曹 偉，蔡和倫，謝卓尊，劉 斌，江開勇

(華僑大學(xué) 福建省特種能場制造重點實驗室/廈門市數(shù)字化視覺測量重點實驗室，福建 廈門 361021)

0 引言

多孔結(jié)構(gòu)具有比強度高、比表面積大、輕量節(jié)材、饋能減振等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、生物醫(yī)療等眾多領(lǐng)域。近年來，隨著增材制造技術(shù)的飛速發(fā)展，使得具有復(fù)雜內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)的零件制造成為可能，因此多孔結(jié)構(gòu)的輕量化、定制化設(shè)計和建模逐漸成為當(dāng)前增材制造技術(shù)最具挑戰(zhàn)性的研究方向之一，主要表現(xiàn)為建模過程復(fù)雜、數(shù)據(jù)量龐大、計算和仿真成本較高等。此外，對于更加復(fù)雜的功能梯度多孔結(jié)構(gòu)(Functionally Gradient Porous Materials, FGPMs)，要求根據(jù)零件局部應(yīng)力大小和方向設(shè)計其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在保證幾何連續(xù)的情況下滿足梯度力學(xué)性能，極大地增加了設(shè)計復(fù)雜度。

根據(jù)建模方法的不同，多孔結(jié)構(gòu)可以分為規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)和不規(guī)則的隨機多孔結(jié)構(gòu)。由于設(shè)計方便、可控性高，早期的多孔結(jié)構(gòu)大多基于規(guī)則胞元的晶格結(jié)構(gòu)，即采用規(guī)則胞元陣列填充設(shè)計空間，主要包括蜂窩結(jié)構(gòu)、菱形晶格結(jié)構(gòu)、立方體結(jié)構(gòu)、三周期極小曲面等[1-3]。蜂窩結(jié)構(gòu)是一種由眾多柱狀孔穴胞元密鋪組成的多孔結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在節(jié)省材料的同時，保證了較高的比強度與比剛度。邢昊等[4]針對二維蜂窩結(jié)構(gòu)在共面方向集中載荷作用下承載性能不足的問題,提出一種基于拓?fù)鋬?yōu)化密度映射的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模方法。針對多孔結(jié)構(gòu)內(nèi)部支撐難以去除的問題，WU等[5]提出一種自支撐的菱形晶格結(jié)構(gòu)，并用該結(jié)構(gòu)填充零件內(nèi)部，通過調(diào)節(jié)不同晶格的壁厚實現(xiàn)力學(xué)性能的梯度分布;WANG等[6]提出一種改進的面心立方多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過選擇性激光融化(Selective Laser Melting, SLM)工藝打印后研究其抗沖擊行為。三周期極小曲面(Triply-Periodic Minimal Surface, TPMS)是一種數(shù)學(xué)上定義的空間結(jié)構(gòu)，整個結(jié)構(gòu)沒有自交點，具有無限延伸表面和復(fù)雜的開孔結(jié)構(gòu)[7]。REN等[8]提出一種多尺度混合TPMS優(yōu)化設(shè)計模型，該模型能較好地解決不同尺度下TPMS間邊界的連續(xù)性問題，并建立了應(yīng)力與TPMS之間的映射關(guān)系。此外，在上述結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，還衍生出一些變異的晶格結(jié)構(gòu)，例如對稱雙金字塔型的十二面體結(jié)構(gòu)、星型結(jié)構(gòu)等，通過改變連接桿的直徑或面的厚度實現(xiàn)力學(xué)性能的梯度分布[9-10]。雖然規(guī)則晶格多孔結(jié)構(gòu)能夠降低設(shè)計復(fù)雜度、減少設(shè)計周期，但是由于其固有特性，其設(shè)計自由度較低，對復(fù)雜模型的適應(yīng)性較差，難以進行各向異性設(shè)計，可能造成幾何結(jié)構(gòu)、力學(xué)性能的不連續(xù)，限制了其使用范圍。

