安玉蓮， 羅雪梅

(上海外國語大學 國際金融貿易學院，上海201620)

1 引 言

映射是數(shù)學研究的主要對象之一.線性代數(shù)主要研究向量空間之間的線性映射(或線性變換).從映射或變換的視角考察線性代數(shù)，可以更清晰地認識重要知識點的本質，更深刻地理解矩陣與線性映射之間的關系，為更好地應用線性代數(shù)知識提供思想基礎與方法[1-4].

矩陣的秩是線性代數(shù)教學的難點之一.目前大部分線性代數(shù)教材和相關文獻中，關于矩陣秩的性質，都是從矩陣本身出發(fā)，采用分塊的方法，并結合矩陣運算性質和線性方程組解的理論給與證明[5-8].文章利用線性映射的知識，對線性代數(shù)教材中關于矩陣秩的幾個重要命題給出了另一種比較簡潔的證明，為該知識點的教學提供一種新的思路和處理方式.

2 線性變換與矩陣

為了方便敘述，文章在實數(shù)域內進行研究，但是處理問題的方法對復數(shù)域也適用.為方便讀者，先給出關于有限維向量空間之間的線性變換與矩陣關系的幾個基本概念和相關性質.

定義1[1]設n，m分別是n維和m維向量空間，T是從n到m的映射，如果T滿足:

(i)任意的α1，α2∈n，有T(α1+α2)=Tα1+Tα2;

(ii)任意的α∈n，λ∈，有T(λα)=λTα，

則稱T為從n到m的線性變換.特別地，如果n=m，稱T為向量空間n上的線性變換.

性質1[1]線性變換T∶n→m具有下列基本性質:

(i)T(0)=0;

(ii)若向量組α1，α2，…，αs線性相關，則向量組Tα1，Tα2，…，Tαs也線性相關.

一個線性變換T∶n→m，會產(chǎn)生兩個重要的子空間: 像空間與核空間.線性變換T的像集T(n)是m的一個子空間，稱為線性變換T的像空間.滿足T(α)=0的全體向量α的集合構成n的一個子空間，稱為T的核空間，記為N(T).

矩陣與線性變換關系密切.一般地，給定一個矩陣可以定義一個線性變換.任意給定一個矩陣

其中α1，α2，…，αn是矩陣A的列向量組.定義線性變換T∶n→m，Tx=Ax，則對任意的x=(x1，x2，…，xn)′∈n，有

Tx=Ax=x1α1+x2α2+…+xnαn，

其中(x1，x2，…，xn)′表示行向量的轉置.

性質2[1]由矩陣A確定的線性變換T具有下列基本性質:

(i)T的像空間是矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn張成的空間，即

T(n)=span(α1，α2，…，αn);

(ii)T的核空間是齊次線性方程組Ax=0的解空間;

(iii)T的核空間維數(shù)與像空間維數(shù)之和等于n，即dim(N(T))+dim(T(n))=n.

記T(α1，α2，…，αn)=(Tα1，Tα2，…，Tαn)，則T(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βm)Amn，其中

任意的x=x1α1+x2α2+…+xnαn∈n，有

Tx=x1Tα1+x2Tα2+…+xnTαn

=(Tα1，Tα2，…，Tαn)(x1，x2，…，xn)′

=(β1，β2，…，βm)Amn(x1，x2，…，xn)′.

即Tx在基β1，β2，…，βm下的坐標為Amn(x1，x2，…，xn)′.這表明，任意的x∈n，其像Tx可以由矩陣Amn唯一確定，即矩陣Amn表達了該線性變換.

類似地，方陣的逆矩陣是向量空間之間逆變換的對應法則.向量的復雜變化可以通過矩陣乘法、矩陣求逆等運算實現(xiàn)，這正是計算機繪圖的基礎之一.因此，可以利用線性變換來研究矩陣的相關問題.下面，運用矩陣與線性變換的關系，證明關于矩陣秩的幾個經(jīng)典結論.

