湯永鋒 路 平 劉 斌 江開勇 顏丙功 劉嘉偉 韓 偉

1.華僑大學福建省特種能場制造重點實驗室，廈門，361021

2.華僑大學廈門市數(shù)字化視覺測量重點實驗室，廈門，361021

0 引言

多孔結(jié)構(gòu)因具有結(jié)構(gòu)輕量化、比強度高、吸能減振、生物相容性好等優(yōu)秀的性能，在航天航空、汽車、骨植入體等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-5]。均勻的多孔結(jié)構(gòu)力學性能單一，無法滿足復雜多樣的力學和生物性能要求，相比而言，梯度多孔結(jié)構(gòu)通過調(diào)節(jié)孔隙率改變結(jié)構(gòu)局部的力學性能，能夠滿足復雜多變的設(shè)計要求，如在骨組織工程中，梯度多孔結(jié)構(gòu)能夠更好地模擬低孔隙率的皮質(zhì)骨到高孔隙的松質(zhì)骨梯度變化[6-7]。

多孔結(jié)構(gòu)從形態(tài)上可以分為規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)和不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)主要通過單元陣列獲得，建模簡單，力學性能可控。例如，Van GRUNSVEN等[8]通過電子束熔融(electron beam melting，EBM)技術(shù)制備Ti6Al4V梯度鉆石晶格，并利用混合原則預測了梯度多孔結(jié)構(gòu)的壓縮性能。ZHANG等[9]采用試驗和有限元方法研究了梯度多孔結(jié)構(gòu)在縱向上的壓縮變形行為。規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)因受限于單元陣列建模方式，在形成梯度多孔結(jié)構(gòu)時會存在明顯的結(jié)構(gòu)分層現(xiàn)象，這會對結(jié)構(gòu)的制造和力學性能產(chǎn)生不利影響。不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)不受單元結(jié)構(gòu)限制，設(shè)計自由高，可以通過改變桿徑或調(diào)整密度的方式生成平滑過渡的梯度多孔結(jié)構(gòu)。目前，基于Voronoi圖構(gòu)建的梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)由于與自然界的多孔結(jié)構(gòu)相似而受到大家的關(guān)注，如人體骨和天然海綿。GMEZ等[10]通過提取人體骨的CT圖像結(jié)合Voronoi圖原理來重建精確匹配人體骨小梁的多孔結(jié)構(gòu)。WANG等[11]基于Voronoi圖原理設(shè)計梯度多孔結(jié)構(gòu)，通過激光選區(qū)熔化(selective laser melting，SLM)技術(shù)制備實驗?zāi)Ｐ筒⑦M行壓縮實驗，研究了其力學性能和變形特點。LIU等[12]基于Voronoi圖設(shè)計出目標驅(qū)動的幾何和力學性能連續(xù)的梯度多孔結(jié)構(gòu)。然而，目前對梯度多孔結(jié)構(gòu)力學性能的研究主要集中于規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，梯度變化方式簡單，對不同變化方式的梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)的力學性能研究仍較少。

本文首先利用Rhino軟件自帶的參數(shù)化設(shè)計插件Grasshopper提出了一種基于Voronoi圖的梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，并設(shè)計了4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)；然后通過橫向壓縮和縱向壓縮實驗，研究不同梯度變化方式對多孔結(jié)構(gòu)力學性能和變形行為的影響；最后引入等應(yīng)力復合模型[13]和Voigt模型[14-15]結(jié)合Gibson-Ashby模型[1]預測梯度多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量。

1 材料和方法

1.1 均勻不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)建模

本文的不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)建模方法基于Voronoi圖[16]原理。Voronoi圖是以特定區(qū)域內(nèi)的不同點作為種子點，通過相鄰種子點連線的垂直平分線對空間進行劃分。其定義如下：

V(Pi)={x∈Ω|d(x，Pi)

i，j∈In={1，2，…，N}}

(1)

