謝加良，陳艷玲，朱榮坤，賓紅華，李 鳳

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

試卷分析作為教學(xué)工作的組成部分，對于了解學(xué)生理解和掌握知識的程度，找出教學(xué)改革中存在的問題，具有重要的指導(dǎo)作用。試卷分析內(nèi)容主要包括試卷質(zhì)量和學(xué)生成績兩個方面。有學(xué)者基于數(shù)理統(tǒng)計的方法，從信度、效度、難度、區(qū)分度評價試卷的質(zhì)量[1-3]，從得分率、平均分、及格率等方面分析考核結(jié)果[4]，取得了良好的效果。

為了多維度分析試卷，許多經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法被應(yīng)用于試卷分析。例如，王平等[5]用聚類算法根據(jù)考核數(shù)據(jù)的相似度將學(xué)生聚成不同的類別，針對不同類別學(xué)生的特點提出相應(yīng)的教學(xué)策略。孫小雪等[6]采用決策樹C4.5分類算法實現(xiàn)海量學(xué)生考試成績精準(zhǔn)分類，有效挖掘?qū)W生考試成績中蘊含的有用信息。經(jīng)典挖掘關(guān)聯(lián)規(guī)則的Apriori算法被用于挖掘試題對應(yīng)知識點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系[7-11]，并根據(jù)不同的實際需要進(jìn)一步加以改進(jìn)。例如，王華等[12]采用改進(jìn)的Apriori算法挖掘出學(xué)生成績數(shù)據(jù)中隱藏的課程關(guān)聯(lián)規(guī)則。袁路妍等[13]通過減少連接中無效比較的次數(shù)來優(yōu)化Apriori算法，并將其用于挖掘不同課程之間的關(guān)聯(lián)。劉麗娟[14]借助Hadoop技術(shù)改進(jìn)Apriori算法并將其用于挖掘成績數(shù)據(jù)。孫國虹等[15]采用基于事務(wù)壓縮的Apriori算法挖掘大學(xué)生成績預(yù)警系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)，從而對課程學(xué)習(xí)形成有效的預(yù)警。這些改進(jìn)的Apriori算法在一定程度上提升了算法的效率，但都僅采用支持度與置信度進(jìn)行規(guī)則挖掘，無法排除干擾性規(guī)則。為了挖掘有效的規(guī)則，郭鵬等[16]通過引入興趣度改進(jìn)Apriori算法，并用于分析學(xué)生的成績數(shù)據(jù)，挖掘課程關(guān)聯(lián)規(guī)則。劉云翔等[17]利用基于興趣的Apriori算法分析學(xué)生成績，挖掘課程之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。任鴿等[18]引入提升度、興趣度改進(jìn)Apriori算法，挖掘不及格課程之間的關(guān)聯(lián)規(guī)則。王鳳肆[19]運用基于知識點邏輯關(guān)系的Apriori算法挖掘出試卷知識點之間的關(guān)系，但在算法效率方面仍有待優(yōu)化與改善。

基于上述分析，本文在經(jīng)典Apriori算法的基礎(chǔ)上引入提升度、興趣度兩個度量閾值來改進(jìn)規(guī)則篩選機(jī)制，通過壓縮事務(wù)數(shù)據(jù)庫、壓縮候選集、驗證頻繁集等方法來優(yōu)化項集生成步驟。將改進(jìn)的Apriori算法用于分析線性代數(shù)考核數(shù)據(jù)，挖掘出試卷中隱含的知識關(guān)聯(lián)規(guī)則。同時，根據(jù)關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)一步挖掘課程的核心知識點以及學(xué)生的弱項知識點，客觀地測評學(xué)生知識的掌握情況，為下一輪教學(xué)改革提供參考意見。

