文韻涵， 龐學(xué)誠

(華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200241)

1 引 言

對(duì)一道求積分極限的題目(來源于“中國數(shù)學(xué)分析交流平臺(tái)”)進(jìn)行分析并推廣，得到了對(duì)斯特林公式的一種新證明.

在證明下面引理的基礎(chǔ)上，對(duì)一道第九屆全國大學(xué)生競賽題給出不同的證明方法.

證因?yàn)閒在[0，1]上嚴(yán)格單調(diào)增，所以x=1 處取得最大值.故f′(1)≥0，下分兩種情況討論，將f在x=1 處泰勒展開

f(x)=f(1)+f′(1)(x-1)+o(x-1)=1+f′(1)(x-1) (x→1-)，

(i)當(dāng)f′(1)>0時(shí)，取任意 0<δ<1，則

令

因?yàn)樵赱0，1-δ]上有

0

故

取任意 0<α≤f′(1)≤β，則

經(jīng)計(jì)算

所以

綜上，有

注 引理1中f嚴(yán)格單調(diào)遞增只是為了保證f在[0，1]上的最大值點(diǎn)唯一.此外，本題是對(duì)最大值點(diǎn)在區(qū)間右端點(diǎn)的情況進(jìn)行討論，實(shí)際上對(duì)區(qū)間左端點(diǎn)也可以得到類似結(jié)論，若為區(qū)間內(nèi)點(diǎn)，則f在這點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)必為0，從而極限趨向于無窮.

應(yīng)用上面求解結(jié)果對(duì)第九屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中一題作出不一樣的證明.

例1設(shè)f(x)=1-x2+x3，x∈[0，1].計(jì)算下列極限并說明理由，

解易知 0≤f(x)≤1，f在[0，1]上只有兩個(gè)最大值點(diǎn)

ln(x+2)-ln2<ε，x∈[0，δ]，

由上述引理知

(1)

(2)

故

(3)

由積分中值定理，存在ξn∈[0，δ]使得

現(xiàn)設(shè)

由(1)，(2)，(3)得

2 推 廣

命題1設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減，0≤f(x)≤1，f(0)=1，f′(0)=0，f″(0)≠0，則

證因?yàn)閒在x=0 處取得最大值且f嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以

f′(x)<0，f″(0)≤0 (x>0)，

由條件得f″(0)<0.

在x=0 處對(duì)f泰勒展開

令

所以

從而

同理可得

所以

由α，β的任意性，所以

設(shè)

而

最后對(duì)一般的情況即函數(shù)f在唯一最大值點(diǎn)處存在k階導(dǎo)數(shù)(k∈+)的條件給出如下推廣.

命題3設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減，0≤f(x)≤1，f(0)=1，f′(0)=…=f(k-1)(0)=0，f(k)(0)≠0(k∈+)，則

3 應(yīng) 用

結(jié)合命題1和命題2可以推導(dǎo)出有趣的斯特林公式.

證為推導(dǎo)斯特林公式，考慮函數(shù)f(x)=xe1-x，x∈[0，+∞).易知f在[0，1)上單調(diào)遞增，在[1，+∞)上單調(diào)遞減，f在[0，+∞)上有唯一最大值點(diǎn)f(1)=1，f′(1)=0，f″(1)=-1.一方面

應(yīng)用命題1和2得

所以

另一方面經(jīng)計(jì)算

所以

即

這正是斯特林公式.

即

4 結(jié) 論

致謝本文在很大程度上受到參考文獻(xiàn)[1]和參考文獻(xiàn)[2]的啟發(fā)，作者非常感謝相關(guān)參考文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.