玄祖興， 張立新， 袁安鋒

(北京聯(lián)合大學(xué) 數(shù)理部，北京100101)

1 引 言

認(rèn)真學(xué)習(xí)習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上的講話,以及2018年全國高等學(xué)校本科教育工作會議上提出的“高校要明確所有課程的育人要素和責(zé)任，推動每一位專業(yè)課老師制定開展‘課程思政’教學(xué)設(shè)計，做到課程門門有思政，教師人人講育人”的要求，各高校教師結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程的特點，開展課程思政教學(xué)研究與實踐[1].

在備課時，深入挖掘概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識中的數(shù)學(xué)文化、科學(xué)思維方法、辯證唯物主義思想，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，將社會主義核心價值觀、實現(xiàn)民族復(fù)興的責(zé)任和擔(dān)當(dāng)、做人做事的基本道理有機(jī)融入到概念、公式及其推導(dǎo)和應(yīng)用中.

有些學(xué)者對貝葉斯公式進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計和研究[2-3]，而涉及到課程思政的較少.在對貝葉斯公式這節(jié)進(jìn)行課程思政教學(xué)設(shè)計時，融入的思政元素有：對數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的分析和決策，不能想當(dāng)然；貝葉斯的生平事跡；在疾病謠言面前，做到不信謠，不傳謠，要相信科學(xué)；懂得做人要守誠信的道理.

2 課程思政教學(xué)設(shè)計思路

教學(xué)中合理使用問題驅(qū)動式教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)、互動教學(xué)等方法，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動地參與到課堂教學(xué)當(dāng)中.以興趣為導(dǎo)向探尋真理，理清知識的來龍去脈.以解決問題為主線，將知識關(guān)聯(lián)起來，創(chuàng)新理論推導(dǎo)過程，公式推理更為形象化，學(xué)生能夠抓住理論的關(guān)鍵點(精髓)，易于教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”；教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)學(xué)科的發(fā)展前沿，開闊學(xué)生的視野，做到講解深入淺出與激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣并重，提高課堂教學(xué)效果；適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史，使學(xué)生了解學(xué)科的發(fā)展、公式與定理發(fā)現(xiàn)的過程和數(shù)學(xué)家的故事等，增近學(xué)生與所學(xué)內(nèi)容的距離，教育學(xué)生相信科學(xué)，鼓勵其探索科學(xué)真理.下面從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點和難點、講解思路等方面融入課程思政元素進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.

2.1 教學(xué)目標(biāo)

2.1.1 知識目標(biāo) 掌握貝葉斯公式的具體形式；會正確使用貝葉斯公式解決實際問題；理解貝葉斯公式的本質(zhì)——條件概率的反問題；掌握先驗概率與后驗概率的關(guān)系.

2.1.2 能力目標(biāo) 通過對“流水線問題”的分析，引導(dǎo)學(xué)生積極主動探索貝葉斯公式的具體形式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；通過對“疾病診斷問題”的講解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力和抽象思維能力,達(dá)到學(xué)生掌握運用數(shù)學(xué)符號語言的目的；通過“三門問題”的講解說明在做基于量化的判斷時，不僅要用現(xiàn)代邏輯方法拓展歸納邏輯的研究，還要借鑒認(rèn)知科學(xué)的研究成果，以事實和數(shù)據(jù)為依據(jù)，向?qū)W生宣傳科學(xué)知識；學(xué)生學(xué)會從貝葉斯公式出發(fā)思考多層貝葉斯公式，提高學(xué)生運用所學(xué)知識去研究更為復(fù)雜問題的能力.

2.1.3 育人目標(biāo) 通過貝葉斯公式在生活中的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識；通過流水線問題讓學(xué)生養(yǎng)成對數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)分析和決策的習(xí)慣；通過“疾病診斷問題”讓學(xué)生相信科學(xué)，不信謠不傳謠；通過揭示貝葉斯公式的本質(zhì)及分析先驗概率和后驗概率的關(guān)系讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中的辯證思想；通過“狼來了”的故事讓學(xué)生建立誠信模型，做人要講誠信.

2.2 教學(xué)重點和難點

2.2.1 教學(xué)重點 先驗概率和后驗概率的含義；貝葉斯公式的本質(zhì)；正反概率問題的求解思路，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

2.2.2 教學(xué)難點 引導(dǎo)學(xué)生從反問題的角度出發(fā)得到貝葉斯公式；學(xué)生自然理解先驗概率和后驗概率的本質(zhì)，進(jìn)而理解貝葉斯公式的本質(zhì)；教會學(xué)生應(yīng)用貝葉斯公式解決具體問題.