3 幾個矩陣秩的性質的證明

從線性變換的視角研究矩陣，可以提供關于矩陣秩的幾個重要性質的另一種證明方法.為了簡明起見，下述定理的證明仍然沿用前文記號.

定理 1矩陣Csn=AsmBmn，則rank(C)≤min{rank(A)，rank(B)}.

證設矩陣Asm，Bmn分別對應著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m，則矩陣Csn對應著復合變換T1T2∶n→s.

(i)先證rank(C)≤rank(A).

矩陣C的秩等于復合變換T1T2像空間的維數(shù)，矩陣A的秩等于線性變換T1像空間的維數(shù).顯然，T1T2的像空間是T1像空間的子集，所以rank(C)≤rank(A).

(ii)再證rank(C)≤rank(B).

設矩陣B的列向量組為ξ1，ξ2，…，ξn，則

C=A(ξ1，ξ2，…，ξn)=(Aξ1，Aξ2，…，Aξn)=(T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn).

根據(jù)性質1(ii)知，向量組T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn的秩不大于向量組ξ1，ξ2，…，ξn的秩，即rank(C)≤rank(B).

綜合(i)，(ii)的證明，可得定理結論.

定理 2若矩陣AsmBmn=O，則rank(A)+rank(B)≤m.

證設矩陣Asm，Bmn分別對應著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下證rank(A)≤m-r.

由AsmBmn=O知，任意的x∈n，有T1T2x=T1(T2x)=0. 因為rank(B)=r，所以線性變換T2的像空間維數(shù)為r.不妨設η1，η2，…，ηr是T2的像空間的一組基.進一步，有

T1(η1，η2，…，ηr)=(Aη1，Aη2，…，Aηr)=(0，0，…，0).

上式表明，線性變換T1把m中的r個線性無關的向量都映射為零向量，即dim(N(T1))≥r.根據(jù)性質2(iii)得，T1的像空間維數(shù)至多為m-r，即rank(A)≤m-r.

定理 3若矩陣AsmBmn=Csn，且rank(A)=m，則rank(B)=rank(C).

證設矩陣Asm，Bmn分別對應著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下證rank(C)=r.

由rank(A)=m知，線性變換T1相空間維數(shù)等于m.根據(jù)性質2(iii)得，dim(N(T1))=0，即T1的核空間中只有零向量.利用反證法容易得出，線性變換T1必將m中線性無關的向量組映射成s中線性無關的向量組.

又因為rank(B)=r，所以線性變換T2的像空間維數(shù)為r.不妨設η1，η2，…，ηr是T2像空間的一組基，則向量組T1η1，T1η2，…，T1ηr依然線性無關.故T1η1，T1η2，…，T1ηr是復合變換T1T2像空間的一組基，故rank(C)=r.

定理4若矩陣Asm，Bsm為同型矩陣，則

(i)rank(A+B)≤rank(A)+rank(B);

(ii)max{rank(A)，rank(B)}≤rank(A，B)≤rank(A)+rank(B).

證(i)設矩陣Asm，Bsm分別對應著線性變換T1∶m→s，T2∶m→s.則矩陣A+B對應的線性變換為T1+T2∶m→s.

任意的x∈m，有(T1+T2)x=T1x+T2x.因此，T1+T2的像空間是T1的像空間與T2的像空間并集的子集，故rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).

(ii)同理可證，略.

3 結 論

從線性映射的視角研究矩陣的秩，給出了關于矩陣秩的幾個重要性質的另一種證明.線性代數(shù)課程概念和性質繁多，以線性映射為主線進行梳理，不僅知識脈絡清晰，而且能夠反映概念、性質、定理等的本質.例如，矩陣的乘法運算不滿足乘法交換律，根本原因是線性映射的復合映射一般不具有可交換性質.方陣的特征值與特征向量本質上是對應的線性映射的特征值與特征向量，屬于該線性映射的不變量.方陣的行列式反應了線性映射對空間向量的變換過程中坐標系整體的伸縮程度等.在線性代數(shù)教學中自始至終貫徹線性映射的思想，不失是一種事半功倍的選擇.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.