隨機多孔結(jié)構(gòu)是一種不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，它不僅適用復(fù)雜模型，設(shè)計自由度高，還能完美解決規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)幾何、力學(xué)性能不連續(xù)等問題。典型的隨機多孔結(jié)構(gòu)包括基于拓?fù)鋬?yōu)化的多孔結(jié)構(gòu)、基于維諾圖的多孔結(jié)構(gòu)等。拓?fù)鋬?yōu)化是一種根據(jù)給定約束，在設(shè)計域內(nèi)對材料分布進行優(yōu)化的方法[11]。DAYNES等[12]提出一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的功能梯度多孔結(jié)構(gòu)建模方法，并通過實驗證明其強度和剛度遠(yuǎn)高于同等質(zhì)量的規(guī)則立方體晶格結(jié)構(gòu)。然而，拓?fù)鋬?yōu)化方法大多用于優(yōu)化二維結(jié)構(gòu)，對三維模型的適用性較差，無法滿足對復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)建模的需求。維諾多孔結(jié)構(gòu)是一種模擬自然界物體的理想結(jié)構(gòu)，如骨骼、海綿等。MARTNEZ等[13]提出一種基于直桿的三維維諾多孔結(jié)構(gòu)的高效設(shè)計方法。在此基礎(chǔ)上，LIU等[14-15]將三維維諾圖與隱式曲面相結(jié)合，設(shè)計了一種全連通的光滑多孔結(jié)構(gòu)，有效避免了應(yīng)力集中。雖然三維維諾多孔結(jié)構(gòu)可控性強、結(jié)構(gòu)連續(xù)，但建模復(fù)雜度高，且難以實現(xiàn)各向異性多孔結(jié)構(gòu)的建模。

1 增強型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)建模

1.1 建模流程

本文提出的基于改進k-nearest算法的增強型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計流程如圖1所示，其初始輸入條件包括站點密度場ρ和方向場φ。首先，采用站點隨機采樣算法將密度場映射為設(shè)計域內(nèi)的站點分布，控制正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的梯度分布；在設(shè)計域內(nèi)疊加方向場，將其映射為黎曼空間中的流形場，實現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)局部正交各向異性的任意旋轉(zhuǎn)。需要說明的是，初始的密度場ρ和方向場φ可以從模型有限元分析的應(yīng)力場提取，也可以交互式輸入。其次，計算鄰域內(nèi)站點間的黎曼距離，采用改進的k-nearest算法連接相鄰的k(k≥2)個站點，生成2D多孔結(jié)構(gòu)模型；最后，對生成的2D多孔結(jié)構(gòu)在厚度方向進行拉伸，可以得到2.5D多孔結(jié)構(gòu)模型，并最終通過3D打印機打印成型。

1.2 站點隨機采樣

站點的隨機采樣是建立多孔結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，本文提出一種密度場驅(qū)動的站點隨機采樣算法，先將設(shè)計域離散化為一系列正方形柵格，然后通過給定的密度場函數(shù)ρ在每一個網(wǎng)格中進行隨機采樣。以二維設(shè)計域為例，站點隨機采樣過程如圖2所示，具體算法如下：

步驟1將二維設(shè)計域離散為邊長為a的正方形柵格。

步驟2根據(jù)站點密度函數(shù)場ρ，計算柵格i內(nèi)的站點數(shù)量ti=a2ρi。

步驟3將柵格i等分為4個正方形子?xùn)鸥瘛?/p>

步驟4若柵格i內(nèi)的站點數(shù)量ti≤4，則隨機選取ti個子?xùn)鸥?，并分別在每個子?xùn)鸥駜?nèi)部任意位置隨機生成一個站點。

步驟5若ti>4，則轉(zhuǎn)步驟2，重新計算子?xùn)鸥裰械恼军c數(shù)，劃分柵格，并隨機生成站點(如圖2)。重復(fù)步驟2～步驟5，直至所有區(qū)域的站點分配完成。

對于3D模型，其站點隨機采樣算法和上述2D模型的算法類似，不同之處在于：需要將3D模型對應(yīng)的三維設(shè)計域離散化為邊長為a的立方體柵格，然后將每個柵格平均劃分為8個邊張相等的子?xùn)鸥?，一般采用八叉樹結(jié)構(gòu)表示。

