［摘? 要］ 在高三數(shù)學復習教學中，為了幫助學生深入理解函數(shù)零點問題，體會函數(shù)圖像與x軸的交點、函數(shù)的零點以及方程的根之間的內(nèi)在聯(lián)系. 研究者精心設計了一節(jié)關(guān)于“函數(shù)零點問題的探究”微專題活動，引導學生通過獨立思考和合作探究掌握此類問題的研究方法，以此激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，提升數(shù)學教學品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 函數(shù)零點；微專題；教學品質(zhì)

在高三數(shù)學復習教學中發(fā)現(xiàn)，學生解決關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)問題時常常漏洞百出，究其原因是學生對函數(shù)的對應關(guān)系沒有理解清楚，頭腦中沒有形成清晰的解題思路，缺乏等價轉(zhuǎn)換意識，故在解題時常會誤入“歧途”. 為了幫助學生突破這一難點，教師應從教學實際出發(fā)，通過“以生為主”的教學活動的開展，有效發(fā)展學生的數(shù)學思維，提升學生解決問題的能力. 現(xiàn)將復習教學過程呈現(xiàn)給大家，供參考！

學情分析

筆者執(zhí)教班學生的數(shù)學基礎較好，對數(shù)學有著濃厚的學習興趣，喜歡探索，樂于合作. 從知識儲備來看，學生基本掌握了函數(shù)零點存在定理；從能力來看，學生具有一定的形象思維和抽象思維能力；從思想方法來看，學生掌握了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換等基本思想方法.

高考分析

“函數(shù)與方程”是高考重要的考點，探究函數(shù)圖像與x軸的交點、函數(shù)的零點以及方程的根等相關(guān)問題自然也就成了高考重點考查內(nèi)容. 不過對于三者間的互換，部分學生還有一些欠缺，故筆者在本節(jié)課教學中重點研究三者間的互換，以此提升學生的等價轉(zhuǎn)化意識，提高學生的綜合應用能力.

過程實錄

1. 經(jīng)歷過程，發(fā)展能力

師：對于課堂預習中的第1題，你是如何求解的呢？（教師用PPT給出題1）

題1：函數(shù)f（x）=sinx-logx的零點個數(shù)為________.

生1：轉(zhuǎn)化為求y=sinx與y=logx的交點個數(shù).

師：對于正弦函數(shù)y=sinx，其最重要的性質(zhì)是什么？

生齊聲答：周期.

師：很好，你們求得y=sinx的周期是什么？

生齊聲答：周期為4.

師：對于函數(shù)y=logx的圖像，它有什么特點呢？

生2：單調(diào)遞增且過定點（1，0）.

師：很好，兩圖像會有幾個交點呢？（教師通過投影展示學生畫出的圖像）

師：如果想精準地畫出圖像，我們需要怎么做？

生3：令x=5，則有sin

×5

==log24>log25，于是畫出圖1，兩圖像有3個交點.

師：回顧題1的求解過程，你有哪些收獲？

設計意圖：通過以上練習，將函數(shù)零點與函數(shù)圖像建立聯(lián)系，滲透等價轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合等思想方法.

師：接下來我們看一下題2. （教師繼續(xù)用PPT給出題目）

題2：函數(shù)f（x）=-m有零點的充要條件是什么？

生4：同樣可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=m與y=有交點的問題，這樣只要研究y=的值域即可.

師：如何求y=的值域呢？

生4：可以利用換元法求解. 令t=x+3，因為定義域為［-1，1］，所以t∈［2，4］，g（t）=. 再次換元，令n=，n∈

，，所以m=g（n）=∈0

師：很好，生4通過兩次換元求得取值范圍，方法不錯，還有沒有其他方法呢？

生5：還可以轉(zhuǎn)化為求方程m（x+3）=的根的問題，即直線y=m（x+3）與半圓y=有交點. 直線y=m（x+3）過定點（-3，0），m為其斜率. 當直線y=m（x+3）與半圓y=相切時，m=，結(jié)合圖像可知（見圖2），m∈0

師：非常好，對比以上兩種解法，你認為哪種方法操作更簡單呢？

生齊聲答：生5的方法.

師：確實，該方法的計算量較小，“以形助數(shù)”優(yōu)化了解題過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用價值.

師：我們再看下一個問題. （教師用PPT給出題3）

題3：討論方程x-alnx=0的根的個數(shù).

本題求解時，教師鼓勵學生應用不同的方法求解. 經(jīng)歷獨立思考和合作探究等活動后，教師預留充足的時間展示學生的思維過程.

生6：采用參變分離的，當x=1時，lnx=0，所以方程無解；當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，方程變形為a=，于是原題轉(zhuǎn)化為求y=a與y=的交點個數(shù).

師：如何畫y=的圖像呢？

生6：利用導函數(shù)求其單調(diào)性、極值點. 不過在這里要注意的是當x=1時函數(shù)值是取不到的.

師：那么對于x<1時的圖像該如何畫呢？

生6：取特殊值來畫，如取x=e-0.01，y=<0，再取x=e-0.001，y=<0，由此可以看出，在x<1且無限趨近于1時，y<0.

師：當x>1時呢？

生6：與前面的方法相同，通過取特殊值知道此時y>0，所以x=1是漸近線. 結(jié)合圖3可以看出，當a∈｛e｝∪（-∞，0）時，有一個交點，方程有一個根；當a∈（0，e）時，無交點，方程無解；當a∈（e，+∞）時，有兩個交點，方程有兩個根.

師：非常好，基本功扎實. 對于題3，是否還有其他解法呢？

生7：可以轉(zhuǎn)化為探究y=與y=的交點.