2.3 講解思路

采用“問題—理論—問題”的思路，具體如下：

問題的提出——通過“流水線問題”提出問題，導(dǎo)入新課

(思政元素：對數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的分析和決策，不能想當(dāng)然)

↓

確定次品來自每條流水線的概率——假設(shè)出變量，運用數(shù)學(xué)建模的方法解答問題

↓

貝葉斯公式——通過回顧條件概率、乘法公式及全概率公式推導(dǎo)出貝葉斯公式

(思政元素：由先驗概率和后驗概率的關(guān)系體會數(shù)學(xué)中的辯證思想、數(shù)學(xué)史)

↓

公式的應(yīng)用——通過講解“疾病診斷問題”“三門問題”加深對公式的理解

(思政元素：在疾病謠言面前，做到不信謠，不傳謠，讓學(xué)生相信科學(xué))

↓

貝葉斯公式的拓展——抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行知識拓寬，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主、創(chuàng)新學(xué)習(xí)

(思政元素：建立誠信模型，懂得做人要講誠信)

3 教學(xué)過程

3.1 提出問題，引發(fā)興趣

貝葉斯公式是概率論課程中的重要公式之一，同時也是貝葉斯統(tǒng)計的核心和理論基礎(chǔ)，在金融、醫(yī)療、工程、互聯(lián)網(wǎng)等諸多領(lǐng)域中都有著許多重要的實際應(yīng)用價值.先看一個具體問題.

某汽車廠有三條流水線生產(chǎn)同一款汽車，各項數(shù)據(jù)見表1.

表1 流水線生產(chǎn)情況

該汽車廠設(shè)有專門的質(zhì)量檢測部門，定期對產(chǎn)品進(jìn)行檢測.有一天他們抽到了一件次品，問：它來自哪一條流水線的可能性最大呢?

通過與學(xué)生互動，多數(shù)學(xué)生會憑借直觀感覺回答來自第三條流水線的可能性最大.那么事實果真如此嗎？如果真是這樣，那么其余5個數(shù)據(jù)又有何用呢？為此接下來對該問題進(jìn)行分析，畫出思維導(dǎo)圖并給出解釋.

圖1 流水線問題思維導(dǎo)圖1

三條流水線生產(chǎn)同一款汽車，而且都可能產(chǎn)生次品.把產(chǎn)品來自三條流水線認(rèn)為是產(chǎn)生次品的各個原因，把產(chǎn)品為次品當(dāng)成結(jié)果，并且把原因和結(jié)果用事件表達(dá)出來，則求產(chǎn)品為次品的概率可以認(rèn)為是從原因到結(jié)果(即“執(zhí)因?qū)す?的過程，可以用全概率公式.

現(xiàn)在把問題的思路轉(zhuǎn)換一下：已知產(chǎn)品為次品這一結(jié)果發(fā)生了，求它來自哪一條流水線的可能性最大.也就是知道結(jié)果來探尋原因，形象的說就是“執(zhí)果尋因”的過程.即在事件A(結(jié)果)發(fā)生的條件下，求B1,B2,B3(原因)發(fā)生的概率(圖2)，這樣，就把問題歸結(jié)為求條件概率的問題了.

圖2 流水線問題思維導(dǎo)圖2

再來看表1中的兩組數(shù)據(jù)，左側(cè)是流水線產(chǎn)量的份額，指的是B1,B2,B3發(fā)生的概率，右側(cè)為三條流水線各自產(chǎn)生次品的概率，這是條件概率.用概率語言將這兩組數(shù)據(jù)表達(dá)出來并進(jìn)行求解.

設(shè)A為“取出的一件產(chǎn)品是次品”，Bi為“取出的產(chǎn)品來自第i條流水線”，i=1,2,3.由題意知，P(B1)=0.46,P(B2)=0.33,P(B3)=0.21,P(A|B1)=0.015,P(A|B2)=0.025,P(A|B3)=0.035.從而

由S=B1∪B2∪B3,BkBl=?(k≠l；k,l=1,2,3)，表明B1,B2,B3為樣本空間S的一個劃分，根據(jù)全概率公式得

故

同理可得

通過上面的計算可知，該次品來自第二條流水線的可能性最大.這與剛才直觀感覺是有所差異的，啟示我們在面對問題時要對數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的分析和決策，不能想當(dāng)然.