1 Apriori關(guān)聯(lián)規(guī)則算法及改進(jìn)

1.1 Apriori關(guān)聯(lián)規(guī)則算法

關(guān)聯(lián)規(guī)則是一種挖掘數(shù)據(jù)集之間關(guān)聯(lián)性的算法。Apriori算法是經(jīng)典的挖掘頻繁項集的關(guān)聯(lián)規(guī)則算法，該算法使用逐層搜索通過連接和剪枝兩個過程進(jìn)行迭代。連接的目的是由頻繁k-1項集Lk-1通過連接產(chǎn)生候選集Ck；剪枝的目的是根據(jù)Apriori算法的性質(zhì)剪除Ck中k-1維子集不存在于Lk-1中的項集，從而減少連接時的空間搜索次數(shù)。重復(fù)連接和剪枝直到不能產(chǎn)生新的頻繁項集，得到最大頻繁項集。

1.2 Apriori算法的改進(jìn)

1.2.1 改進(jìn)規(guī)則篩選機(jī)制

原算法僅用支持度S、置信度C篩選強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則，若設(shè)定的最小支持度和最小置信度太小，則會產(chǎn)生無用冗余的規(guī)則，而太大則會遺漏有意義的規(guī)則。因此，引入提升度L、興趣度I兩個閾值來完善規(guī)則篩選機(jī)制。

提升度反映了關(guān)聯(lián)規(guī)則中的X與Y的相關(guān)性，目前普遍采用的提升度計算公式為

其中，L(X→Y)>1表明X與Y呈正相關(guān)，L(X→Y)<1表明X與Y呈負(fù)相關(guān)，L(X→Y)=1表明X與Y不相關(guān)。

興趣度反映了關(guān)聯(lián)規(guī)則正負(fù)相關(guān)的程度。本文采用王桌芳等[20]提出的基于差值的興趣度模型，記為

其中，I(X→Y)越大于0，說明X與Y正相關(guān)程度越高；I(X→Y)越小于0，說明X與Y負(fù)相關(guān)程度越高。

1.2.2 優(yōu)化項集生成步驟

原始的Apriori算法存在缺陷：計算支持度時需掃描事務(wù)數(shù)據(jù)庫的全部記錄；產(chǎn)生大量的候選項集；驗證候選項集Ck時需掃描整個數(shù)據(jù)庫。針對上述問題，提出以下優(yōu)化策略：

(1)壓縮事務(wù)集：根據(jù)最小支持度刪除事務(wù)集中的非頻繁集，避免在計算項集支持度時重復(fù)掃描記錄。

(2)壓縮候選集：根據(jù)Apriori算法的性質(zhì)，若頻繁項集Lk-1中項目i的頻數(shù)小于k-1，則包含i的項集不可能出現(xiàn)在Lk中，所以在連接步前，先刪除Lk-1中包含i的項集，以減少可能產(chǎn)生的候選項集的數(shù)量。

(3)驗證候選集：原算法剪枝時，判斷Ck中所有項集的子集是否存在于Lk-1，生成一個Ck需掃描一遍Lk-1。進(jìn)行改進(jìn)，剪枝時判斷Lk-1的任意項集是否為Ck中項集c的子集，如果是則對c計數(shù)，即表示Lk-1包含c的k-1維子集的個數(shù)。掃描完畢時，若c的計數(shù)小于k則刪除Ck中項集c，改進(jìn)后只需掃描一遍Lk-1。

2 基于改進(jìn)Apriori算法的試卷分析

2.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備及處理

選取作者單位2021—2022學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)期末考試卷面各試題得分情況的數(shù)據(jù)，共計1 245條。依據(jù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(第六版)》的章節(jié)設(shè)置，結(jié)合線性代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)及教學(xué)主要知識點分布，結(jié)合命題教師的出題思想，提取該試卷各試題所考查的知識點，部分試題對應(yīng)的知識點如表1所示。

表1 試題知識點對應(yīng)關(guān)系

通過分析考查知識點可以發(fā)現(xiàn)，該試卷基本覆蓋線性代數(shù)課程所要考查的內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，可以進(jìn)一步進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)分析。

根據(jù)每道試題的得分情況判斷是否掌握該試題知識點，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為0-1型的離散數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換規(guī)則如下：如果某試題得分大于等于該試題滿分的80%，則認(rèn)為考生掌握該試題的知識點，將其成績轉(zhuǎn)換為1；如果得分小于該試題滿分的80%，則認(rèn)為考生沒有掌握該試題的知識點，將其成績轉(zhuǎn)換為0。