從圖2可以看出，設(shè)計域內(nèi)站點的分布是由密度場ρ驅(qū)動的，是多孔結(jié)構(gòu)實現(xiàn)彈性性能梯度分布的根本因素，其原因在于站點分布的特征決定了材料局部分布，從而直接影響其局部力學(xué)性能。即站點分布密集的區(qū)域，材料分配相對較多，力學(xué)性能相對較高；相反地，站點分布稀疏的區(qū)域，材料分配較少，力學(xué)性能相對較低。因此，該算法可以通過站點密度分布函數(shù)從宏觀上控制多孔結(jié)構(gòu)不同部位的力學(xué)性能，在應(yīng)力較大的部位設(shè)置較大的站點密度，增加力學(xué)性能；反之，在應(yīng)力較小的部位設(shè)置較小的站點密度，節(jié)約材料。此外，在微觀上又能保持局部隨機性，從而保證梯度多孔結(jié)構(gòu)的幾何連續(xù)性。

隨機采樣算法中輸入的密度場函數(shù)ρ可以由用戶指定，也可以從模型的有限元分析得到，如圖3所示。

1.3 方向場

方向場主要用于控制正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)正交軸的旋轉(zhuǎn)方向。對于設(shè)計域中任意點鄰域內(nèi)的多孔結(jié)構(gòu)單元，其強度最高的正交軸方向始終與方向場保持一致，從而增強多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，降低材料消耗。方向場可以有多種形式，如場函數(shù)、流形場、應(yīng)力方向場等。

1.4 改進的k-nearest算法

將方向場映射為黎曼空間中的流形場，采用黎曼距離計算站點間的“距離”，實現(xiàn)任意局部區(qū)域各向異性方向的旋轉(zhuǎn)，從而建立起具有梯度彈性性能的多孔結(jié)構(gòu)。為方便理解，本節(jié)以二維黎曼空間為例闡述各向異性多孔結(jié)構(gòu)的建模過程，且可以較為容易地拓展到三維黎曼空間。

1.4.1 黎曼度量

設(shè)點p是二維黎曼空間Ω中的一點，p點處的度規(guī)張量矩陣M(p)可視為一個正定矩陣，即

(1)

M(p)=ETUE,

(2)

(3)

(4)

定義1設(shè)坐標(biāo)點p與q是黎曼空間Ω中任意兩點，M為p點對應(yīng)的黎曼度量，則從p點到q點的有向距離dp(p,q)定義為：

(5)

由于M(p)≠M(q)，在黎曼空間中點p與點q的距離是非對稱的，會導(dǎo)致p到q的有向距離與q到p的有向距離在數(shù)值上不一致，即dp(p,q)≠dq(q,p)，因此本文將兩點間的“距離”定義為：

(6)

1.4.2k-nearest算法

如圖5所示為采用文獻[16]中的k-nearest算法設(shè)計的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)：依次遍歷所有站點，對每個站點采用直線連接與其“距離”最近的k(k=2,3,4,…)個站點，并賦予每條直線寬度t(即2.5D多孔結(jié)構(gòu)的壁厚，t≥2τ,τ為打印機的最小打印尺寸，如打印機噴頭直徑等)和厚度h，即可生成最終的2.5D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)。

1.4.3 算法改進

從圖5可以看出，采用k-nearest算法生成的各向異性多孔結(jié)構(gòu)存在兩個明顯缺陷：

(1)在站點分布相對稀疏的區(qū)域會沿方向場生成較大的孔洞，這種孔洞比期望的孔洞大一個量級，如圖5b中橙色圈所示。

(2)在站點分布相對密集的區(qū)域，多條線段會產(chǎn)生交叉現(xiàn)象。交叉點相當(dāng)于增加了站點數(shù)量，導(dǎo)致實際站點密度和期望的站點密度ρi存在較大誤差，如圖5b中藍色圈中所示。

這種不均勻的孔洞分布以及新增的站點，不僅使多孔結(jié)構(gòu)不符合設(shè)計要求，還會導(dǎo)致材料分布不均勻，產(chǎn)生應(yīng)力集中，嚴(yán)重影響多孔結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性能。此外，在后續(xù)模型3D打印成型時受限于打印機的精度，過于細(xì)小的孔洞(r≤2τ)幾乎無法打印。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生上述兩種缺陷的根本原因是由于算法沒有考慮站點連線相交的情況。

