羅宇晴，吳少平

華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

光學(xué)是物理學(xué)一個重要的學(xué)科分支，光的干涉和衍射現(xiàn)象是光學(xué)重要的研究內(nèi)容。1801年，托馬斯·楊用光的“波動性”解釋了光的干涉現(xiàn)象，第一次成功測定了光的波長。1815年，菲涅爾對惠更斯原理進行了修正，提出了惠更斯-菲涅爾原理。該原理不僅能解釋各向同性均勻介質(zhì)中光的直線傳播現(xiàn)象，還完美地解釋了光的衍射現(xiàn)象[1]。從此，波動光學(xué)發(fā)展成為光學(xué)的重要組成部分。由于觀測光的干涉和衍射現(xiàn)象對實驗條件要求較高，教師難以在課堂進行演示實驗。2016年，教育部印發(fā)的《教育信息化“十三五”規(guī)劃》提出要創(chuàng)新應(yīng)用優(yōu)質(zhì)教育資源，積極探究新型教學(xué)模式[2]。Geogebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計功能的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]，該軟件開源免費，簡單易學(xué)，而且交互性好，特別適用于理科教學(xué)[4]。筆者利用Geogebra軟件制作動態(tài)演示圖，用于波動光學(xué)中2個典型實驗的理論教學(xué)。

1 利用Geogebra演示雙縫干涉實驗

1801年，英國物理學(xué)家托馬斯·楊利用雙縫實驗演示了雙光束干涉現(xiàn)象，并首次推算得到光的波長，實驗驗證了光的波動理論，為量子學(xué)說的創(chuàng)立奠定了堅實的基礎(chǔ)。兩列頻率相同、振動方向相同，并且在觀察期間相位差不變的相干波疊加后，合振動會在某些區(qū)域加強，而在某些區(qū)域減弱。疊加區(qū)域內(nèi)各點合振動強度在空間中的穩(wěn)定非均勻分布即為光的干涉圖樣，其本質(zhì)為兩列光波相位差的空間分布。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，通常用光線代替光波，無法直觀展現(xiàn)出相位差的變化。利用Geogebra軟件，不僅可以直觀展示相位差的大小，還可以清晰地觀察到狹縫間距和入射光振幅變化對光強分布的影響，從而幫助學(xué)生深入理解雙光束干涉的物理機制。

1.1 雙縫干涉理論知識

如圖1所示，兩列等振幅且初相位相同的相干波分別從空氣中的定點A和B出發(fā)到達空間P點，兩列波的振動方程可分別表示如下：

圖1 雙縫干涉動態(tài)圖

式中E1和E2表示電場強度，ω為角頻率，波數(shù)，λ 為波長，r1＝AP，r2＝BP，φ0為初相位。兩列波在 P 點相遇后的相位差 Δφ＝k（r2-r1）＝kδr,其中δr表示光程差，空氣中折射率n≈1。

當(dāng)光程差等于半波長的偶數(shù)倍，兩列波疊加后的強度為最大值，形成亮紋，稱為干涉相長；

當(dāng)光程差等于半波長的奇數(shù)倍，兩波疊加后的強度為最小值，形成暗紋，稱為干涉相消。

上式中j表示干涉級，從0級開始計算。

由圖1可知，光程差可以表示為：

（1.5）式中 d＝AB，表示雙縫之間的距離，r＝CD，y＝CP。

將（1.5）式代入（1.3）式，得到產(chǎn)生明紋的條件為

將（1.5）式代入（1.4）式，得到產(chǎn)生暗紋的條件為

相鄰兩條明紋或相鄰兩條暗紋之間是等間距的，間距Δy的大小為

1.2 課件制作

（1）雙縫制作過程

如圖1所示，兩束相干光通過狹縫A與狹縫B會聚在光屏上P點。用描點工具單擊y軸，設(shè)定點 A，然后在命令欄輸入 B（0,-y（A））。

（2）光屏制作過程

用描點工具單擊x軸正半軸，設(shè)定點C；單擊原點，設(shè)定點D。用垂線工具單擊點C與x軸，創(chuàng)建直線f來模擬光屏。在直線f上任取一點P，利用線段工具分別單擊點A與點P創(chuàng)建線段AP，單擊點B與點P創(chuàng)建線段BP，單擊點D與點P創(chuàng)建線段DP。

（3）參數(shù)制作過程

創(chuàng)建波動方程中的4個參數(shù)，即振幅A、波長λ、波速v和時間t。為確保干涉現(xiàn)象全參數(shù)可調(diào)，利用滑動條工具單擊繪圖區(qū)，創(chuàng)建振幅A，設(shè)置變化范圍[0.1，5]，單位為 V/m；創(chuàng)建波長 λ，設(shè)置變化范圍[0.2，15]，單位為 μm；創(chuàng)建波速 v，設(shè)置變化范圍[0.1，5]，單位為 m/s；創(chuàng)建時間 t，設(shè)置變化范圍[0，25]，單位為s。點擊右鍵設(shè)置動畫屬性為“重復(fù)遞增”。