在Python3.8環(huán)境下使用改進(jìn)的Apriori算法對處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘，經(jīng)過調(diào)試，設(shè)定最小支持度為 0.3，最小置信度為0.6，最小提升度為1，最小興趣度為0.02，執(zhí)行算法。

2.2 數(shù)據(jù)挖掘結(jié)果分析

2.2.1 試卷知識點關(guān)聯(lián)分析

通過改進(jìn)的Apriori算法挖掘關(guān)聯(lián)規(guī)則，部分有效的強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則見表2。以規(guī)則1為例分析挖掘出的規(guī)則。規(guī)則1的支持度為0.43，置信度為0.85，說明當(dāng)考生答對試題4時，有85%的可能性會答對試題3，由此得出“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”與“試題3-方陣的特征值”知識點之間具有關(guān)聯(lián)關(guān)系?？忌谥R掌握的過程中，“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”是學(xué)習(xí)“試題3-方陣的特征值”的基礎(chǔ)，“試題3-方陣的特征值”的學(xué)習(xí)能進(jìn)一步加強(qiáng)對“試題4 方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”的知識的理解與掌握。

表2 部分有效關(guān)聯(lián)規(guī)則

線性代數(shù)以線性方程組為主線，各章節(jié)知識點之間關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、相互引用的情況多，把握知識點間的關(guān)系、構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系成為有效教學(xué)的關(guān)鍵[21]。通過挖掘結(jié)果可以分析某個知識點在線性代數(shù)課程體系中的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以“試題4”作為前項的有效關(guān)聯(lián)規(guī)則為例進(jìn)行分析(表3)。

表3 以“試題4”為前項的關(guān)聯(lián)規(guī)則

由表3的規(guī)則1～規(guī)則3可知，“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”的學(xué)習(xí)能加深考生對“試題2-矩陣的運算”“試題6-逆矩陣的定義”“試題11-代數(shù)余子式的性質(zhì)”知識的理解。由規(guī)則4～規(guī)則10可知，考生對“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”知識的掌握程度，會影響“試題7-矩陣的初等變換”“試題12-矩陣的初等變換”“試題13-線性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)”“試題15-行列式的性質(zhì)/逆矩陣/矩陣的秩”“試題3-方陣的特征值”“試題9-方陣特征值與特征向量”“試題10-向量組的線性相關(guān)性”的學(xué)習(xí)。在線性代數(shù)課程中，許多問題可以歸結(jié)為通過初等變換化階梯形矩陣，其中涉及線性方程組的求解、特征向量的求法等問題，初等變換包括行列式的變換性質(zhì)、矩陣和線性方程組的初等變換，掌握行列式變換的基本思想有助于對其他兩種變換的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。可見挖掘結(jié)果與線性代數(shù)課程體系基本一致。依此類推，可以分析試卷其他知識點的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

結(jié)合試卷提取的知識點，匯總試卷知識點關(guān)聯(lián)規(guī)則，構(gòu)建線性代數(shù)知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖(圖1)，分別以15個節(jié)點表示試卷中15道試題的知識點，各個節(jié)點通過有向線段連接，由規(guī)則前項指向規(guī)則后項，表示試卷知識點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

圖1 知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)試卷知識點關(guān)聯(lián)規(guī)則，優(yōu)化線性代數(shù)知識點關(guān)聯(lián)圖，繪制樹型知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖(圖2)，能夠更直觀地反映初試卷知識點的前后邏輯關(guān)系。

圖2 樹型知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖

2.2.2 試卷考核數(shù)據(jù)分析

根據(jù)試卷樹型知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖，結(jié)合各試題的得分率，分析考生在線性代數(shù)課程的弱項知識點。