基于此，本文提出一種改進的k-nearest算法，可以判斷并去除會產(chǎn)生相交的線段，確保每個站點均連接k個相對“最近”的站點。具體算法如下：

步驟1在歐式空間中，計算當(dāng)前站點ni的鄰域，將鄰域內(nèi)的站點存入存儲器Neighbour中。對2D/3D設(shè)計域，站點ni的鄰域半徑rni分別為：

(7)

(8)

其中：a為設(shè)計域內(nèi)劃分柵格的邊長;hui、hvi和hwi分別為ni對應(yīng)的黎曼橢圓/橢球各軸的長度。該方法保證鄰域內(nèi)存在滿足條件的k個站點的同時，又避免了在黎曼空間中進行全局搜索，提高了算法效率。

步驟2在黎曼空間中，按式(6)計算ni與鄰域(Neighbour)內(nèi)站點的“距離”，并從小到大排序。

步驟3依次從排序后的Neighbour取出站點，判斷ni與該點的連線與已生成的結(jié)構(gòu)M是否相交。若不相交，則用線段連接兩站點，并更新M；若相交，則放棄連接。重復(fù)步驟3，直至與ni連接的站點數(shù)等于k為止。

步驟4遍歷設(shè)計域內(nèi)所有站點，重復(fù)步驟1～步驟3。

圖6中上下兩欄分別為采用文獻[16]中的k-nearest算法和本文算法在站點分布相同、不同的各向異性度量hx∶hy(x和y為正交軸)下生成的2.5D多孔結(jié)構(gòu)。不難發(fā)現(xiàn)，本文算法能夠明顯地減少上述兩種缺陷，使材料分布更均勻，從而增強了多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

本文算法也能比較容易地拓展至三維空間，區(qū)別在于需要用直徑為d的圓柱體支桿代替二維空間中的線段，判斷當(dāng)前生成的支桿是否會與已生成的結(jié)構(gòu)M產(chǎn)生干涉，并采用布爾運算對新支桿與M的三角網(wǎng)格進行求交。算法偽代碼如表1所示，生成的三維多孔結(jié)構(gòu)如圖7所示?？梢钥闯?，通過調(diào)整hu、hv和hw的比例，可以非常方便地控制多孔結(jié)構(gòu)在不同正交軸向的各向異性程度。

表1 三維正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)生成算法

1.4.4k值的選取

本文算法的核心是將站點p與其相對“最近”的k個站點相連，因此，k值的選取十分關(guān)鍵，對多孔結(jié)構(gòu)的連通性和力學(xué)性能都有較大的影響。圖8所示為不同k值對應(yīng)的二維結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k=2,3時，幾何連通性很差，無法生成多孔結(jié)構(gòu)；當(dāng)k=4,5時，雖然能夠生成多孔結(jié)構(gòu)，但是仍存在局部區(qū)域不連通，影響了多孔結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能；當(dāng)k≥7時，雖然結(jié)構(gòu)幾何連通性較好，但過于緊湊，降低了多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計空間。而BALISTER等[17]已經(jīng)證明當(dāng)k=6時候，生成的結(jié)構(gòu)最優(yōu)，即具有相對較好的幾何連通性和較大的設(shè)計空間。因此，在默認(rèn)情況下本文后續(xù)章節(jié)中所建立的多孔結(jié)構(gòu)其k值均為6。

2 多孔結(jié)構(gòu)的性能分析

2.1 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值均質(zhì)化

數(shù)值均質(zhì)化是面向周期性或近周期性材料宏觀性能的有限元分析方法，廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料研究。由于本文算法中的站點生成器是均勻分布的隨機序列，所生成的站點具有隨機性，從概率意義上，當(dāng)站點密集時，即模型宏觀尺寸相對于平均孔徑足夠大時，模型整體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)近周期性。因此，數(shù)值均質(zhì)化方法仍然適用于本文多孔結(jié)構(gòu)的分析[15-16]。這種達到近周期性體積的多孔結(jié)構(gòu)模型被稱作代表性體積單元(Representative Volume Element, RVE)，是數(shù)值均質(zhì)化的分析對象。

數(shù)值均質(zhì)化能有效地確定周期性復(fù)合材料的彈性張量。設(shè)材料單元為V，體積為|V|，在材料彈性變形階段，應(yīng)力σ與應(yīng)變ε成線性關(guān)系[18]：

σ=Cε。

(9)

