吳春曉 ，黃致新

1.華中師范大學(xué)人工智能教育學(xué)部，武漢 430079

2.四川省成都市第七中學(xué)，成都 610041

3.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

1 引言

我國的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020 年修訂）》［1］和美國的《下一代科學(xué)能力標(biāo)準(zhǔn)》［2］都強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生分析復(fù)雜物理問題能力的重要性。與此同時，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中掌握的數(shù)學(xué)方法要用在物理情境的分析中，仍然需要合適的引導(dǎo)和訓(xùn)練。相反地，如果物理教師簡單地認(rèn)為物理中的數(shù)學(xué)計算應(yīng)該全由學(xué)生自己解決，而不加引導(dǎo)，那么就會有相當(dāng)一部分學(xué)生由于不熟悉數(shù)學(xué)分析方法在物理情境中的運用，而產(chǎn)生學(xué)習(xí)物理的畏難情緒。所以，培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜物理問題中進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的能力，對提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)很有幫助。

復(fù)雜物理情境的分析有難度高、方法多、計算量大等特點，極值問題又是其中對學(xué)生科學(xué)思維要求很高的一類問題。極值問題在數(shù)學(xué)中指的就是極大值或者極小值，在物理情境中則對應(yīng)了在一定條件下某個物理量能夠取得的最大值或最小值。在物理情境的表述上經(jīng)常出現(xiàn)：至少、恰好、剛好、最大、最小、最短、最長等關(guān)鍵詞［3］。求解極值問題的方法包括但不限于：利用函數(shù)的單調(diào)性求極值，利用三角函數(shù)求極值，利用二次函數(shù)求極值，利用均值不等式求極值，利用圖解法求極值［4］。如果僅僅向?qū)W生簡單地羅列相應(yīng)的題目和方法，學(xué)生只能知道這個題目如何求解，而他們的科學(xué)推理能力并沒有得到顯著提升。只有當(dāng)學(xué)生能夠在面臨新的物理情境的時候，經(jīng)由適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒?gòu)，能夠意識到需要運用這樣的方式進(jìn)行極值的求解，并最終能夠得出正確的結(jié)論，其科學(xué)推理能力才得到了提高。

為了達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維中科學(xué)推理能力這一目標(biāo)，需要循序漸進(jìn)地為學(xué)生展示在物理情境中均值不等式這一數(shù)學(xué)工具的使用場景和操作模式。經(jīng)過了難度螺旋式上升的訓(xùn)練之后，學(xué)生才有可能真正掌握均值不等式在物理問題中的使用方法。這樣的方法及過程需要從均值不等式的證明開始，在高中物理教學(xué)過程中循序漸進(jìn)地使用，最后學(xué)生對在物理情境中運用數(shù)學(xué)工具才會有更加深刻的感悟。當(dāng)然，對于其中部分情境而言，可能會有更方便快捷的方法［5］，但是為了不沖淡主題，本文將不再另外展示其他方法。

2 均值不等式的概念及證明

在數(shù)學(xué)中，均值不等式又稱為平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個重要公式。公式內(nèi)容為調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等，都可以證明均值不等式。物理中運用均值不等式的情境和數(shù)學(xué)不同，是為了處理實際的物理情境，與此同時，學(xué)生在物理情境中需要用均值不等式的時候可能數(shù)學(xué)學(xué)科還沒學(xué)習(xí)均值不等式。不同于高中人教版數(shù)學(xué)必修5B版［6］中的證明，在物理教學(xué)中只需要簡單地證明即可：

由于對于任意正數(shù)x和y均滿足：

（2）式可以進(jìn)一步寫成如下形式：

在物理中對均值不等式的應(yīng)用主要是當(dāng)二者之積為定值時，二者相等時其和可以取得最小值。所以，一個物理問題是否能夠運用均值不等式求解的關(guān)鍵往往就在于其表達(dá)式的兩個部分的乘積是否為定值。

3 均值不等式在不同高中物理情境中的應(yīng)用

3.1 在運動學(xué)中初識均值不等式

學(xué)生進(jìn)入高中的第一步就是學(xué)習(xí)運動的描述和勻變速直線運動的分析方法，科學(xué)思維的培養(yǎng)需要學(xué)生體會從模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證到質(zhì)疑與創(chuàng)新這一條完整的分析流程中的每一步。簡單地公式套用只能說是科學(xué)推理的一部分，通過下面的例1能夠在一個簡單的物理情境中初步應(yīng)用均值不等式，給學(xué)生展示一個清晰的分析邏輯。