在特定區(qū)域Ω中，Pi表示區(qū)域Ω中的種子點，d表示任意點到種子點的距離，V(Pi)表示以Pi為種子點的Voronoi單元，其示意圖見圖1。

(a)二維Voronoi圖 (b)三維Voronoi圖

利用三維建模軟件Rhino 6內(nèi)置的Grasshopper插件對不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)進行建模，均勻不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計流程圖見圖2。首先確定空間中的設(shè)計域，在該區(qū)域中生成規(guī)則點陣，接著以規(guī)則點陣中的每個點為中心生成概率球并在球內(nèi)隨機生成新的點，將新的隨機點作為種子點對設(shè)計域進行Voronoi剖分，最后以Voronoi多邊形的邊線為基礎(chǔ)生成多孔結(jié)構(gòu)。這種設(shè)計方法主要涉及不規(guī)則度ε、種子點數(shù)N和縮放系數(shù)K3個變量[11]。

(a)確定設(shè)計域 (b)分布規(guī)則點陣 (c)以每個點陣為中心生成概率球

在本文的研究中，將不規(guī)則度ε固定為0.5。由文獻[11]可知，種子點數(shù)N對多孔結(jié)構(gòu)孔隙率基本沒有影響。孔隙率P與縮放系數(shù)K之間成線性關(guān)系(圖3)，縮放系數(shù)K增大，多孔結(jié)構(gòu)支桿直徑減小，孔隙率增大。

圖3 孔隙率P與縮放系數(shù)K之間的關(guān)系

1.2 梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計

由1.1節(jié)可知，3個設(shè)計參數(shù)中，縮放系數(shù)K通過調(diào)節(jié)多孔結(jié)構(gòu)支桿直徑的方式控制孔隙率，不規(guī)則度為定值，種子點數(shù)對孔隙率的影響較小，因此可以通過控制縮放系數(shù)K來改變支桿直徑大小，實現(xiàn)孔隙率的梯度變化。

本文在多孔結(jié)構(gòu)z方向上實現(xiàn)梯度分布。在保證可制造性的前提下，取較大的孔隙率變化范圍，縮放系數(shù)K的變化范圍設(shè)置為0.5～0.75。為了避免隨機性對實驗結(jié)果的影響，每個方向上取10個種子點[17]，每個種子點在3個方向的距離為4 mm，最后模型的設(shè)計尺寸為40 mm×40 mm×40 mm，如圖4所示。

圖4 梯度多孔結(jié)構(gòu)三維模型

為了模擬自然界和工程應(yīng)用中各種復雜的梯度變化方式，本文設(shè)計了4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)，分別是線性函數(shù)(Lin)，二次函數(shù)(Quad)以及兩種不同梯度變化率的S形函數(shù)(Sig)，表達式分別為

P(z)=az+b

(2)

P(z)=az2+bz+c

(3)

(4)

其中，z表示模型高度方向上的位置，式(4)(S形函數(shù))中的a、b分別控制梯度多孔結(jié)構(gòu)的起始孔隙率和變化范圍，c控制梯度變化率，S形函數(shù)的兩種梯度變化方式分別記為Sig1和Sig2(圖5a)。

如圖5所示，對4種函數(shù)在水平方向進行10等分，將每等分處的縱坐標值分別賦給10層種子點的縮放系數(shù)K，以實現(xiàn)孔隙率在高度方向上的梯度分布。設(shè)計4種梯度變化方式的模型如圖6所示。

(a)z方向上縮放系數(shù)與種子點層號之間的關(guān)系

(a)Sig1 (b)Sig2

根據(jù)種子點層數(shù)將設(shè)計模型等分成10層，計算每層的孔隙率并擬合4種函數(shù)(圖7)以檢驗設(shè)計的可靠性。擬合4種函數(shù)的相關(guān)系數(shù)R2均接近于1，擬合結(jié)果良好?？s放系數(shù)K與層號q的關(guān)系以及孔隙率P在高度方向(z)的梯度變化關(guān)系見表1。

表1 4種梯度變化方式函數(shù)表達式

(a)等分成10層的梯度多孔結(jié)構(gòu)

1.3 不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)制造與壓縮實驗

使用光固化成形設(shè)備(Lite 600，上海聯(lián)泰科技有限公司)制造實驗樣品，材料為白色樹脂C-UV9400A(東莞愛的合成材料科技有限公司)，具體工藝參數(shù)為：層厚0.1 mm，掃描間距0.07 mm，掃描速度4000 mm/s。所有類別的模型均打印3個樣品。