3.2 抽象概括，引出公式

把上面解決問題的思想方法一般化、抽象化，就得到貝葉斯公式.

設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分，且P(A)>0, P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，則有

綜合使用條件概率公式、乘法公式、全概率公式就可以證明貝葉斯公式.

借助下述框圖幫助學(xué)生理解貝葉斯公式.

圖3 貝葉斯公式框圖

公式中的兩個重要的量，一是先驗概率(P(Bi))，在沒有進(jìn)一步信息(即不知道事件A是否發(fā)生)的條件下，研究者對劃分中各個事件Bi(i=1,2,…,n)概率的理解和判斷，該類數(shù)值不是根據(jù)有關(guān)自然狀態(tài)的全部資料測定的，而只是利用現(xiàn)有的材料(主要是歷史資料)計算得到；二是后驗概率(P(Bi|A))：基于新的信息(即試驗結(jié)果A出現(xiàn))，對事件Bi進(jìn)行重新評估和調(diào)整后算出的發(fā)生概率，更接近實際情況的概率估計,這種修正可以一次一次的進(jìn)行，其中量化的工具就是貝葉斯公式.后驗概率的本質(zhì)是條件概率的反問題，貝葉斯公式又稱為逆概率公式，它是從先驗概率P(Bi)到后驗概率P(Bi|A)的轉(zhuǎn)化公式，也是從條件概率P(A|Bi)到P(Bi|A)的轉(zhuǎn)化公式.

講完貝葉斯公式之后，介紹一下貝葉斯的生平事跡，讓學(xué)生了解貝葉斯公式的發(fā)展歷史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.貝葉斯將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷、統(tǒng)計的估算等做出了貢獻(xiàn).1763年由Richard Price(普萊斯)整理發(fā)表了貝葉斯的成果《An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances(機(jī)遇理論中一個問題的解)》，提出了一種歸納推理的理論，其中的“貝葉斯定理(或貝葉斯公式)”，可以看作最早的一種統(tǒng)計推斷程序，后來的許多研究者將其發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法，稱為貝葉斯方法[4].

3.3 應(yīng)用理論，聯(lián)系實際

(i)疾病診斷問題：中國肝癌的發(fā)病率為0.00026，患者對一種試驗反應(yīng)為陽性(一般從醫(yī)學(xué)角度說，陽性，代表有病或者有病毒；陰性，代表正常)的概率為0.98，正常人對這種試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.002，現(xiàn)隨機(jī)抽查了一個人進(jìn)行試驗，結(jié)果是陽性.問此人患有肝癌的概率是多少？

先分析問題畫思維導(dǎo)圖，見圖4.

圖4 疾病診斷問題思維導(dǎo)圖

本問題是已知結(jié)果已發(fā)生，來探究原因，符合“執(zhí)果尋因”的過程，可以利用貝葉斯公式加以解決.

解記A：試驗結(jié)果是陽性，C：抽查的人患有肝癌，本題即求P(C|A).

由條件知

根據(jù)貝葉斯公式，得

即此人患有肝癌的概率是0.11303.

以EPSON Stylus Pro7910c為噴墨打印設(shè)備，對4種噴墨打印紙打印GATF標(biāo)準(zhǔn)色塊，用QEA圖像分析儀測試青色油墨網(wǎng)點的平均直徑。

這組數(shù)據(jù)告訴我們什么樣的信息呢？接下來，進(jìn)行層層分析.

深入分析1：

本題中的先驗概率P(C)=0.00026是試驗前依據(jù)臨床資料統(tǒng)計而得出的，而后驗概率P(C|A)=0.11303是試驗后出現(xiàn)了陽性后對疾病患病率的重新認(rèn)識.

深入分析2:

如果在復(fù)查時仍然呈陽性，其余條件保持不變，再次利用貝葉斯公式

此人患有肝癌的概率增加到98.2%，醫(yī)學(xué)上認(rèn)為此人患有肝癌，需要進(jìn)一步治療.

這就啟示我們往往在易感人群，也就是發(fā)病率較高的人群當(dāng)中進(jìn)行檢測，而不是在所有人群中進(jìn)行普查.

深入分析3:

把題目修改一下，如果試驗結(jié)果是陰性，其余條件不變，由貝葉斯公式得

醫(yī)學(xué)上，可以認(rèn)為此人沒有患肝癌.這也是為什么在體檢的時候，對陰性的檢查項目可以忽略不計的原因所在.