2.2.2.1 考生整體知識結(jié)構(gòu)分析

計算1 245位考生組成的整體在各個試題的得分率，根據(jù)得分率將知識掌握程度劃分為5個等級。整體考生對試卷知識點的掌握情況如表4所示。

表4 考生整體知識掌握情況

根據(jù)考生整體知識掌握情況，依照樹型知識點關(guān)聯(lián)圖(圖2)，梳理考生整體的知識掌握過程。在掌握差的4個知識點和掌握一般的4個知識點中，“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”“試題8-方陣行列式的性質(zhì)”掌握差，并且“試題9-方陣的特征值與特征向量”“試題14-向量組的線性相關(guān)性/向量組的秩”掌握一般時，會導(dǎo)致“試題11-代數(shù)余子式的性質(zhì)”“試題15-行列式的性質(zhì)/矩陣的秩/逆矩陣”掌握差，同時會導(dǎo)致“試題7-矩陣的初等變換”“試題10-向量組的線性相關(guān)性”掌握一般。因此，考生整體的弱項知識點是“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”“試題8-方陣行列式的性質(zhì)”“試題9-方陣的特征值與特征向量”“試題14-向量組的線性相關(guān)性/向量組的秩”。

因此，建議教師在講授“方陣行列式的性質(zhì)”的內(nèi)容時，初步培養(yǎng)學(xué)生初等變換的思想，為學(xué)習(xí)矩陣和線性方程組的初等變換做好鋪墊。在講授“方陣的特征值與特征向量”“向量組的線性相關(guān)性/向量組的秩”等知識時，增設(shè)“方陣行列式的性質(zhì)”的練習(xí)內(nèi)容，理清初等行、列變換的適用場合，在知識應(yīng)用過程中深化對初等變換的理解。

2.2.2.2 考生個體知識結(jié)構(gòu)分析

隨機(jī)抽取1111號考生的線性代數(shù)考試成績，計算該考生在各個試題的得分率，其對試卷知識點的掌握情況如表5所示。

表5 1111號考生知識掌握情況

依照樹型知識點關(guān)聯(lián)圖(圖2)，梳理1111號考生的知識掌握過程。在掌握差的4個知識點和掌握一般的“試題10-向量組的線性相關(guān)性”中，“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣的定義”“試題8-方陣行列式的性質(zhì)”“試題9-方陣的特征值與特征向量”掌握程度差時，會導(dǎo)致“試題10-向量組的線性相關(guān)性”掌握一般，進(jìn)而導(dǎo)致“試題15-行列式的性質(zhì)/矩陣的秩/逆矩陣”掌握差。因此1111號考生的弱項知識點是“試題4-方陣行列式的性質(zhì)/逆矩陣”“試題8-方陣行列式的性質(zhì)”“試題9-方陣的特征值與特征向量”。

因此，建議教師在“方陣行列式”“方陣的特征值與特征向量”的教學(xué)中應(yīng)幫助1111號學(xué)生理清初等行列變換的適用問題，例如求矩陣的特征值與特征向量時只能用初等行變換，在其后項知識的教學(xué)前布置“方陣行列式”“方陣的特征值與特征向量”的復(fù)習(xí)任務(wù)。建議1111號考生自主增強(qiáng)對“方陣行列式”“方陣的特征值與特征向量”的理解和練習(xí)，增強(qiáng)在后項知識中的應(yīng)用能力。

3 結(jié)語

試卷分析評價是教學(xué)工作的重要內(nèi)容，本文從規(guī)則篩選機(jī)制和項集生成步驟兩方面改進(jìn)Apriori算法，提出一種基于改進(jìn)Apriori算法的試卷分析方法，并將其用于分析線性代數(shù)成績。經(jīng)實例驗證該算法可以挖掘出試卷中隱含的知識關(guān)聯(lián)規(guī)則，對試卷進(jìn)行總體評價，客觀地測評學(xué)生知識的掌握情況。同時，根據(jù)關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)一步挖掘課程的核心知識點以及學(xué)生的弱項知識點，從而為下一輪教學(xué)改革提供參考意見。這個方法也同樣適用于其他學(xué)科的試卷分析，具有可推廣性和適用性。