對4種不同梯度多孔結(jié)構(gòu)試樣分別進行縱向(載荷方向平行于梯度方向)和橫向(載荷方向垂直于梯度方向)壓縮實驗(圖8)，同時加入一組孔隙率相近的均勻多孔結(jié)構(gòu)進行對比。壓縮實驗遵循GB/T 1041-2008國家標準，壓縮設(shè)備采用TSE504D(深圳萬測試驗設(shè)備有限公司)，壓縮速度為1 mm/min，并以50 Hz的頻率采集實驗數(shù)據(jù)，用攝像機記錄所有試樣的壓縮過程，并獲得其工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線。彈性模量通過擬合工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線在彈性階段的斜率獲得。

(a)縱向壓縮 (b)橫向壓縮

2 結(jié)果與分析

2.1 變形特點

由于4種不同變化方式的梯度多孔結(jié)構(gòu)壓縮變形特點相似，因此以Lin型梯度多孔結(jié)構(gòu)為例介紹其變形特點。選取應(yīng)變ε為0、0.1、0.3、0.6時壓縮過程的圖像進行分析，如圖9所示。在應(yīng)變?yōu)?.1時可以觀察到多孔結(jié)構(gòu)支桿的屈服變形，縱向壓縮時的變形主要發(fā)生在高孔隙率部分。在應(yīng)變?yōu)?.3時，已有部分支桿出現(xiàn)斷裂失效，縱向壓縮時高孔隙率部分的多孔結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出致密化的趨勢。在應(yīng)變?yōu)?.6時，支桿基本上完全破壞，并逐漸致密化。梯度多孔結(jié)構(gòu)橫向壓縮變形特點與均勻多孔結(jié)構(gòu)十分相似，都是整個模型均勻地發(fā)生變形。這主要是因為這兩種結(jié)構(gòu)在載荷方向上的孔隙率都是均勻的，這也說明在橫向壓縮過程中梯度結(jié)構(gòu)不會改變多孔結(jié)構(gòu)的變形特點。而在縱向壓縮時，梯度多孔結(jié)構(gòu)則表現(xiàn)為從高孔隙率部分逐漸向低孔隙率部分坍塌變形，這主要是因為高孔隙率的多孔結(jié)構(gòu)支桿直徑更細，結(jié)構(gòu)強度更低，更容易失效。梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)在縱向壓縮時的變形特點與其他研究中的梯度規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)相似[18-19]。

圖9 不同應(yīng)變下均勻和Lin型梯度多孔結(jié)構(gòu)壓縮變形圖

2.2 力學性能

4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)縱向壓縮和橫向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖10，其中，(1)、(2)、(3)表示3次重復性實驗的數(shù)據(jù)。從圖10中的曲線可以清楚地分辨出線彈性階段、平臺階段和致密化階段[1]。在平臺階段橫向壓縮時應(yīng)力基本不變，縱向壓縮時應(yīng)力則表現(xiàn)為逐漸上升的趨勢。在平臺階段結(jié)束后進入致密化階段，致密化階段起始應(yīng)變通過能量吸收效率法確定[20-21]，根據(jù)多孔結(jié)構(gòu)壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，能量吸收效率η可定義為

(a)Sig1 (b)Sig2

(5)

將能量吸收效率最大時的應(yīng)變作為致密化起始應(yīng)變，即

(6)

式中，σ為應(yīng)力；εcd為致密化階段的起始應(yīng)變。

4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)致密化階段的起始應(yīng)變見表2，此時支桿完全破壞并相互接觸，致密化的多孔結(jié)構(gòu)與實體相似，應(yīng)力快速上升。對于同一種梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)，在小應(yīng)變階段，橫向壓縮時的應(yīng)力相比縱向壓縮時的應(yīng)力更大；隨著應(yīng)變的增大，縱向壓縮的應(yīng)力逐漸增大并超過橫向壓縮的應(yīng)力?？v向壓縮中，梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)在平臺階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線并沒有出現(xiàn)像梯度規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)那樣的明顯“臺階”狀[8，18-19]，主要因為本文設(shè)計的梯度不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)孔隙率變化更加平滑，結(jié)構(gòu)上沒有明顯的分層。