最后，如果把發(fā)病率由0.00026降低到0.000026，其余條件保持不變，進(jìn)行如下對比分析.

深入分析4:

如果發(fā)病率繼續(xù)降低，可以計算得到此人患有肝癌的概率也相應(yīng)的逐漸降低.

通過對該問題的層層分析啟發(fā)，引起學(xué)生的求知欲，同時告訴學(xué)生，越是罕見的疾病越不可怕，也告訴我們在疾病謠言面前，做到不信謠，不傳謠，讓學(xué)生相信科學(xué).

圖5 三門問題

(ii)三門問題 三門問題(Monty Hall problem)也稱為蒙提霍爾問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視游戲節(jié)目：“Let’s Make a Deal”.問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾(Monty Hall).

參賽者面對三扇關(guān)閉著的門，其中只有一扇是正確的門，打開后能獲得一輛汽車.另兩扇門是錯誤選項，門內(nèi)只有山羊. 現(xiàn)參賽者選定了1號門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人打開3號門，露出其中一只山羊后，主持人問參賽者要不要換成2號門.換成另外一扇門能增加參賽者贏得汽車的概率嗎？

可以用貝葉斯公式來求解.

解記A: 主持人打開3號門,記Bi: 汽車在第i號門后，i=1,2,3.根據(jù)題意，

根據(jù)貝葉斯公式，得

三門問題是一個理性選擇和機(jī)遇博弈問題，是關(guān)于不完全信息博弈中如何正確理解概率的含義和概率變化的問題.這是一個人的直覺和概率論不太相符的例子，說明在做基于量化的判斷時，不僅要用現(xiàn)代邏輯的方法來拓展歸納邏輯的研究，而且要借鑒認(rèn)知科學(xué)的研究成果，以事實和數(shù)據(jù)為依據(jù).對已有的知識和信念應(yīng)該保持謹(jǐn)慎而謙遜的態(tài)度，它不是百分之百確定的.在新證據(jù)面前，我們不必完全丟棄已有的知識，但要根據(jù)新的信息來調(diào)整自己的思考.

生活中隨處可見貝葉斯公式的蹤跡，它主要有兩方面的作用.首先它可以幫助尋找導(dǎo)致結(jié)果A發(fā)生的最可能的原因，是通過計算條件概率P(Bi|A)來實現(xiàn)的.比如，影響大學(xué)排名的因素有師資力量、科研水平、人才培養(yǎng)、就業(yè)率、財政資源等.再比如，影響股票價格的因素有國家政策、上市公司業(yè)績、消息、經(jīng)濟(jì)水平、物價水平等.貝葉斯公式的第二個應(yīng)用是它提供了從先驗概率到后驗概率修正的方法，這是貝葉斯統(tǒng)計的核心點.

3.4 知識拓展，課后思考

3.4.1 信號編碼解碼 研究信號的編碼、傳輸與解碼過程，已知發(fā)射端等可能的發(fā)射1和0，傳輸中出錯的概率分別為0.1和0.15.討論(i)編碼和解碼都不出錯；(ii)編碼不出錯，1和0解碼出錯的概率分別為0.07和0.1；(iii)編碼出錯，1和0出錯的概率分別為0.05和0.04不同情況下，問接收到1時，如何判斷發(fā)射的到底是0還是1呢？[5]

編碼是否出錯和傳輸是否出錯都可看成是樣本空間的劃分.通過信息編碼解碼問題，啟發(fā)學(xué)生思考，通過類比的方法引出多層貝葉斯公式，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的能力.

將多層貝葉斯公式以可視化的圖形表達(dá)出來，就會得到貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(因網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的概率都可以用貝葉斯公式來計算而得名，也被稱為信念網(wǎng)絡(luò))，由 Judea Pearl教授(美國)于1986年提出，多用于專家系統(tǒng)，成為不確定知識和推理問題的流行方法，已成功地用于醫(yī)療診斷、統(tǒng)計決策、圖像處理、博弈論、學(xué)習(xí)預(yù)測、轉(zhuǎn)接系統(tǒng)等領(lǐng)域.