（4）波動方程制作過程

在命令欄輸入 p（x）＝if（0＜x＜Length（DP）＋1，Asin（2π（vt-x）/λ）），得到一列沿 x 軸傳播的波函數(shù)。在命令欄輸入 Rotate（p（x），atand（（y（A）-y（P））/（x（A）-x（P）））），得到曲線 a。在命令欄再次輸入Translate（a，Vector（D，A）），我們就繪制出了第一列入射波。同理，繪制第二列入射波。

（5）光強分布函數(shù)制作過程

利用線段工具單擊點A與點B，創(chuàng)建線段AB，單位為mm；單擊點C與點D，創(chuàng)建線段CD，單位為m。在命令欄輸入 q（x）＝2A2（1＋cos（2πdx/（λr））），創(chuàng)建光強分布函數(shù)，最后繪制出光強分布圖。

（6）光強振幅制作過程

在命令欄輸入 d＝p（Length（BP））＋p（Length（AP）），回車后繼續(xù)輸入 E（x（p），y（p）＋d），連接點P與點E，創(chuàng)建線段PE表示P點光強的大小，如圖1所示。

（7）光程差制作過程

利用垂線工具單擊點A與直線BP，創(chuàng)建垂線AF，垂線AF與直線BP交點為點F，線段BF即為光程差 δr。

1.3 課件說明

（1）改變兩列相干波相位差的大小，分析明暗條紋產(chǎn)生的條件。

設(shè)置相關(guān)參數(shù)后，拖動點P在光屏上滑動，改變兩列相干波相位差的大小。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)光程差相差半個波長的偶數(shù)倍，產(chǎn)生明紋（圖2）；當(dāng)光程差相差半個波長的奇數(shù)倍，產(chǎn)生暗紋（圖3）。動畫演示結(jié)果與（1.3）和（1.4）式結(jié)果完全一致。

圖 2 δr≈λ，P點為明紋

圖 3 δr≈λ ／2，P 點為暗紋

（2）驗證“r>>d時，∠α與∠β近似相等”的條件。

在推導(dǎo)光程差δr的過程中，當(dāng)r>>d時，我們認(rèn)為∠α與∠β近似相等。利用Geogebra軟件，可以直觀地證明這一條件的正確性。如圖4所示，r≈3d時，∠α與∠β相差還比較明顯；但當(dāng)r與d取值相差很大（r≈30d）時，∠α與∠β幾乎相等，如圖5所示。

圖 4 r≈3d 時，∠α≠∠β（X 軸∶Y 軸＝1∶1）

圖 5 r≈30d 時，∠α≈∠β（X 軸∶Y 軸＝2∶1）

（3）改變雙縫間距d，波長λ以及雙縫到光屏的距離r，觀察干涉圖樣的變化。

設(shè)置入射光振幅A為2.6 V/m，波長λ為10μm，r為65.88 m，拉動滑動條改變雙縫間距d。對比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著雙縫間距d增大，干涉條紋間距明顯減小，與(1.8)式結(jié)果一致。設(shè)置r為65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動滑動條改變雙縫到光屏的距離r。對比圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，隨著距離r的增大，條紋間距增大。拉動滑動條改變波長λ，對比圖8和圖9可以發(fā)現(xiàn)，隨著波長λ的增大，條紋間距也增大。

圖6 d≈16時的雙縫干涉圖樣

圖7 d≈30時的雙縫干涉圖樣

圖8 λ=10時的雙縫干涉圖樣

圖9 λ=15時的雙縫干涉圖樣

（4）改變?nèi)肷洳ㄕ穹?，觀察干涉圖樣的變化。

設(shè)置波長 λ 為 15 μm，r為 65.88 m，雙縫間距d為29.93 mm，拉動滑動條改變?nèi)肷涔庹穹鵄。對比圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn)，隨著入射光振幅A的增大，條紋間距不變，干涉光疊加振幅增大。

圖 10 A＝2.6時的雙縫干涉圖樣

圖 11 A＝3.6時的雙縫干涉圖樣

2 利用Geogebra演示光柵衍射現(xiàn)象

“衍”始見于商代甲骨文，本指水流順河道匯于海，引申指蔓延、擴展。光的衍射指光在空間傳播過程中，遇到與波長差不多數(shù)量級的障礙物或者孔隙時，會發(fā)生光線彌漫的現(xiàn)象。由于可見光波長較短，光波的衍射現(xiàn)象在日常生活中并不明顯。

