鐘熒杏 肖桂娜

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

在物理教學(xué)中，牛頓擺經(jīng)常用來(lái)演示動(dòng)量守恒．在理想情況下，金屬球之間的碰撞為彈性碰撞，且由于小球質(zhì)量相等會(huì)發(fā)生速度交換．但是現(xiàn)實(shí)中由于空氣阻力與小球間的相互作用帶來(lái)的能量損耗，我們可以觀察到隨著碰撞次數(shù)的增加，小球擺出的高度越來(lái)越低直至停止．

本實(shí)驗(yàn)通過描繪出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，進(jìn)一步定量測(cè)出小球運(yùn)動(dòng)過程中的位移、動(dòng)量隨時(shí)間變化的圖像，從而得到牛頓擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)并分析其動(dòng)量衰減過程以供物理教學(xué)參考．

1 理論分析

1.1 連續(xù)碰撞模型

連續(xù)碰撞模型認(rèn)為牛頓擺中相鄰小球會(huì)發(fā)生兩體碰撞，且由于剩下的小球相互獨(dú)立因此不會(huì)受碰撞影響，能量與動(dòng)量能夠在球鏈間發(fā)生有效傳遞．在此條件下假設(shè)質(zhì)量為m1的小球碰撞質(zhì)量為m2的小球，由碰撞瞬間動(dòng)量與能量守恒可得

(1)

(2)

由

m1=m2

則可得碰撞后

即兩個(gè)小球碰撞之后會(huì)發(fā)生速度交換．應(yīng)用到連續(xù)碰撞的牛頓擺系統(tǒng)可得末端小球?qū)?huì)以初始擺出小球首次碰撞前的速度而擺出，而其他小球?qū)⑻幱陟o止?fàn)顟B(tài)．在此模型下小球停下是由于空氣阻力的作用，小球間的碰撞沒有能量與動(dòng)量損失．

1.2 “彈簧-質(zhì)點(diǎn)”碰撞模型

在實(shí)際中牛頓擺各個(gè)小球緊密相連，第一個(gè)小球落下會(huì)與其他小球發(fā)生作用．因此，連續(xù)碰撞模型并不符合實(shí)際，更為科學(xué)的是“彈簧-質(zhì)點(diǎn)”模型[1]．如圖1所示，小球間的彈簧可以等效為小球在碰撞過程中發(fā)生的形變，碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)換包括小球的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能．

圖1 “彈簧-質(zhì)點(diǎn)”模型

將牛頓擺簡(jiǎn)化為一系列大小相同、質(zhì)量相等，于光滑水平面緊密排列的n球球鏈．對(duì)于此系統(tǒng)一次碰撞中的相鄰兩個(gè)小球其相互作用模型可表示為圖2所示．

圖2 相鄰小球相互作用模型

其中ξ為小球間彈性作用力的相對(duì)位置變化量，將其定義為[2]

ξn+1=2R-(xn+1-xn)=2R-xn+1+xn

(3)

小球間彈性作用力滿足Hertz彈性定律

F=0 (ξ<0)

(4)

F=κξα(ξ≥0)

(5)

(6)

2 利用Tracker軟件研究牛頓擺的運(yùn)動(dòng)

2.1 Tracker軟件介紹

Tracker軟件是一個(gè)建模工具與視頻跟蹤分析軟件，可用于做實(shí)驗(yàn)時(shí)自動(dòng)或者手動(dòng)跟蹤物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，并可以得出位移、動(dòng)量等物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了方便快捷地對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行探究．Tracker將是未來(lái)物理教學(xué)的新工具，它轉(zhuǎn)變了傳統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)只能觀察現(xiàn)象的弊端而提供了定量分析的功能，讓研究更加的準(zhǔn)確、科學(xué)．

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟與數(shù)據(jù)獲取

(1)為軟件方便追蹤，將牛頓擺放置于純色背景外，標(biāo)記好待研究小球，如圖3所示．

圖3 牛頓擺裝置圖

(2)本實(shí)驗(yàn)使用的牛頓擺為7球牛頓擺，拍攝裝備為智能手機(jī)與手機(jī)三腳架．調(diào)整手機(jī)高度與拍攝角度，盡量豎直齊平拍攝，不使視頻產(chǎn)生視角誤差．

(3)撥動(dòng)小球開始拍攝，待小球停止運(yùn)動(dòng)完成視頻拍攝．

(4)將所拍攝視頻拉入Tracker軟件視窗中．選擇起始幀與結(jié)束幀，添加質(zhì)點(diǎn)小球并建立坐標(biāo)軸，將坐標(biāo)原點(diǎn)置于待研究小球，橫軸與小球排列方向重合并將正方向定為向右．以實(shí)際測(cè)量尺寸數(shù)據(jù)為定標(biāo)尺進(jìn)行長(zhǎng)度定標(biāo)，固定并隱藏坐標(biāo)軸與定標(biāo)尺．Tracker軟件界面如圖4所示．

圖4 Tracker軟件界面圖

(5)在圖形視圖中橫坐標(biāo)設(shè)置為時(shí)間，縱坐標(biāo)分別設(shè)置為小球x軸方向位移、動(dòng)量．

(6)按住Shift+Ctrl鍵點(diǎn)擊標(biāo)記點(diǎn)完成第一幀畫面坐標(biāo)定位．調(diào)整搜索方框大小，點(diǎn)擊搜索，Tracker軟件會(huì)自動(dòng)追蹤研究小球中標(biāo)記點(diǎn)的位置并得到相關(guān)數(shù)據(jù)與圖線．