例1已知汽車在加速過程中每秒鐘的耗油量與行駛的加速度a的數(shù)量關(guān)系為Q＝Ma＋N（M、N均為待定量）。若某型號汽車由靜止開始做勻加速直線運動，行駛了位移s，若要此段運動中汽車的耗油量最小，則汽車的加速度大小及最小耗油量應(yīng)為（ ）

解析本題創(chuàng)立了一個對于學(xué)生而言比較陌生的情境，所以學(xué)生首先需要構(gòu)建物理模型，也就是需要寫出總耗油量Q的表達(dá)式。

由于是勻加速直線運動，每秒鐘的耗油量恒定，于是得到：

同時，由于汽車做勻加速直線運動，于是：

由此，可以得到t的表達(dá)式，代入上式得到：

進(jìn)一步化簡得到：

3.2 在重心的確定中拓展均值不等式

在運動學(xué)中給學(xué)生進(jìn)行了鋪墊之后，進(jìn)入“重力”這一節(jié)時，對于競賽生，就可以給他們展示例2這樣的例子，從而在例1的基礎(chǔ)上，再一次加深對均值不等式運用的理解。當(dāng)然，對于普通高考生而言也完全可以跳過例2，直接在合適的時候給出例3。

例2一個有底無蓋的圓柱形桶，底面質(zhì)量不計，桶側(cè)面質(zhì)量為a，桶的重心在中軸線上的正中間位置，裝滿水后水的質(zhì)量為b。裝入水的質(zhì)量m為多少時，水和桶的合重心最低？

圖1 例2示意圖

則水和桶的合重心的高度可以表達(dá)為：

3.3 在牛頓運動定律中深挖均值不等式

例3如圖2所示，粗糙的水平地面上有三塊材料完全相同的木塊 a、b、c，質(zhì)量均為 m，b、c 之間用輕質(zhì)細(xì)繩連接。現(xiàn)用一水平恒力F作用在c上，三者開始一起做勻加速運動，運動過程中把一塊橡皮泥粘在某一木塊上面，系統(tǒng)仍加速運動，且始終沒有相對滑動。則在粘上橡皮泥并達(dá)到穩(wěn)定后，下列說法正確的是（ ）

圖2 例3示意圖

A.無論粘在哪個木塊上面，系統(tǒng)的加速度都將減小

B.若粘在a木塊上面，繩的拉力減小，a、b間摩擦力不變

C.若粘在a木塊上面，繩的拉力增大，a、b間摩擦力增大

D.若粘在c木塊上面，繩的拉力和a、b間摩擦力都減小

將質(zhì)量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之后，a、b間摩擦力變?yōu)椋?/p>

解析本題的正確答案A、D很容易能夠選出來，這里不再贅述。為進(jìn)一步深挖均值不等式的應(yīng)用，對B選項進(jìn)行再研究。教師可以將B選項的嚴(yán)格證明作為一個思考題布置給學(xué)生，激發(fā)他們的探究精神。

由牛頓運動定律可以得到，將質(zhì)量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之前，a、b間摩擦力為：

這意味著，若 F＝4.5μmg，即 m0＝0 時，即不粘橡皮泥時，已經(jīng)有 f′max，再往上面粘橡皮泥，則 a、b 間摩擦力會減小。若 F＜4.5μmg，均值不等式無法取等，所以往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會減小。若 F＞4.5μmg，當(dāng) m0取得一個大于零的值時，能取到f′max，所以逐漸往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會先增加再減小。所以，B選項錯誤。

這樣的思考題，不僅能培養(yǎng)學(xué)生利用均值不等式解決物理問題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。

3.4 在平拋運動中識別均值不等式

在對平拋運動的物體進(jìn)行分析時，在豎直面限制問題、水平面限制問題、斜面限制問題、拋物面限制問題、圓弧面限制問題都涉及到極值問題的求解，相關(guān)的極值問題已經(jīng)有文章作出過比較全面的歸納［7］，這里不再重復(fù)。此處只列舉一例比較有代表性的物理情境。

例4探險隊員在探險時遇到一個山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。隊員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面。如圖3所示，以溝底的O點為原點建立坐標(biāo)系Oxy。已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為，探險隊員的質(zhì)量為m。人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最?。縿幽艿淖钚≈禐槎嗌?？

圖3 例4示意圖

這個在平拋運動中結(jié)合動能定理處理極值的問題，不僅涵蓋了函數(shù)的思想，還從更加靈活的角度，在配方的情況下運用了均值不等式。通過這個式子，學(xué)生對于在物理情境中利用均值不等式解決問題的感悟會更加深刻。

3.5 在萬有引力中變換均值不等式

例5設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經(jīng)過長時間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運動，則與開采前相比（ ）

