袁媛 王軍威 曾麗

(廣東外語外貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣東廣州 510006)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.知識點(diǎn)分析

由參數(shù)方程所確定的函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一類重要函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算需要利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。特別是由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

關(guān)于參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，目前已有的教材[2][3]都著力從如何得到公式的角度進(jìn)行證明和推導(dǎo)，特別是二階導(dǎo)數(shù)公式，因?yàn)橛浱柕膹?fù)雜和推導(dǎo)的抽象，讓學(xué)生在理解上感到困難，在實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常犯錯。究其原因，是沒有厘清由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中因變量與自變量的關(guān)系，對這個新函數(shù)沒有清晰的認(rèn)識。在教學(xué)中，教師自身需要理解由參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)以及任意階導(dǎo)數(shù)（如果函數(shù)存在任意階導(dǎo)數(shù)）都依然是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，在講授過程中，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)睦}，啟發(fā)學(xué)生自己進(jìn)行分析總結(jié)，從而使學(xué)生能輕松理解和應(yīng)用這些知識點(diǎn)。

2.課程思政融入

繁花曲線規(guī)是一種能畫出各種美麗曲線的玩具，其發(fā)明者楊秉烈先生以及繁花曲線規(guī)的發(fā)明過程，不大為人們所知，直到綜藝節(jié)目——《最強(qiáng)大腦》制作了一期關(guān)于繁花曲線的比賽，繁花曲線規(guī)才被更多人知曉。本課首先通過播放繁花曲線規(guī)相關(guān)視頻，讓學(xué)生了解繁花曲線規(guī)的發(fā)明過程，感受楊先生的創(chuàng)新精神，激勵學(xué)生做生活的有心人，勇于嘗試。

然后，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一種特殊的繁花曲線——星形線，以“如何求解星形線上某一可導(dǎo)點(diǎn)處切線的斜率”這一問題來驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)和思考，復(fù)習(xí)和運(yùn)用已學(xué)方法，進(jìn)而學(xué)習(xí)新知識得到新方法。這樣，在具體知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，鍛煉學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

最后，以星形線在公交車車門設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[4]為例進(jìn)行知識拓展，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識在日常生活中應(yīng)用，鼓勵學(xué)生養(yǎng)成善于觀察和勤于思考的良好習(xí)慣。

3.課程準(zhǔn)備

（1）學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，能熟練運(yùn)用反函數(shù)的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及隱函數(shù)的求數(shù)法則進(jìn)行計(jì)算。

（2）教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：掌握由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式，理解其推導(dǎo)過程。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)求解由參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算能力，提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力。

德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，形成分析問題、解決問題的思維；讓學(xué)生們在體驗(yàn)數(shù)學(xué)曲線之美的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，鼓勵學(xué)生養(yǎng)成善于觀察和勇于探索的良好習(xí)慣。

（3）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：由參數(shù)方程所確定函數(shù)的因變量和自變量之間關(guān)系的建立，其一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。

難點(diǎn)：由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

4.教學(xué)實(shí)施

（1）情景導(dǎo)入

請學(xué)生觀看繁花曲線規(guī)的圖片和《最強(qiáng)大腦》中關(guān)于繁花曲線規(guī)發(fā)明者楊秉烈先生的介紹視頻，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)曲線之美的同時(shí)，感受繁花曲線規(guī)發(fā)明者的探索和創(chuàng)新精神，激發(fā)嘗試精神。

（2）一條特殊的繁花曲線——星形線

圖1 星形線的形成過程

引導(dǎo)學(xué)生分析：想要解決以上問題，需要求點(diǎn)Q所在曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

問題2.1.1：星形線上點(diǎn)Q所在曲線對應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式是什么？

引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)該點(diǎn)所在曲線對應(yīng)的函數(shù)是由星形線的一般方程確定的，即該函數(shù)是隱函數(shù)。

方法一：利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。請學(xué)生自己完成計(jì)算。

問題2.1.2：星形線上一點(diǎn)Q所在曲線對應(yīng)的函數(shù)是否能顯化？如何利用顯化的函數(shù)求這點(diǎn)處切線的斜率？

方法二：將函數(shù)顯化后用求導(dǎo)公式來計(jì)算。請學(xué)生自己完成計(jì)算。

問題2.1.3（引出新課）：如何利用星形線的參數(shù)方程來計(jì)算該曲線上某一點(diǎn)處的切線斜率？

方法三：利用星形線的參數(shù)方程來計(jì)算。此方法是本次課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（3）新知探究

