù)學(xué)不研究具體的事物，而是研究從事物中抽象出來、不是現(xiàn)實(shí)存在的事物。不只是研究對象是抽象的，就連數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)也是抽象的。處于前運(yùn)算階段末期和具體運(yùn)算階段前期的小學(xué)生，認(rèn)知從擺脫具體動作過渡到能憑借具體事物或形象進(jìn)行分類和理解邏輯關(guān)系，但運(yùn)算仍脫離不了具體事物或形象的支持。抽象、推理和建模作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六要素中最重要的三個，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性、一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用性。因此，小學(xué)生抽象能力的提升得到了大多數(shù)學(xué)者的關(guān)注。本文緊扣數(shù)學(xué)課標(biāo)中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，將小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科抽象能力的培養(yǎng)作為研究重點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象過程，感悟抽象方法，形成抽象思維，繼而提升抽象能力。

一、確定核心概念，經(jīng)歷逐級抽象過程

(一)核心概念的呈現(xiàn)方式

數(shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體情境中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。[2]在確定核心概念時，學(xué)生通常會經(jīng)歷從具象的現(xiàn)實(shí)事物抽象出共同的性質(zhì)予以表征，再將抽象出的概念應(yīng)用到新具象事物的過程，即呈現(xiàn)出“具象→抽象→具象”的過程；亦即從具體情境，歸納概括出模型，再應(yīng)用模型解決新的實(shí)際問題逐級抽象過程，“情境→模型→應(yīng)用”。[3]從具象到抽象，再由抽象回歸到具象，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的常用路徑。

(二)形式多樣的操作活動

教師在明晰了核心概念的逐級抽象教學(xué)方式后，再設(shè)計(jì)形式多樣的操作活動，將每一級抽象活動落到實(shí)處。逐步抽象的動手操作活動既能使抽象概念形象化，復(fù)雜知識簡單化，還能加深對核心概念的內(nèi)涵理解。

如在教學(xué)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，對于學(xué)生來說，要認(rèn)識抽象的計(jì)數(shù)單位、位值的意義是有一定難度的。教師可以在“數(shù)一數(shù)”這一課上，依次設(shè)計(jì)數(shù)小棒、數(shù)方塊和撥計(jì)數(shù)器活動。撥計(jì)數(shù)器原來在教材中是屬于下一節(jié)課的，目的是讓學(xué)生學(xué)會“寫數(shù)認(rèn)數(shù)、數(shù)的構(gòu)成、數(shù)的意義”。而將計(jì)數(shù)器安排在“數(shù)一數(shù)”這節(jié)課中，是想讓學(xué)生經(jīng)歷完整的計(jì)數(shù)單位在不同模型中的表現(xiàn)形式。讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)花生→數(shù)小棒→數(shù)小方塊→撥計(jì)數(shù)器→讀數(shù)寫數(shù)”活動，從具象的事物計(jì)數(shù)開始，抽象到用小棒代替事物，再抽象到按群計(jì)數(shù)的小方塊，最后經(jīng)歷抽象程度最高的撥計(jì)數(shù)器活動，學(xué)生在經(jīng)歷形式多樣、逐漸抽象的操作活動中體會計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)關(guān)系和位置概念。然后，教師再呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的語言——用數(shù)字表示數(shù)量，讓學(xué)生掌握符號，理解計(jì)數(shù)內(nèi)涵。

在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級“圓的認(rèn)識”一課中，抽象的對象是圖形和圖形關(guān)系。為了讓學(xué)生能夠抽取數(shù)學(xué)元素，實(shí)現(xiàn)抽象能力的進(jìn)階，教師可設(shè)計(jì)“從生活中抽象出圖形，建立圓的圖形表象”“從圖形中抽象出關(guān)系，加深圓的特征認(rèn)識”“由方形抽象出圓形，探究圓的本質(zhì)內(nèi)涵”“由抽象回歸具象，實(shí)現(xiàn)圓的生活運(yùn)用”等四個環(huán)節(jié)的逐步抽象活動，讓學(xué)生從具象到抽象，再回到具象(如圖1所示)。

