朱亞軍

（江蘇省蘇州中學，江蘇 蘇州 215007）

2022屆蘇州市第2次調研考試結束后，高三師生們對選擇題第9題留下了比較深刻的印象.雖然單個小球在豎直平面內的變速圓周運動大家都耳熟能詳，但本題設問非常精妙，創(chuàng)新設計，要求考生分析兩個小球在同一豎直光滑圓軌道內側的相對運動問題.有的學生即使蒙對正確答案是（C）選項，其實并沒有真正理解其中的道理.有的教師在講評這道選擇題的時候，由于兩小球間的相對運動比較抽象、復雜，講解頗為周折，似乎只可意會，不可言傳.為此，筆者嘗試借助GeoGebra軟件模擬第9題描述的動態(tài)情境，進而繪制兩個小球運動過程中相關物理量隨時間變化的規(guī)律，以期給大家今后的教學提供一點幫助.

1 題目及定性分析

例題.如圖1所示，豎直平面內固定著內側光滑的圓形軌道，半徑為r.兩個質量都為m的小球1、2，某時刻恰好位于軌道的最高點和最低點，初速率分別為，以圓環(huán)最低點為重力勢能零點，則兩小球1、2在運動過程中

圖1

（A）可能會在某一位置中發(fā)生碰撞.

（B）可能同時位于水平直徑的兩端.

（C）兩小球距離最近時總動能最小.

（D）系統(tǒng)重力勢能的最大值為2mgr.

本題以豎直平面內光滑圓軌道約束兩個小球的運動為情境，通過分析小球1、2分別以初速率從最高點、最低點出發(fā)順時針沿圓軌道做變速圓周運動的情況，考查學生對小球在豎直平面內圓周運動速率隨時間變化規(guī)律的掌握情況，同時考查兩球之間的相對運動、系統(tǒng)總動能和總重力勢能的變化規(guī)律.

根據(jù)小球在豎直光滑軌道內維持變速圓周運動的條件和機械能守恒定律可知，題設初速率恰能滿足小球1、2分別從最高點、最低點開始沿內側光滑圓形軌道維持運動的條件，由于，所以，小球1運動到最低點的速率等于v2，小球2運動到最高點的速率等于v1，意味著小球1、2運動的周期相等，不可能會在某一位置中發(fā)生碰撞，故選項（A）錯誤.另外，根據(jù)機械能守恒定理可得小球1、2分別運動到水平直徑兩端時的速率都是所以，小球1、2分別運動到水平直徑右端、左端的過程中平均速率不相等，經(jīng)歷的時間必然不同，選項（B）錯誤.

題干中規(guī)定以圓環(huán)最低點為重力勢能零點，則最初系統(tǒng)的重力勢能、動能和機械能分別為2mgr，3mgr和5mgr.在隨后的一小段運動過程中，因小球2上升的速率大于小球1下降的速率，故系統(tǒng)的重力勢能逐漸增大，直至小球2越過水平直徑后與小球1達到同一高度時，系統(tǒng)的重力勢能最大，且大于2mgr，系統(tǒng)的總動能最小，小于3mgr.所以，選項（C）正確，選項（D）錯誤.

2 借助GeoGebra探究小球的運動規(guī)律

（1）小球運動的微分方程.

首先，分析小球1的運動情況.如圖2所示，從小球1在最高點的時刻開始計時，設t時刻小球運動到圖示位置，小球1和圓心O的連線與豎直方向的夾角為θ1，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律有

圖2

（2）在GeoGebra軟件中輸入已知量、初始條件和微分方程組.可調節(jié)的已知量：軌道半徑r＝2.5 m，小球質量m＝0.1 kg；不可調節(jié)的已知量：重力加速度g＝9.8 m／s2.

（3）利用“NsolveODE”指令解常微分方程組，繪制小球運動過程中相關物理量隨時間變化的圖像.

圖3所示為θ1- t、ω1- t圖像.圖4所示為θ2- t、ω2-t圖像.

圖3

圖4

為描繪小球的運動軌跡和運動過程中相關物理量隨時間變化的圖像，需要從圖3、圖4中獲取任意時刻t對應的θ1、ω1、θ2和ω2的瞬時值.

輸入：len＝length（θ1），

描 點：Point（θ1，t），Point（ω1，t），Point（θ2，t），Point（ω2，t），如 圖 5所示.

圖5

輸 入：x1＝r sinθ1，y1＝r（1＋cosθ1）；x2＝－r sinθ2，y2＝r（1－cosθ2）.

輸入：（x1，y1）——小球1的位置，Locus（1，t）——小球1的軌跡；（x2，y2）——小球2的位置，Locus（2，t）——小球2的軌跡.小球1、2的初始位置和軌跡如圖6所示.

圖6

用虛線連接小球1、2，并獲取這段虛線的長度l.利用“Locus”指令描繪l- t圖像，如圖7所示.由此可見，小球1、2之間的最大距離為5.00 m，最小距離約為4.62 m.運動過程中小球1、2不可能發(fā)生碰撞.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖7—圖11表明，當小球1、2的連線水平，且在水平直徑的正上方時，兩球之間的距離l最小，小球1、2的動能相等，重力勢能相等，且重力勢能大于動能；兩個小球的總動能最小，總重力勢能最大，故本題的選項（C）正確.

圖11

3 小結

本文借助GeoGebra的“NsolveODE”指令探究小球1、2的運動規(guī)律.利用“Locus”指令描繪小球1、2運動過程中相關物理量（θ1，θ2，ω1，ω2，l，Ek1，Ek2，Ep1，Ep2，Ek總和Ep總）隨時間t變化的圖像，非常直觀、形象地呈現(xiàn)小球1、2的相對運動情境和總動能、總重力勢能的變化情況.將轉瞬即逝的運動過程逐一定格——化動為靜，實現(xiàn)豎直平面內光滑圓軌道約束小球運動規(guī)律的可視化，突破教學的難點.