其中C是彈性矩陣，用于表征材料的彈性行為。

為方便編程實現(xiàn)，本文采用ANDREASSEN等[19]提出的方法，將多孔結(jié)構(gòu)模型劃分為正方形網(wǎng)格，對網(wǎng)格單元節(jié)點編號，并施加周期性邊界條件，通過線彈性方程kχ=f求解出χij，可得到均質(zhì)化彈性張量為：

(10)

其中:i、j為對應(yīng)矩陣的第i、j行/列;k為剛度矩陣;f和χ分別是等效節(jié)點的載荷列陣與位移列陣；ke為單元剛度矩陣;χe表示對應(yīng)網(wǎng)格單元節(jié)點的整體位移列陣，可以從χ的對應(yīng)節(jié)點中提??；Ve表示對應(yīng)網(wǎng)格單元的體積;N為RVE單元劃分的有限網(wǎng)格單元總數(shù)量。需要說明的是，上式僅適用于描述多孔結(jié)構(gòu)材料的彈性變形行為，而無法描述材料達到屈服極限后的塑性變形或斷裂行為。

2.2 彈性性能分析

2.2.1 數(shù)值均質(zhì)化分析

為分析本文正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能，對圖6中k-nearest算法和本文算法生成的4組2.5D多孔結(jié)構(gòu)進行數(shù)值均質(zhì)化分析。所有結(jié)構(gòu)的尺寸均為50×50×7 mm3，壁厚t=0.4 mm。每組模型的站點分布相同，且站點是均勻隨機分布的。4組多孔結(jié)構(gòu)的各向異性度量hx∶hy分別為1∶1、1∶3、1∶5和1:7，其中x、y為正交軸。從圖中可以看出，當(dāng)hx∶hy=1∶1時，所生成的多孔結(jié)構(gòu)呈各向同性；當(dāng)hx∶hy≠1時，對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)呈明顯的正交各向異性，且比例越大(或越小)，各向異性程度越高。

(11)

(12)

表2 不同多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能分析與對比

由表2可以看出，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)的相對密度比k-nearest算法生成的有所增加，其增量分別為16.2%、14.3%、17.5%，平均增加16.0%。主要原因是k-nearest算法連接的是絕對“最近”的k個站點，而本文算法為避免產(chǎn)生相交，連接的是相對“近”的站點，因此桿的平均長度要長于k-nearest算法，導(dǎo)致相對密度增大。雖然本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)相對密度較大，但是其彈性性能相對于k-nearest算法大幅增強，以hx∶hy=1∶3為例，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)在x、y方向上的相對彈性模量分別增強了133.3%和26.9%。

2.2.2 壓縮實驗

為進一步研究上述正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，驗證數(shù)值均質(zhì)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，將圖6中的4組多孔結(jié)構(gòu)采用熔融沉積成型(Fused Deposition Modeling, FDM)工藝進行3D打印成型，打印材料選擇為聚乳酸(Polylactic Acid, PLA)，基體彈性模量為1 200 MPa。每種多孔結(jié)構(gòu)打印2組，分別沿x、y方向進行壓縮實驗。實驗設(shè)備為萬測電子萬能試驗機(型號：TSE504D)，速率設(shè)置為1 mm/min，實驗結(jié)果如圖9所示。

從圖9b中各組試樣的力—位移曲線可以看出，在多孔結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形之前，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)能夠承受更大的載荷；隨著多孔結(jié)構(gòu)各向異性程度增加，y方向能承受的最大載荷值逐漸增大，同時x方向能承受的最大載荷值逐漸降低，該結(jié)果和上一節(jié)數(shù)值均質(zhì)化的結(jié)果保持一致。

此外，通過壓縮實驗，還可以測得試樣的彈性模量。表3所示為壓縮實驗測得的試樣彈性模量與數(shù)值均質(zhì)化計算的相對彈性模量之間的對比情況?？梢钥闯?，對不同拉伸比例下的2.5D各向異性多孔結(jié)構(gòu)，數(shù)值均值化方法相對于壓縮實驗結(jié)果的誤差較小，最大相對誤差僅為9.38%，表明數(shù)值均質(zhì)化方法能較為準(zhǔn)確的預(yù)測本文提出的各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能。

