藍(lán)志強(qiáng) 農(nóng)佳偉 魏賢浩 李錫林 王建林 丁思治 韋文樓

(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣西 南寧 530004)

重力加速度是物理學(xué)中的一個(gè)重要參量，通常以g來(lái)表示．重力加速度g值隨著緯度、海拔高度的不同而不同，因此，地球上不同的地區(qū)具有不同的重力加速度g值．重力加速度的測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要內(nèi)容．目前，對(duì)重力加速度測(cè)量的實(shí)驗(yàn)方法有單擺法[1-2]，落球法[3-4]，干涉法[5-6]以及簡(jiǎn)諧振動(dòng)法[7-8]等．單擺法測(cè)量重力加速度，由于擺長(zhǎng)不易測(cè)量，擺幅不易控制，導(dǎo)致測(cè)量不準(zhǔn)確．采用落球法實(shí)驗(yàn)測(cè)量重力加速，由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中落球點(diǎn)不能穩(wěn)定在同一位置，造成的偶然誤差也難以克服．而采用干涉法測(cè)量重力加速度，由于設(shè)備成本過(guò)高，不易在大中專(zhuān)院校以及中小學(xué)推廣．此外，也有報(bào)道利用智能手機(jī)結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)重力加速進(jìn)行測(cè)試，但由于智能手機(jī)的成本較高，且需要安裝某一特定的軟件，方可進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)，也不利于課堂教學(xué)的順利進(jìn)行．因此，如何在降低成本的同時(shí)，提高加速度的測(cè)量精度非常重要．

基于上述原因，本文根據(jù)彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)，利用光電門(mén)技術(shù)測(cè)量彈簧振子的振動(dòng)周期，并結(jié)合最小二乘法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量重力加速度，其方法簡(jiǎn)單，成本低，測(cè)量結(jié)果精確度高．

1 實(shí)驗(yàn)原理

將質(zhì)量為m0的柱形彈簧一端固定于支架上，另一端系上質(zhì)量為m的振子，構(gòu)成了一個(gè)彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型．若使彈簧振子在外力作用下離開(kāi)平衡位置少許，然后釋放，彈簧振子將在平衡位置附近做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的周期T為[9]

(1)

式中，κ為彈簧的勁度系數(shù)．在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了提高精度，往往測(cè)量彈簧振子振動(dòng)n個(gè)周期所用的時(shí)間T′，則式(1)可變形為

(2)

根據(jù)式(2)，可得柱形彈簧的勁度系數(shù)為

(3)

可見(jiàn)，在m0和m一定的條件下，通過(guò)測(cè)量彈簧振子振動(dòng)n個(gè)周期數(shù)所用的時(shí)間T′，即可得出彈簧的勁度系數(shù)κ．

此外，由胡克定律知，在彈性形變的范圍內(nèi)，彈簧的形變量ΔY與所受到的拉力F成正比，即

F=κΔY

(4)

在實(shí)驗(yàn)中，拉力F可以通過(guò)添加砝碼來(lái)實(shí)現(xiàn)．若彈簧初始位置為Y0，在拉力F=Mg的作用下，其末位位置為Y，則式(4)可寫(xiě)成

Mg=κ(Y-Y0)

(5)

(6)

令

則

M=aY+b

(7)

通過(guò)添加砝碼，測(cè)量彈簧在砝碼質(zhì)量為Mi時(shí)所處的位置Yi，即可得出Mi-Yi關(guān)系曲線．再用最小二乘法確定曲線的斜率a，即可得出重力加速度

(8)

2 實(shí)驗(yàn)部分

2.1 實(shí)驗(yàn)器材

圖1為重力加速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置.具體零部件如下：游標(biāo)卡尺，在游標(biāo)部分前端加一塊帶有與刻度平行的平直劃線的反光鏡，游標(biāo)卡尺最小分度值為0.02 mm，最大允差為±0.02 mm；電子天平，精度為0.2 mg，最大允差為±0.2 mg；鐵架臺(tái)，可安裝游標(biāo)卡尺、光電門(mén)以及彈簧；彈簧、鑷子、砝碼若干以及底部帶有針尖的砝碼盤(pán)；光電門(mén)數(shù)字計(jì)時(shí)器，計(jì)時(shí)精度0.02 s，計(jì)時(shí)范圍0.01～999.9 s,計(jì)數(shù)范圍0～9 999.

圖1 重力加速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置

2.2 M-Y數(shù)據(jù)表

為了測(cè)量彈簧的伸長(zhǎng)量與所添加砝碼質(zhì)量的關(guān)系，表1給出了彈簧形變量與所添加砝碼質(zhì)量之間的關(guān)系數(shù)據(jù)表.添加砝碼質(zhì)量為Mi時(shí)，記錄砝碼盤(pán)底端針尖對(duì)應(yīng)的讀數(shù)Y1i，減砝碼過(guò)程再次記錄相應(yīng)的讀數(shù)Y2i，取