本實(shí)驗(yàn)拉起右端小球使牛頓擺開始運(yùn)動(dòng)，左端小球隨后擺出[4]．以下分析中球A為右端小球，球B為左端小球．

2.3 運(yùn)動(dòng)周期研究

將球A作為研究對(duì)象，由Tracker軟件追蹤小球運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖5所示．

圖5 球A在x軸方向位移隨時(shí)間變化圖線

2.4 運(yùn)動(dòng)軌跡研究

截取小球A在x軸方向位移隨時(shí)間變化圖線中8個(gè)周期并分析牛頓擺運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6所示．

圖6 x軸方向位移隨時(shí)間變化圖線

由圖6知小球擺出的最大位移隨時(shí)間而減小，可以說明小球運(yùn)動(dòng)過程中有能量損失．每個(gè)周期前半段的類簡(jiǎn)諧圖像為小球擺出的位移圖線，后半段為小球擺出回歸后的位移圖線．后半段圖線可以說明小球擺出回歸并碰撞后并不是完全靜止而是與中間的“不活躍”小球一起運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也可知中間的“不活躍”小球在牛頓擺運(yùn)動(dòng)過程中并不是完全靜止，也獲得了少許的動(dòng)能．

為對(duì)比左右兩端小球運(yùn)動(dòng)軌跡，截取小球A與小球B在x軸方向位移隨時(shí)間變化圖線中起始幀與結(jié)束幀相同的兩段圖線，對(duì)齊圖像時(shí)間軸并讓圖線中碰撞點(diǎn)移到同一高度后得圖7．

圖7 兩端小球x軸方向位移圖線重合圖

圖線中兩個(gè)小球相互碰撞時(shí)的數(shù)據(jù)點(diǎn)能基本重合，表示小球間碰撞時(shí)間極短．且兩個(gè)小球擺出部分曲線能組成一個(gè)完整的類簡(jiǎn)諧曲線，左右端小球的運(yùn)動(dòng)可類比于同擺長(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)的兩部分．

上下鏡像處理左端小球圖線，并將小球B圖線向右水平移動(dòng)使其時(shí)間軸后于小球A半個(gè)周期，如圖8所示．

圖8 兩端小球x軸方向位移圖線鏡像重合圖

圖8中圖線基本重合說明左右兩端小球運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)稱．且小球B圖線的最高點(diǎn)高于小球A，由此也可知運(yùn)動(dòng)過程中有能量損失．

2.5 動(dòng)量研究

由Tracker軟件獲得小球A動(dòng)量隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化圖線，如圖9所示．

由圖9得出小球的動(dòng)量隨時(shí)間而減小，牛頓擺運(yùn)動(dòng)過程中有動(dòng)量損失，其動(dòng)量并不守恒．

圖9 小球A動(dòng)量隨時(shí)間的變化圖線

截取小球A與小球B在x軸方向動(dòng)量隨時(shí)間變化圖線中起始幀與結(jié)束幀相同的兩段圖線，并向右水平移動(dòng)小球B圖線使其時(shí)間軸后于小球A半個(gè)周期，所得圖線如圖10所示．

由圖10可知同一周期中兩個(gè)小球的動(dòng)量變化趨勢(shì)基本一致．小球B動(dòng)量變化圖線的最高點(diǎn)高于小球A，可知小球間的碰撞有動(dòng)量損失．

圖10 兩端小球動(dòng)量圖線重合圖

為更好地比較對(duì)稱兩端小球動(dòng)量變化，截取幾個(gè)相鄰的周期中球A與球B同一x軸位移處的動(dòng)量，從Tracker軟件分析圖線中得出，得到表1與表2所示數(shù)據(jù).

表1 球A對(duì)稱點(diǎn)動(dòng)量與時(shí)間

表2 球B對(duì)稱點(diǎn)動(dòng)量與時(shí)間

由表1和表2繪制動(dòng)量隨時(shí)間變化圖線如圖11所示．

圖11 兩端小球?qū)ΨQ位置動(dòng)量隨時(shí)間變化圖線

由圖11可知小球擺出后幾乎沒有動(dòng)量損失，牛頓擺運(yùn)動(dòng)過程中主要?jiǎng)恿繐p失來(lái)自于小球間的碰撞過程，而小球擺出過程中的動(dòng)量損失較?。?/p>

3 結(jié)論與建議

本文用Tracker軟件描繪出牛頓擺中小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，并由此分析比較兩端小球的位移變化圖線得出牛頓擺運(yùn)動(dòng)的軌跡特點(diǎn)．同時(shí)分析動(dòng)量變化圖線得出牛頓擺的動(dòng)量衰減過程特點(diǎn)．通過本實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚩茖W(xué)、定量地研究牛頓擺的運(yùn)動(dòng)過程，而且利用手機(jī)拍攝視頻后用電腦自動(dòng)追蹤分析的過程簡(jiǎn)單快捷，可用于物理教學(xué)中研究牛頓擺的運(yùn)動(dòng)，由此可見本實(shí)驗(yàn)具有一定的科學(xué)性與價(jià)值性．