表3 壓縮試驗與均質(zhì)化結(jié)果對比

對于三維各向異性多孔結(jié)構(gòu)，采用光固化(Stereolithography，SLA)工藝打印了3組試樣，材料為光敏樹脂，試樣在沿三個正交軸方向的拉伸比例分別為1∶1∶1、1∶3∶3和1∶1∶3，尺寸均為40×40×40 mm3，桿直徑為d=0.4 mm。對3組試樣分別沿著x、y、z方向進行壓縮實驗，實驗結(jié)果如圖10和表4所示。

表4 三維各向異性多孔結(jié)構(gòu)壓縮實驗結(jié)果 MPa

實驗結(jié)果表明，隨著y、z方向各向異性程度的增加，對應(yīng)方向的彈性性能也相應(yīng)提升，而其他方向上的彈性性能逐漸降低。同時，從1∶3∶3和1∶1∶3樣品的實驗結(jié)果還可以看出，僅對一個方向進行拉伸的多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能遠(yuǎn)高于在兩個方向同時拉伸的多孔結(jié)構(gòu)。

2.2.3 失效分析

通過上述壓縮實驗，測得不同多孔結(jié)構(gòu)在y方向的抗壓強度如表5所示?？梢钥闯?，隨著y方向拉伸比例的增加，兩種算法生成的多孔結(jié)構(gòu)在y方向的抗壓強度逐漸增大，但是本文算法生成多孔結(jié)構(gòu)的抗壓強度相比于k-nearest算法有明顯的增強，增強幅度均達到200%以上。

表5 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的抗壓強度

在壓縮實驗中，當(dāng)試樣承受的壓應(yīng)力超過抗壓強度后，試樣會發(fā)生局部屈服或破裂，進而發(fā)生失效，如表6所示(壓縮12%)?？梢钥闯?，在應(yīng)變較大時，hx∶hy=1∶1的各向同性多孔結(jié)構(gòu)未表現(xiàn)出明顯的失效，且本文結(jié)構(gòu)要優(yōu)于k-nearest算法生成的結(jié)構(gòu)；而1∶3、1∶5和1∶7的各向異性多孔結(jié)構(gòu)均會發(fā)生不同程度的失效，如桿狀結(jié)構(gòu)發(fā)生較大彎曲變形甚至斷裂，且失效大多發(fā)生在孔洞較大的位置，與1.4.3小節(jié)的分析一致。其原因主要是k-nearest算法會導(dǎo)致材料分布不均勻，在孔洞較大的位置材料分布較少，從而產(chǎn)生應(yīng)力集中。雖然本文設(shè)計的增強型多孔結(jié)構(gòu)能在一定程度上使材料分布更均勻，提高了力學(xué)性能，但是并不能從根本上解決這一問題，當(dāng)多孔結(jié)構(gòu)各向異性程度增大時，材料分布的不均勻性也隨之增大。

表6 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的失效分析(壓縮12%)

2.2.4 隨機性分析

由于站點是在密度場驅(qū)動下隨機采樣的，這種隨機性可能會對多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能產(chǎn)生影響，造成性能的不穩(wěn)定。為研究隨機性的影響程度，在保持站點密度ρ不變的情況下，對hx∶hy=1∶1、1∶3、1∶5和1∶7四種拉伸比例各隨機生成了3組多孔結(jié)構(gòu)，尺寸為50×50×7 mm3，壁厚t=0.4 mm，如表7所示。從模型外觀上看，站點分布的隨機性對多孔結(jié)構(gòu)的影響不大。

表7 隨機生成的站點與對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)

表8 站點隨機性對多孔結(jié)構(gòu)彈性性能的影響

續(xù)表8

2.2.5 彈性設(shè)計空間

為了研究本文提出的各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性設(shè)計空間，本文隨機生成了大量相同尺寸的2.5D多孔結(jié)構(gòu)(約2 400個)，其拉伸比例hx∶hy范圍選取為10∶1到1∶10，旋轉(zhuǎn)角度θ=0。對這些多孔結(jié)構(gòu)逐一進行數(shù)值均質(zhì)化分析，將其結(jié)果繪制成散點圖如圖11所示?？梢钥闯觯飨虍愋远嗫捉Y(jié)構(gòu)對應(yīng)的點均勻分布在對角線的兩側(cè)，且呈對稱分布，即hx∶hy>1對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)分布在對角線的下方，而hx∶hy<1對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)分布在對角線上方。同時，隨著拉伸比例的增大，各向異性程度增大，對應(yīng)點距離對角線越遠(yuǎn)。當(dāng)hx=hy時，多孔結(jié)構(gòu)呈各向同性，對應(yīng)點分布在對角線上。