表1 M-Y數(shù)據(jù)表

2.3 振動(dòng)周期的測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)中，在確保在彈簧彈性形變的范圍內(nèi)，我們以彈簧質(zhì)量m0=11.776 2×10-3kg、彈簧振子質(zhì)量m=30.283 2×10-3kg構(gòu)建成一個(gè)彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，利用光電門(mén)技術(shù)以及計(jì)數(shù)器記錄彈簧振子做豎直振動(dòng)70個(gè)周期所用的時(shí)間T′，重復(fù)測(cè)量8次，所得測(cè)量結(jié)果列于表2．從測(cè)量結(jié)果可知，彈簧振子振動(dòng)70個(gè)周期所用時(shí)間的最小值和最大值之間的差值在0.03 s以?xún)?nèi)，說(shuō)明該裝置測(cè)量彈簧振子振動(dòng)周期穩(wěn)定性高．

表2 彈簧振子振動(dòng)70個(gè)周期數(shù)據(jù)記錄表

3 討論分析

根據(jù)胡克定律，在彈性形變的范圍內(nèi)，彈簧的伸長(zhǎng)量與所受到的拉力成正比，即在彈性形變的范圍內(nèi)，彈簧的伸長(zhǎng)量與所受到的拉力呈線性關(guān)系，由式(7)以及表1可知

εi=Mi-(aYi+b)

(9)

其中εi為偏差，Yi為當(dāng)所添加砝碼質(zhì)量為Mi時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，a和b為變量，則

由最小二乘法原理可知，偏差的平方和最小，分別對(duì)變量a和b求變偏導(dǎo)，得

(10)

解得

(11)

其中

以及

此外，上式中a和b的標(biāo)準(zhǔn)差為

(12)

在上述擬合過(guò)程，由最小二乘法原理得擬合的相關(guān)系數(shù)R為

(13)

Excel程序提供了計(jì)算以上參數(shù)的現(xiàn)成函數(shù)

(14)

式中因子tν是概率為95%、自由度為ν時(shí)的t分布因子，可由表3查得．

表3 計(jì)算A類(lèi)不確定度的 t 因子表 (置信概率為95%)

將表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(11)～(14)得

(15)

因此上述M-Y的關(guān)系可繪制如圖2所示.

圖2 M-Y的關(guān)系圖

由表2得

(16)

(17)

(18)

則時(shí)間T′的測(cè)量結(jié)果為

(19)

由式(3)可得

1.788 N/m

(20)

由

得

(21)

兩邊取微分

(22)

而κ的相對(duì)不確定度為

(23)

由

m=30.283 2 g

m0=11.776 2 g

Δm=Δm0=0.000 2 g

可知

此時(shí)式(23)可寫(xiě)成

(24)

從而κ的不確定度為

(25)

因此，彈簧的勁度系數(shù)κ為

(26)

將

代入式(6)，得

(27)

由式(8)可得到g的相對(duì)不確定度

0.036=0.36%

(28)

得g的不確定度為

0.036 m/s2

(29)

因此，重力加速度的測(cè)量結(jié)果為

(30)

表4 研究彈簧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表

表5 不同參數(shù)條件下重力加速度的測(cè)量值

由表5所列測(cè)量結(jié)果可知，不同彈簧振子質(zhì)量m、不同振動(dòng)周期n下，所得重力加速度的測(cè)量結(jié)果與本地重力加速度值(9.788 m/s2)高度吻合，當(dāng)彈簧振子質(zhì)量m0=20.144 9 g，振動(dòng)周期數(shù)n為50，70，80次時(shí)，測(cè)量所得重力加速度具有最小值，其結(jié)果為9.770 m/s2，此時(shí)相對(duì)不確定度為0.4%，與公認(rèn)值相對(duì)不確定度為0.2%；當(dāng)彈簧振子質(zhì)量m0=55.489 5，振動(dòng)周期數(shù)n為50和80次時(shí)，測(cè)量所得重力加速度具有最大值，其結(jié)果為9.803 m/s2，此時(shí)相對(duì)不確定度為0.3%，與公認(rèn)值相對(duì)不確定度為0.2%；而當(dāng)彈簧振子質(zhì)量m0=30.283 2 g時(shí)，測(cè)量值與公認(rèn)值相對(duì)不確定度為0.01%．可見(jiàn)，在不同彈簧振子質(zhì)量、不同的振動(dòng)周期條件下，只要在彈簧的彈性形變范圍內(nèi)，測(cè)量所得的重力加速度具有高度的穩(wěn)定性，說(shuō)明該實(shí)驗(yàn)裝置性能穩(wěn)定，測(cè)量重力加速度結(jié)果的可信度高．

4 結(jié)論

通過(guò)光電門(mén)技術(shù)測(cè)量簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)周期，并結(jié)合最小二乘法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量重力加速度，在彈簧振子質(zhì)量固定不變的情況下，改變彈簧振子振動(dòng)周期；或者在彈簧振子振動(dòng)周期不變的情況下，改變彈簧振子的質(zhì)量，測(cè)量所得的重力加速度值均與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎蹈叨纫恢?，并且測(cè)量精度可達(dá)0.4%，與公認(rèn)值相對(duì)不確定可達(dá)0.01%．

該設(shè)備只要在彈簧彈性形變范圍內(nèi)，彈簧振子的質(zhì)量以及振子振動(dòng)周期均可隨機(jī)選擇，大大提高了實(shí)驗(yàn)的機(jī)動(dòng)性．同時(shí)該裝置原理簡(jiǎn)單，通俗易懂，操作方便，成本低，且易于推廣，可以充當(dāng)大中專(zhuān)院校教學(xué)儀器．