圖1 “圓的認(rèn)識”教學(xué)流程圖

在“圓的認(rèn)識”教學(xué)中，環(huán)節(jié)一通過從生活實(shí)物中抽象出圓的過程，建立圓的圖形表象。環(huán)節(jié)二承接環(huán)節(jié)一的不同畫圓方法，介紹圓的各部分名稱，介紹圓心、半徑和直徑，探究影響圓大小和位置的因素。讓學(xué)生經(jīng)歷從圖形中抽象出圖形關(guān)系的過程，加深學(xué)生對圓的特征認(rèn)識和關(guān)系的理解。環(huán)節(jié)三是學(xué)生經(jīng)歷了三次抽象活動后，由抽象回歸到具象，將所學(xué)數(shù)學(xué)知識用于解決生活中的實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)圓在生活中的運(yùn)用。

二、緊扣知識聯(lián)系，掌握關(guān)聯(lián)抽象方法

(一)知識本質(zhì)的縱橫聯(lián)系

教材的知識編排呈現(xiàn)出螺旋上升式發(fā)展。教師在備課時，不僅要關(guān)注教學(xué)中的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要思考教材為何這樣編寫，知識點(diǎn)背后呈現(xiàn)出怎樣的邏輯結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生的已有認(rèn)知與將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生哪些勾連。數(shù)學(xué)知識本就抽象，要讓學(xué)生在抽象且零散的知識點(diǎn)中獲取知識的本質(zhì)，需要建立知識之間的橫向和縱向聯(lián)系。學(xué)生只有對知識內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系梳理清楚了，才不會將相似的知識混淆。

(二)關(guān)聯(lián)抽象的展開方式

當(dāng)出現(xiàn)相似教學(xué)內(nèi)容時，教材會用相同的數(shù)學(xué)工具或模型幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)。倘若把相似教學(xué)內(nèi)容的模型分開，不利于學(xué)生理解模型的本質(zhì)，只有找到模型之間的聯(lián)系，找到運(yùn)用模型的有效抓手，確定關(guān)聯(lián)抽象的展開方式，才能有助于學(xué)生更好地掌握關(guān)聯(lián)抽象的方法。

例如，小學(xué)階段學(xué)生會學(xué)習(xí)不同的四邊形面積計(jì)算公式，教師可由平行四邊形出發(fā)，緊扣圖形面積之間的聯(lián)系，關(guān)聯(lián)抽象面積公式的計(jì)算方法。

三、歸納通性通法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維

當(dāng)學(xué)生在具體的課例中經(jīng)歷了抽象過程，掌握了抽象的方法后，結(jié)合自己現(xiàn)有的認(rèn)識思維基礎(chǔ)，倘若能歸納總結(jié)出知識的通性和通法，完善自身的數(shù)學(xué)抽象思維，抽象能力可得到提升。教師可以從簡約清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)、符號使用的數(shù)學(xué)思考和概括普適的數(shù)學(xué)模型這三方面來培養(yǎng)和檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。在“字母表示數(shù)”中，從文字表達(dá)到多種舉例，最后抽象出運(yùn)用符號表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)思考。在“相遇問題”中，從等量關(guān)系入手，歸納總結(jié)出ax+bx=c的相遇問題模型，并將其應(yīng)用至兩人同時做一件事情，如工程問題、注水問題、購物問題等都可以運(yùn)用ax+bx=c來解決。能應(yīng)用普適的數(shù)學(xué)模型是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的體現(xiàn)。

抽象能力的培養(yǎng)還可以通過研究與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想來實(shí)現(xiàn)。如“正比例”中的變與不變思想，“分扣子”中的分類思想，找“公倍數(shù)”中的集合思想，“植樹問題”中的數(shù)形結(jié)合思想，“運(yùn)算律”中的符號化思想等。抽象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它是基于學(xué)生的形象思維和抽象思維慢慢轉(zhuǎn)換的一個循序漸進(jìn)的過程，在此過程中，教師一方面要深刻把握抽象的本質(zhì)內(nèi)涵，另一方面要在課堂實(shí)踐中不斷探索提升學(xué)生抽象能力的規(guī)律和策略，以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量學(xué)科教學(xué)。