圖11中散點覆蓋的區(qū)域即為本文所提出的多孔結(jié)構(gòu)(2.5D)的彈性設(shè)計空間，在多孔結(jié)構(gòu)壁厚為常量時，其彈性性能主要受兩個設(shè)計參數(shù)的影響，即拉伸比例hx∶hy和站點密度ρ。其中，hx∶hy與多孔結(jié)構(gòu)的各向異性呈正相關(guān)，ρ與多孔結(jié)構(gòu)的宏觀彈性性能呈正相關(guān)。需要說明的是，圖11所示的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計空間僅適用于線彈性階段，多孔結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形時的力學(xué)性能并不在本文的討論范圍之內(nèi)。

2.3 案例

本節(jié)主要討論正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)用情況，建模過程均采用Visual Studio 2013的MFC框架，搭配CUDA程序并行計算，在硬件環(huán)境為Inter Core2 i5-10400 CPU，16 GB內(nèi)存與NVIDIA GeForce GTX 1650顯卡的計算機上實現(xiàn)，最后通過3D打印機打印成型。

2.3.1 應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)

如圖12所示為采用本文方法設(shè)計應(yīng)力驅(qū)動的梯度各向異性多孔梁結(jié)構(gòu)的建模過程。首先對梁結(jié)構(gòu)進行有限元分析，得到如圖12a所示的應(yīng)力場。將應(yīng)力大小映射為站點密度場，通過1.2節(jié)的隨機采樣算法可以生成如圖12b所示的站點分布；同時，將應(yīng)力方向映射為如圖12c所示的方向場。最后采用1.4節(jié)提出的改進k-nearest算法生成如圖12d所示的2.5D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)。梁模型的尺寸為250×50×30 mm3，壁厚t=1 mm，體積分?jǐn)?shù)為43%。為對比分析，本文還設(shè)計了如圖12e所示的蜂窩結(jié)構(gòu)，其尺寸、壁厚均與圖12d中的多孔結(jié)構(gòu)相同。此外，通過調(diào)整蜂窩結(jié)構(gòu)的胞元大小，使其體積分?jǐn)?shù)也為43%。

采用SLA3D打印機將上述兩種結(jié)構(gòu)打印成型，打印材料為光敏樹脂。分別對其做三點彎曲破壞性實驗，如圖13a所示，實驗設(shè)備為萬測電子萬能試驗機(型號：TSE504D)，選用彎曲夾具，速率設(shè)置為1 mm/min。實驗測得的力—位移曲線如圖13b所示，其他測試結(jié)果如表9所示。

表9 兩種結(jié)構(gòu)的三點彎曲實驗結(jié)果比較

項目重量/g最大載荷/kN彎曲模量/MPa彎曲強度/MPa蜂窩結(jié)構(gòu)1801.46828 258.1880.1各向異性多孔結(jié)構(gòu)1782.35366 454.81 413.3提升率/%-1.1160.29135.1760.58

不難看出，在兩種結(jié)構(gòu)的重量在幾乎相等的條件下，相比于規(guī)則的蜂窩結(jié)構(gòu)，本文方法設(shè)計的應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能大幅提升，最大載荷、彎曲模量和彎曲強度分別提升了60.29%、135.17%和60.58%。這是由于本文方法能夠通過站點密度分布調(diào)整局部材料的分布，在應(yīng)力較大的部位分配較多材料，應(yīng)力較少的部位減少材料分配，實現(xiàn)在相同材料用量的情況下，提升多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能；或在承受相同載荷的情況下，降低材料的用量，達到綠色節(jié)材的目的。