貝葉斯理論的應(yīng)用領(lǐng)域很廣泛.數(shù)學(xué)領(lǐng)域：貝葉斯公式應(yīng)用于概率空間；貝葉斯分類算法應(yīng)用于統(tǒng)計分析、測繪學(xué)；貝葉斯估計應(yīng)用于參數(shù)估計；貝葉斯區(qū)間估計應(yīng)用于數(shù)學(xué)中的區(qū)間估計；貝葉斯風(fēng)險、貝葉斯統(tǒng)計、貝葉斯序貫決策函數(shù)、經(jīng)驗貝葉斯方法應(yīng)用于統(tǒng)計決策論.工程領(lǐng)域：貝葉斯定理應(yīng)用于人工智能、心理學(xué)、遺傳學(xué)；貝葉斯分類器應(yīng)用于模式識別、人工智能，貝葉斯分析應(yīng)用于計算機(jī)科學(xué)；貝葉斯決策、貝葉斯邏輯應(yīng)用于人工智能；貝葉斯推理應(yīng)用于數(shù)量地理學(xué)、人工智能；貝葉斯學(xué)習(xí)應(yīng)用于模式識別.其他領(lǐng)域：貝葉斯主義應(yīng)用于自然辯證法；有信息的貝葉斯決策方法應(yīng)用于生態(tài)系統(tǒng)生態(tài)學(xué).

3.4.2 課后思考 請同學(xué)們以“狼來了”的故事為背景，建立數(shù)學(xué)模型來討論小孩撒謊后的可信度變化情況，進(jìn)而建立誠信模型.

孔子說：“人而無信，不可知其也.”誠信是社會主義核心價值觀的重要組成部分，通過這個故事讓學(xué)生懂得做人要講誠信的道理.

4 教學(xué)效果

新的教學(xué)設(shè)計已經(jīng)經(jīng)過了四個學(xué)期的教學(xué)實踐.課題組在每學(xué)期結(jié)束時都開展課程問卷調(diào)查，問卷表明了學(xué)生分析問題的能力得到提高.對于貝葉斯公式這個知識點，學(xué)生能夠靈活運用貝葉斯公式解決難度適中的實際問題，尤其是疾病診斷這種實際問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)說話，相信科學(xué).

通過近四個學(xué)期的期末考試中貝葉斯公式題目學(xué)生的得分情況對比發(fā)現(xiàn)，新的教學(xué)設(shè)計更容易讓學(xué)生掌握知識點.下面是貝葉斯公式題目(10分)學(xué)生的平均得分情況(圖6)：

圖6 平均得分柱狀圖

通過對本課程其他知識點相同的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和綜合素質(zhì)得到了有效提升，成效顯著.學(xué)生學(xué)期平均到課率高達(dá)97.5%，抬頭率、參與率明顯提升，課堂氣氛更加活躍，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性明顯提高.學(xué)生在數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)建模競賽等省部級及以上比賽中年均獲得獎項40余項.學(xué)生參與項目課題意愿強(qiáng)烈，創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)中的數(shù)學(xué)方法運用嫻熟，創(chuàng)新意識與實踐能力等綜合素質(zhì)明顯提升.從近兩年來畢業(yè)生跟蹤調(diào)查數(shù)據(jù)來看，畢業(yè)生反饋高校數(shù)學(xué)課程在促進(jìn)工作能力提升、創(chuàng)思維能力養(yǎng)成的貢獻(xiàn)度為“非常高”.

5 結(jié) 論

貝葉斯公式的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，搭建起理論和實踐應(yīng)用的橋梁.通過精心設(shè)計實例——流水線問題，更容易與學(xué)生互動，借助直觀的理解引導(dǎo)學(xué)生將問題當(dāng)中的各個變量假設(shè)出來，運用相關(guān)理論刻畫出定量關(guān)系，從而解決問題.這樣處理能做到理論聯(lián)系實際，在傳授知識的同時，學(xué)生明白了“學(xué)以致用”的道理，既能很好地理解枯燥難懂的定理公式，又能感受到概率的美無處不在.逐步搭建起理論和實踐應(yīng)用的橋梁，激發(fā)其投身專業(yè)學(xué)習(xí)的興趣.然后將解決上述問題的思路、方法一般化，由特殊到一般，得到貝葉斯公式，并理解公式的本質(zhì).最后結(jié)合貝葉斯公式在現(xiàn)實生活和科學(xué)研究中的實際應(yīng)用，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的能力，激發(fā)學(xué)生探究新知識、新領(lǐng)域的興趣.

在教學(xué)中教師要牢固樹立育人意識，把思想價值引領(lǐng)貫穿于教學(xué)全過程和各環(huán)節(jié).深入挖掘和充實思想政治教育資源，精心設(shè)計教學(xué)方案，自覺將“課程思政”融入到課堂教學(xué)中，達(dá)到春風(fēng)化雨、潤物無聲的效果.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.