王文龍， 譚 暢， 曲智林

(東北林業(yè)大學 理學院，哈爾濱 150040)

1 引 言

旋轉曲面面積的計算是高等數(shù)學中的一個重要問題，一些教材[1-2]給出了平面光滑曲線繞坐標軸旋轉形成的旋轉曲面面積公式.文獻[3]給出了平面光滑曲線段繞同平面內(nèi)直線旋轉所成的旋轉曲面的面積公式，文獻[4-5]討論了以參數(shù)方程給出的空間曲線繞空間定直線形成的旋轉曲面面積的計算，作為此結果的進一步完善，本文分別在空間曲線以參數(shù)方程及多項式方程組形式的一般方程描述時，給出了空間光滑曲線繞空間直線形成的旋轉曲面面積的計算方法.

2 坐標面上曲線段繞定直線旋轉所得旋轉曲面面積的思想方法

(1)

例1求直線段l∶y=x+3(0≤x≤1)繞直線L:2x-y+1=0旋轉一周所得旋轉曲面的面積.

解線段l繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

3 空間曲線段繞定直線旋轉所得旋轉曲面面積注記

3.1 空間曲線以參數(shù)方程給出時旋轉曲面面積的計算

(2)

其中

則曲線段Γ繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

注 定理1得到的曲面面積公式在形式上與所給的直線方程有關，其中涉及直線上所取定點M0(x0,y0,z0)及直線給定的方向向量s={m,n,p}.為說明公式的確定性，另取直線L上任意其它點M′0(x′0,y′0,z′0)及直線的另一方向向量s′={km,kn,kp}，由點M′0在直線上L上，故

x′0-x0=λm,y′0-y0=λn,z′0-z0=λp,

將M′0與s′代入g(t)公式得

因此，公式(2)與直線上點的選取及直線方向向量的選取無關.

則Γ上直線段AB繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

則曲線段Γ繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

3.2 空間曲線以多項式方程組給出時旋轉曲面面積的計算

設K是一個數(shù)域，K上的n元多項式全體記為K[x1,x2,…,xn].

引理1(Shape引理)[8]假設I是K[x1,x2,…,xn]中的零維根理想，且其零點集的第n個坐標xn互不相同，G為I在字典序x1?lexx2?lex…?lexxn下的Groebner基，則G中含有如下n個元：

其中h1,h2,…,hn為xn的次數(shù)不超過m-1的單變量多項式.

解將x作為參數(shù)，多項式z3+x2z+x2y-xz-x3，xy+z2-z在多項式環(huán)(x)[y,z]上字典序y?lexz下Groebner基為{z3-xz2+x2z-x3，xy+z2-z}，由z3-xz2+x2z-x3=0可解得z=x，代入xy+z2-z=0可得y=1-x，于是曲線參數(shù)方程為x=x,y=1-x,z=x.設M(x,y,z)為曲線段Γ上任一點，直線L的方向向量s={2,-1,1}，取M0(0,0,1)，則有曲線段Γ上任一點M(x,y,z)到直線L的距離為

則曲線段Γ繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

則曲線段Γ繞直線L旋轉一周所得旋轉曲面的面積為

4 結 論

本文給出了利用第一型曲線積分求空間曲線繞空間定直線旋轉所得旋轉曲面面積的兩點注記.對于空間曲線方程是參數(shù)形式或者多項式方程組給出的一般形式，旋轉曲面的面積一定可由第一型曲線積分表示，進而轉化為定積分形式，通過實例分析可知，該方法是可行的.對于一些旋轉曲面面積的積分表達式較為復雜的情況，如果不能求得面積的精確值，可以利用數(shù)值積分求其面積的近似值.若空間曲線以其它形式的一般方程給出，其參數(shù)方程的獲得一般較為困難，相應旋轉曲面面積的計算是一個難點，有待于進一步的研究.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.