需要說明的是，由于圖12b中的站點分布是由設(shè)計者根據(jù)應(yīng)力場和設(shè)計經(jīng)驗綜合設(shè)置的密度場函數(shù)隨機采樣得到的，由站點分布驅(qū)動的梯度正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)只是一個較優(yōu)的結(jié)構(gòu)，還存在一定的優(yōu)化空間。若要獲得最優(yōu)的多孔結(jié)構(gòu)，使材料分布更符合應(yīng)力分布，則需要通過實驗、仿真或機器學(xué)習(xí)等方法建立應(yīng)力場和站點密度場之間定量的映射模型，從應(yīng)力場得到最優(yōu)站點分布，疊加方向場后生成最優(yōu)的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)，這也是后續(xù)工作需要進一步研究的內(nèi)容。此外，由于站點是隨機采樣得到的，對外觀對稱的模型無法實現(xiàn)內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)的對稱(如圖12d內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)左右不對稱)，從而會在一定程度影響其美學(xué)特性。

表10列出了k-nearest算法和本文算法在2.5D機械零件輕量化設(shè)計應(yīng)用情況的對比分析。通過對零件受力情況進行有限元分析，可以得到零件的應(yīng)力分布。將應(yīng)力大小映射為設(shè)計域內(nèi)的站點分布，應(yīng)力方向映射為方向場，分別采用k-nearest算法和本文算法生成了兩組多孔結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，兩種算法生成的多孔結(jié)構(gòu)均能在滿足材料屈服極限的條件下實現(xiàn)零件的輕量化，但本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)的最大Mises應(yīng)力明顯小于k-nearest算法，說明本文算法改善了k-nearest算法材料分布不均勻、易產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象，增強了多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。此外，若后續(xù)工作中能建立應(yīng)力場和站點密度之間的映射模型，則可以進一步對多孔結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，實現(xiàn)零件最佳輕量化的目標(biāo)。

表10 本文算法在機械零件輕量化設(shè)計的應(yīng)用情況

2.3.2 其他應(yīng)用

本文正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法還可以應(yīng)用于其他場景，如圖14所示。圖中模型均采用FDM工藝打印，材料為PLA。其中，圖14a為2.5D椅子模型，通過設(shè)置方向場，可以實現(xiàn)座位、靠背和椅腿等部位的正交各向異性。圖14b為3D牙齒模型，其內(nèi)部被3D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)填充。根據(jù)牙齒的受力情況，可以發(fā)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)沿豎直方向和徑向呈正交各向異性，在實現(xiàn)牙齒模型輕量化的同時，又能保證在上述兩個方向上的強度。圖14c為采用正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)填充的3D車輪模型，多孔結(jié)構(gòu)在輪轂部分沿徑向拉伸，使輪轂?zāi)軌虺惺茌^強的徑向力；在輪胎部分沿周向拉伸，使輪胎相對柔軟，從而在運動時實現(xiàn)緩震的功能。

3 結(jié)束語

本文提出一種基于k-nearest算法的增強型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過站點密度場驅(qū)動站點的隨機采樣，通過改進k-nearest算法，疊加全域方向場，生成增強型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)，并通過3D打印機將多孔結(jié)構(gòu)打印成型。最后，分別通過數(shù)值均質(zhì)化和壓縮實驗對打印的多孔結(jié)構(gòu)進行力學(xué)性能、失效狀態(tài)和隨機性進行了分析和討論。實驗結(jié)果表明，采用本文方法設(shè)計的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)具有更優(yōu)良的彈性性能和更大的彈性設(shè)計空間。此外，本文提出的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計方法可控性高，不僅可以通過黎曼橢圓/球的拉伸比例控制局部正交各向異性程度，通過方向場控制各向異性的朝向，還可以通過站點密度場調(diào)控多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的梯度分布。

雖然多孔結(jié)構(gòu)性能明顯增強，但本文方法在實際工程應(yīng)用中仍存在一定的局限性，即并不能從根本上解決局部材料分布不均勻的情況，尤其是各向異性較大的區(qū)域。其次，由于本文未建立起應(yīng)力分布與站點密度函數(shù)之間的數(shù)學(xué)映射關(guān)系，導(dǎo)致在設(shè)計時需要根據(jù)設(shè)計師經(jīng)驗生成站點的隨機分布，無法實現(xiàn)設(shè)計過程的智能化和結(jié)果的最優(yōu)化。后續(xù)工作包括：1)解決局部材料分布不均勻問題；2)建立應(yīng)力場與多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，將應(yīng)力大小映射為站點密度，將應(yīng)力方向映射為多孔結(jié)構(gòu)的方向場，從而建立應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)模型。