2.1 理論知識

任何具有空間周期性的衍射屏都可以叫作光柵，衍射光柵一般每毫米內(nèi)有幾十條乃至上千條縫。光柵和棱鏡一樣，作為重要的分光裝置，常用來形成光譜[1]。光柵衍射的光強分布是單縫衍射與多縫干涉共同作用的結(jié)果。利用矢量疊加的方法可以得到如下公式：

單縫衍射屏上P點光強公式：

光柵衍射屏上P點光強公式：

單縫衍射最小值位置滿足條件：

多縫干涉主最大位置滿足條件：

多縫干涉最小值位置滿足條件：

光柵衍射光強分布中的單縫衍射因子與單縫衍射強度曲線形式相同；光柵衍射圖樣中出現(xiàn)的一系列較強的亮線叫作主最大，較弱的亮線叫作次最大；相鄰主最大之間有N-1條暗紋和N-2個次最大；主最大的寬度隨N的增大而減小，且強度正比于N2。

2.2 課件制作

（1）參數(shù)制作過程

為確保單縫衍射光強分布全參數(shù)可調(diào)，利用滑動條工具單擊繪圖區(qū)。創(chuàng)建振幅A，設(shè)置變化范圍[0，5]，單位為 V/m；創(chuàng)建波長 λ，設(shè)置變化范圍[1，10]，單位為 μm；創(chuàng)建單縫寬度 a，設(shè)置變化范圍[0，10]，單位為μm；創(chuàng)建光柵到光屏的距離參數(shù) L，設(shè)置變化范圍[0，10]，單位為 m；創(chuàng)建光柵縫數(shù)N，變化范圍[1,100]，增量為1；創(chuàng)建光柵常數(shù)d，變化范圍[1,30]，單位為μm。

（2）光強分布函數(shù)制作過程

在命令欄輸入 f（x）＝A2sin2（πax/（λL））/（πax/（λL））2，表示單縫衍射光強分布函數(shù)。在命令欄輸入 g（x）＝sin2（Nπdx/（λL））/sin2（πdx/（λL）），表示縫間干涉疊加效果；創(chuàng)建函數(shù) h（x）＝f（x）g（x）／N2，表示光柵衍射光強分布函數(shù)。

2.3 課件說明

（1）改變狹縫寬度a，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光振幅A為1V/m，距離L為1m，波長λ為4 μm，光柵常數(shù)d為18 μm，狹縫數(shù)目N為6。拖動滑動條，改變狹縫寬度a。對比圖12和圖13可知，在一定范圍內(nèi)，隨著單縫寬度a增大，衍射效果對多縫干涉調(diào)制的效果越明顯。如圖13所示，當(dāng)d=3a時，在±3λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級。

圖12 狹縫寬度a=0.7時的光柵衍射光強分布圖

圖13 狹縫寬度a=6時的光柵衍射光強分布圖

（2）改變光柵常數(shù)d，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長 λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 5 μm，狹縫數(shù)目N為6。拖動滑動條，改變光柵常數(shù)d，由圖14與圖15可知，在一定范圍內(nèi)，隨著光柵常數(shù)d的增大，多縫干涉明紋(主極大)間距減小，與上文中雙縫干涉得到的結(jié)論一致。如圖14所示，當(dāng)d=2a時，在±2λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級。如圖15所示，當(dāng)d=4a時，在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級。

圖14 d=2a時的光柵衍射光強分布圖

圖15 d=4a時光柵衍射光強分布圖

（3）改變狹縫數(shù)目N，分析衍射圖樣的變化。

設(shè)置入射光束振幅A為1V/m，距離L為1m，波長 λ 為 4 μm，狹縫寬度 a為 3 μm，光柵常數(shù)d為12 μm；拖動滑動條，改變狹縫數(shù)目N。對比圖16與圖17可知，隨著狹縫數(shù)目N增大，衍射明紋變細變亮。d=4a時，在±4λ/d主極大處出現(xiàn)了缺級。

圖16 N=6時的光柵衍射光強分布圖

圖17 N=30時的光柵衍射光強分布圖

3 結(jié)論

將Geogebra軟件用于波動光學(xué)教學(xué)有以下三個優(yōu)勢：一是可以生動形象地動態(tài)演示光的干涉、衍射現(xiàn)象，利于學(xué)生將抽象的物理知識轉(zhuǎn)化為直觀感性的認(rèn)識；二是實現(xiàn)了實驗過程全參數(shù)可調(diào)，可以讓學(xué)生自主探究各物理量對光強分布的影響，充分調(diào)動了學(xué)生的主觀能動性；三是有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主探索和自主學(xué)習(xí)的科學(xué)素養(yǎng)。