表2 4種不同變化方式的梯度多孔結(jié)構(gòu)縱向和橫向壓縮力學性能

在縱向壓縮過程中，Sig1型和Sig2型梯度多孔結(jié)構(gòu)在應(yīng)變?yōu)?.15左右時，應(yīng)力出現(xiàn)一個小幅度下降隨后又快速上升。由圖7b可知多孔結(jié)構(gòu)梯度按S形函數(shù)變化時，高孔隙率的多孔結(jié)構(gòu)占整體結(jié)構(gòu)的比重更大，高孔隙率的多孔結(jié)構(gòu)桿徑更細，孔隙更大，壓縮過程更容易因結(jié)構(gòu)失效而出現(xiàn)失穩(wěn)的情況，從而導致應(yīng)力出現(xiàn)一個短暫的下降。同時S形函數(shù)梯度方式的多孔結(jié)構(gòu)從高孔隙率過渡到低孔隙率變化斜率更大，高孔隙率結(jié)構(gòu)致密化后直接進入低孔隙率部分的變形階段，低孔隙率的多孔結(jié)構(gòu)孔隙更小，支桿變形后更容易相互接觸，從而導致應(yīng)力的快速上升。相比而言，Lin型和Quad型梯度多孔結(jié)構(gòu)高孔隙率部分占比較少而且從高孔隙部分到低孔隙率部分過渡比較平緩，則沒有出現(xiàn)這種情況。

4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)的縱向和橫向壓縮的力學性能見表2。對于梯度變化方式相同的多孔結(jié)構(gòu)，橫向壓縮時的彈性模量和屈服強度均大于縱向壓縮的彈性模量和屈服強度，主要是因為縱向壓縮時多孔結(jié)構(gòu)從強度較小的高孔隙率處開始變形，而橫向壓縮時低孔隙率和高孔隙率處的材料同時發(fā)生變形，低孔隙率部分具有更好的強度，使得整體結(jié)構(gòu)在壓縮過程中表現(xiàn)出更高的彈性模量和屈服強度。在平均孔隙率相近的情況下，改變梯度變化方式并不會對縱向和橫向壓縮的彈性模量和屈服強度造成太大的影響。Quad型梯度多孔結(jié)構(gòu)由于平均孔隙率最低，故其彈性模量和屈服強度都最大。

4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)橫向和縱向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比見圖11。由圖7b可知Sig1和Sig2型多孔結(jié)構(gòu)相比于Lin型多孔結(jié)構(gòu)在上半部分具有更高的孔隙率，在下半部分具有更低的孔隙率，這導致了在縱向壓縮中，平臺階段Lin型多孔結(jié)構(gòu)在低應(yīng)變時的應(yīng)力大于Sig1型和Sig2型多孔結(jié)構(gòu)，隨著應(yīng)變的增大，Sig1型和Sig2型多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)力值逐漸超過Lin型多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)力值。對于橫向壓縮，在平均孔隙率相近情況下，改變梯度變化方式對應(yīng)力-應(yīng)變曲線幾乎沒有影響。Quad型多孔結(jié)構(gòu)幾乎在每一層的孔隙率均低于其他3種梯度多孔結(jié)構(gòu)，因此在相同應(yīng)變下的應(yīng)力大于其他結(jié)構(gòu)的應(yīng)力。

(a)縱向壓縮

2.3 彈性性能預測

Gibson-Ashby模型是由大量實驗和有限元分析結(jié)果總結(jié)得到的經(jīng)驗公式，是描述多孔結(jié)構(gòu)力學性能和體積分數(shù)關(guān)系的重要數(shù)學模型，常用來預測均勻多孔結(jié)構(gòu)彈性模量：

E=EsCωn

(7)