師：與生6的解法有什么不同嗎？

生7：我認為這樣轉(zhuǎn)化后，畫圖會更加輕松. 求導后可知y=在（0，e）上單調(diào)遞增，（e，+∞）上單調(diào)遞減. 值得注意的是，當x無限趨近于0時，y<0. 當x無限趨近于+∞時，取特殊值，如x=e1000時，y=>0. 結(jié)合圖4可以看出，當a∈｛e｝∪（-∞，0）時，有一個交點，方程有一個根；當a∈（0，e）時，無交點，方程無解；當a∈（e，+∞）時，有兩個交點，方程有兩個根.

師：很好，思路相同，但因為不同的轉(zhuǎn)化而得到了不同的圖像. 以上兩種方法中，在作圖時都要注意漸近線. 還有其他解法嗎？

生8：是否可以轉(zhuǎn)化為求y=alnx與y=x的交點個數(shù)呢？

生9：我也這樣想過，當a<0時，有一個交點，a>0時不確定，而且y=alnx的圖像很難畫出來.

師：分析得很有道理，那么是否可以將其轉(zhuǎn)化為易于畫出圖像的函數(shù)呢？

生10：可以轉(zhuǎn)化為y=與y=lnx（a≠0）的圖像交點問題. 設切點為（x，lnx），則切線斜率k==，則lnx=1，x=e，k=. 結(jié)合圖5可知，當a∈｛e｝∪（-∞，0）時，有一個交點，方程有一個根；當a∈（0，e）時，無交點，方程無解；當a∈（e，+∞）時，有兩個交點，方程有兩個根.

師：非常好. 分析以上解題過程不難發(fā)現(xiàn)，大家解題時都是從函數(shù)的“形”出發(fā)的，借助對數(shù)的精準把握解決了問題.

2. 課堂小結(jié)

師：經(jīng)歷以上過程，談談你有哪些收獲.

生11：函數(shù)圖像與x軸的交點、函數(shù)的零點以及方程的根緊密相連，在解決此類問題時應重視三者的互換.

生12：借助形的直觀可以給我們智慧的啟迪.

……

在此環(huán)節(jié)中，教師引導學生進行回顧、反思，感悟數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)性，體驗數(shù)學思想方法重要的應用價值.

教學思考

因受學習能力、思維方式等因素的影響，學生的思考習慣和解題習慣也會有所差異，在教學中，教師要為學生提供一定的時間和空間來呈現(xiàn)這種差異，以此通過有效的互動交流，發(fā)散學生的思維，提高學生的解題能力. 對于函數(shù)的零點這一重要考點，在前面的教學重點中講解過，但因為缺乏對函數(shù)的零點、函數(shù)圖像與x軸的交點以及方程的根之間的互換，影響了解題效果. 在本節(jié)課教學中，筆者精心挑選問題，引導學生通過自主探究和合作交流，體驗等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等思想方法的重要應用，提高了學生的解題能力. 結(jié)合以上教學實踐，筆者談幾點教學感悟：

1. 以生為本，完善認知

課堂的主體是學生，要提高教學有效性，必須充分調(diào)動學生參與的積極性. 為了讓學生能夠積極主動地參與課堂教學，教師設計教學方案、組織教學活動時，應從學生出發(fā)，遵循教學實際. 在教學中，教師要充分理解學生、理解教材，找到學生的認知漏缺，發(fā)現(xiàn)學生學習的難點，找到學生出錯的主要原因，以此通過有針對性的引導和啟發(fā)來完善學生認知，發(fā)展學生的學習能力. 例如在本節(jié)課教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生求解關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)問題時，常常漏洞百出，因此精心設計了此次微專題活動，引導學生通過獨立思考、合作交流發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到解決問題的方法，以此提高解題技能. 整個教學中，教師“以生為本”，鼓勵學生從不同角度尋找解決問題的方法，可以發(fā)散學生的思維，提高學生數(shù)學綜合應用能力.

2. 突出熱點，避免盲點

考試雖然不是最終目的，卻是檢查學生學習效果的重要手段. 在高三復習教學中，教師應重點分析高考的熱門考點，以此通過有針對性的教學提高學生的應試能力. 如函數(shù)的零點問題就是一個熱門考點，其重點考查的是學生在處理這些問題時應用的數(shù)學方法. 雖然新課標對函數(shù)概念教學并沒有太高的要求，但若在教學中也僅僅是就概念講概念，不關(guān)注概念的本質(zhì)及與其他知識間的聯(lián)系，這樣勢必會形成一個教學盲點，學生也很難通過等價轉(zhuǎn)換靈活解決此類問題. 因此，在高三復習教學中，教師要認真研究高考，把握高考的命題方向，消除教學盲點，提高學生解決實際問題的能力.

3. 滲透方法，發(fā)展能力

在數(shù)學教學中，教師要為學生創(chuàng)設一個廣闊的學習空間，引導學生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去交流，以此培養(yǎng)學生的學習能力，提高學生的創(chuàng)造潛能. 在本節(jié)課教學中，筆者以學生自主探究為主線，鼓勵學生合作交流，以此讓學生更好地了解知識背景，體會轉(zhuǎn)化思想對數(shù)學學習和解決數(shù)學問題的重要意義. 同時，在本節(jié)課教學中，筆者鼓勵學生多角度思考問題，尋找不同的解決問題的方法，體會數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等思想方法的價值，借助不同數(shù)學語言的相互轉(zhuǎn)化，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

總之，在高三復習教學中，教師應從教學實際出發(fā)，了解學生之所想，之所悟，通過有效的引導和啟發(fā)來激發(fā)學生的潛能，讓學生理解和掌握數(shù)學的研究方法，以此提高學習能力，提升數(shù)學素養(yǎng).

作者簡介：駱銀海（1979—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學與研究工作，曾獲諸暨市高中數(shù)學教學一等獎，諸暨市學科帶頭人.