A.地球與月球的萬有引力將變大

B.地球與月球的萬有引力將變小

C.月球繞地球運動的周期將變長

D.月球繞地球運動的周期將變短

解析正確答案B、D中的D選項很容易判斷，這里不再贅述。關(guān)鍵是B選項的處理方式就需要用到均值不等式了：

3.6 在動量守恒中融入均值不等式

例6A球的質(zhì)量是mA，以某一速度v0沿光滑水平面向靜止的B球運動，B球的質(zhì)量是mB，A與B發(fā)生正碰，碰撞過程中機械能不損失，當(dāng)mA不變，而B球質(zhì)量取不同值時，下列說法中正確的是（ ）

A.mB＝mA時，碰撞后B球的速度最大

B.mB＝mA時，碰撞后B球的動能最大

C.mB＜mA時，mB越小，碰撞后 B 球速度越大

D.mB＞mA時，mB越大，碰撞后 B 球動量越大

【答案】BCD

由于碰撞過程中系統(tǒng)的動量守恒和能量守恒，能夠很快得出碰后B球的速度表達(dá)式為：

當(dāng)mB越小，有vB越大，于是A選項錯誤，C選項正確。

在本情境中，為了化簡出均值不等式的形式，采取了分子、分母同除以變量mB的方式，這個方式在不需要采用均值不等式時用于處理分子分母都有變量的表達(dá)式也非常便捷。

3.7 在電學(xué)實驗中活用均值不等式

例7在測定電源電動勢和內(nèi)電阻的實驗中，實驗室提供了合適的實驗器材。某同學(xué)誤將測量電路連接成如圖4所示，其他操作正確，根據(jù)電壓表的讀數(shù)U和電流表的讀數(shù)I，畫出U-I圖像如圖5所示，可得電源的電動勢：

圖4 例7示意圖

圖5 U-I圖

E＝_______V，內(nèi)電阻 r＝_______Ω（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

解析此題的關(guān)鍵在于R1被分為了兩個部分，而這兩個部分是并聯(lián)關(guān)系。假設(shè)R1左邊部分的阻值為x，于是這個并聯(lián)部分的阻值為：。沿用例5中和定積最大的思想可得，當(dāng) x＝R1-x即時，R并取最大值。所以，圖 5 中的（0.5 A，2.5 V）這一點就是當(dāng)滑片在R1中間時測量的值。此時干路電流為電流表示數(shù)的兩倍，由閉合電路歐姆定律可以得出對應(yīng)的方程。

由于有兩個變量，所以還需要再列一個方程，當(dāng)滑動變阻器滑片左端阻值為x時的干路電流和當(dāng)其左端阻值為（R-x）時的干路電流相等，而電流表測量的分別為阻值為x支路的電流和阻值為（R-x）支路的電流。所以，可以等效認(rèn)為：圖5中電壓相等的兩點對應(yīng)的電流值分別表示兩個支路的電流，其和即為干路電流。于是，從圖5中可以找到電壓相等的（0.33 A，2.4 V）和（0.87 A，2.4 V）兩個點?？梢缘刃楫?dāng)滑片處于這個位置時，此時并聯(lián)的兩個支路的電流分別為0.33 A和0.87 A，此時的干路電流就是0.33 A+0.87 A=1.2 A，于是由閉合電路歐姆定律可以得到第2個方程。

兩個方程聯(lián)立就可以得出電源電動勢大小為 3.0 V，電源內(nèi)阻大小為 0.50 Ω。

4 結(jié)論

高中物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的過程，其中關(guān)于數(shù)學(xué)分析能力的培養(yǎng)也不是簡單的一個例題就能一蹴而就的。核心素養(yǎng)真正得到發(fā)展的學(xué)生一方面能夠在不同的物理情境中識別并使用相同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，另一方面他們也能在同一個物理情境中運用不同的物理方法進(jìn)行求解，并比較這些方法。這兩個方面分別對應(yīng)了科學(xué)推理方法的縱向培養(yǎng)和不同推理方法的橫向?qū)Ρ?。本文只專注于同一個科學(xué)推理方法在不同物理情境中應(yīng)用的縱向的培養(yǎng)方式，選取了學(xué)生在高中階段開始接觸的均值不等式，這一對他們而言可能還比較陌生的數(shù)學(xué)工具作為載體，展示了其在高中物理的不同知識板塊的應(yīng)用場景。當(dāng)然，這些場景可能采取其他的分析方式能夠更快地得出結(jié)論，但是學(xué)生掌握一種工具最好的方式就是反復(fù)使用這個工具，熟練使用了之后才能在不同的工具中進(jìn)行選擇。希望通過本文的嘗試，能夠讓更多的學(xué)生掌握均值不等式這一工具在物理問題分析中的運用方法，也為他們今后熟練應(yīng)用其他數(shù)學(xué)工具提供一點幫助。