設(shè)計(jì)思路：本部分將通過兩個重點(diǎn)例題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和分析，啟發(fā)學(xué)生總結(jié)出消去參數(shù)過程的本質(zhì)，進(jìn)而利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和反函數(shù)的求導(dǎo)法則，推出由參數(shù)方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

引導(dǎo)學(xué)生觀察如何經(jīng)過參數(shù)t建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系。繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)，參數(shù)t可以消除，即函數(shù)可以顯化，步驟是：

引導(dǎo)學(xué)生觀察如何經(jīng)過參數(shù)t建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系。此方程中，參數(shù)t無法消除，因?yàn)榈谝粋€方程中t不能解出。但是，這個參數(shù)方程所確定的函數(shù)存在，可以分析其導(dǎo)數(shù)，引出問題：如何求

回頭分析例1中消除參數(shù)過程的本質(zhì)：

第一步：若x=φ(t)是單調(diào)函數(shù)，則其存在反函數(shù)，記為

第二步：將y=ψ(t)與進(jìn)行復(fù)合，得到函數(shù)此時(shí)t為中間變量。

（4）深入難點(diǎn)

設(shè)計(jì)思路：在學(xué)生能順利求解由參數(shù)方程確定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}來層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生理解由參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)這一本質(zhì)，進(jìn)而自然地得到其二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

請學(xué)生完成后，繼續(xù)探究：

繼續(xù)探究：

此處請學(xué)生自己歸納出求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)（如果存在）的方法。

回到問題2.1.3：如何利用星形線的參數(shù)方程來計(jì)算該曲線上某一點(diǎn)處的切線斜率？

方法三：利用結(jié)論1來進(jìn)行求解。

完成以上計(jì)算后，引導(dǎo)學(xué)生做一個對比：利用參數(shù)方程求導(dǎo)方法的計(jì)算過程，與前面利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式的計(jì)算過程，以及顯化函數(shù)后的計(jì)算過程進(jìn)行對比，理解直接利用參數(shù)方程解決問題的優(yōu)勢所在。

至此，學(xué)生已經(jīng)完全掌握了由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的結(jié)論和計(jì)算法則，對該函數(shù)因變量與自變量關(guān)系的建立有了清楚的認(rèn)識，能計(jì)算參數(shù)方程所確定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)（如果各階導(dǎo)數(shù)存在）。

（5）知識拓展

展示動態(tài)圖形，請學(xué)生觀察并得出結(jié)論：星形線上任一可導(dǎo)點(diǎn)處的切線與x軸和y軸的交點(diǎn)的連線長度是常數(shù)。

實(shí)際應(yīng)用：該結(jié)論被用于公交車的車門設(shè)計(jì)。

教師通過播放動圖，讓學(xué)生了解公交車車門開關(guān)時(shí)門底的運(yùn)行路線，比較同樣大小的單開門、雙開們和公交車車門開門時(shí)門底運(yùn)行所掃過的面積。

5.課堂反思

本次課采用問題教學(xué)法，通過學(xué)習(xí)由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，通過學(xué)習(xí)星形線的應(yīng)用增加學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用的了解，通過介紹繁花曲線設(shè)計(jì)者的工匠精神激勵學(xué)生積極創(chuàng)新和勇于嘗試。這是一次試圖集科學(xué)性、互動性、前沿性和課程思政于一體的創(chuàng)新改革實(shí)驗(yàn)課。對于老師設(shè)計(jì)的問題，學(xué)生能獨(dú)立思考并完全解決。根據(jù)課堂練習(xí)情況，學(xué)生全部掌握了本次課的教學(xué)重難點(diǎn)，達(dá)到了本次課的教學(xué)目標(biāo)。

結(jié)語

高校教師肩負(fù)著教書育人的歷史使命，不僅要傳授知識，還要引導(dǎo)學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為自身的高尚品德和思想情操。鑄魂育人，立德樹人，責(zé)無旁貸，落實(shí)到高等數(shù)學(xué)課堂上，就是通過精心設(shè)計(jì)每一個單元的教學(xué)，使課程教學(xué)與思想政治教育無縫銜接，潛移默化地發(fā)揮影響作用，引領(lǐng)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)與人類社會發(fā)展之間的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生對于創(chuàng)新的認(rèn)識，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與政治素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“在課程中育人，在育人中推動素養(yǎng)提升”的良性互動。