式中，Es為基體材料的彈性模量；ω為多孔結(jié)構(gòu)的體積分數(shù)；C、n為常數(shù)。

通過對6組不同體積分數(shù)的均勻多孔結(jié)構(gòu)進行壓縮實驗來確定本文均勻不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)的Gibson-Ashby模型，如圖12所示，表達式為

圖12 彈性模量E與體積分數(shù)ω之間的關(guān)系

E=865.15ω1.75

(8)

結(jié)合表1中孔隙率與高度的關(guān)系，可以得到梯度多孔結(jié)構(gòu)在不同高度上的彈性模量：

E(z)=865.15(1-P(z))1.75

(9)

Gibson-Ashby模型對多孔結(jié)構(gòu)彈性模量的表征沒有考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在梯度的情況，無法準確預測梯度多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量[18]。本文將梯度多孔結(jié)構(gòu)看成由n層具有不同彈性模量材料組合而成的復合材料，如圖13所示。

(a)縱向壓縮 (b)橫向壓縮

對于縱向壓縮，假設(shè)每層材料受到的應(yīng)力相等，采用等應(yīng)力復合模型預測其彈性模量：

(10)

對于橫向壓縮，假設(shè)每層材料受到的應(yīng)變相等，采用Voigt模型預測其彈性模量：

(11)

式中，Eg為整個梯度多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量；fi為第i層等效材料所占整個模型的體積分數(shù)；Ei為第i層等效材料的彈性模量。

連續(xù)分布的梯度多孔結(jié)構(gòu)彈性模量可以通過積分求得，將式(9)代入式(10)、式(11)并進行積分可得

(12)

(13)

將表1中的孔隙率與高度之間的函數(shù)關(guān)系代入式(12)、式(13)，將獲得的預測結(jié)果與實驗結(jié)果作對比，如表3所示。從表3中能夠發(fā)現(xiàn)，預測值與實驗值的相對誤差基本在10%之內(nèi)，預測結(jié)果良好，但相比于文獻[18]中的梯度規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，本文的預測結(jié)果相對誤差較大，這可能是由不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)的隨機性所導致。從預測結(jié)果來看，在橫向壓縮中，梯度變化方式對多孔結(jié)構(gòu)彈性模量基本沒有影響，這與實驗所表現(xiàn)的結(jié)果一致。Quad型梯度多孔結(jié)構(gòu)具有更高的彈性模量，說明增加低孔隙率的多孔結(jié)構(gòu)所占比重，能夠提高梯度多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量。

表3 彈性模量預測結(jié)果和實驗結(jié)果對比

3 結(jié)論

本文利用參數(shù)化設(shè)計插件Grasshopper設(shè)計了4種不同梯度變化方式的不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，利用光固化成形工藝制備這4種梯度多孔結(jié)構(gòu)，并進行縱向和橫向壓縮實驗，分析其變形特點和力學性能，主要有以下結(jié)論：

(1)通過控制縮放系數(shù)K在高度方向上的梯度分布，設(shè)計了4種不同梯度變化方式的多孔結(jié)構(gòu)，設(shè)計結(jié)果與預期符合良好。

(2)梯度多孔結(jié)構(gòu)橫向壓縮的變形特點與均勻多孔結(jié)構(gòu)相似，表現(xiàn)為整體結(jié)構(gòu)的均勻變形破壞，縱向壓縮表現(xiàn)出逐層坍塌的變形特點。

(3)橫向壓縮時應(yīng)力-應(yīng)變曲線在平臺階段的應(yīng)力基本不變，縱向壓縮時平臺階段的應(yīng)力逐漸上升。對于平均孔隙率相近的梯度多孔結(jié)構(gòu)，改變梯度變化方式能夠影響縱向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和力學性能，但對橫向壓縮則基本沒有影響。降低梯度多孔結(jié)構(gòu)的平均孔隙率可以顯著提高多孔結(jié)構(gòu)的彈性模量和屈服強度。

(4)將梯度多孔結(jié)構(gòu)看成復合材料，通過等應(yīng)力復合模型和Voigt模型并結(jié)合Gibson-Ashby模型可以有效預測梯度多孔結(jié)構(gòu)縱向壓縮和橫向壓縮的彈性模量，相對誤差基本都在10%以內(nèi)。