吳紫俊 肖人彬

1.武漢紡織大學(xué)數(shù)字化紡織裝備湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430020

2.華中科技大學(xué)人工智能與自動(dòng)化學(xué)院，武漢，430074

0 引言

基于子結(jié)構(gòu)方法的宏微結(jié)構(gòu)一體化優(yōu)化方法中，利用子結(jié)構(gòu)自由度縮減實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)宏微觀的一體化設(shè)計(jì)，但需要預(yù)先建立不同子結(jié)構(gòu)構(gòu)型的樣本[1]，宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)只能在預(yù)定的微觀構(gòu)型中進(jìn)行插值，即限制了結(jié)構(gòu)宏微觀的優(yōu)化空間[2]。

宏微結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)是從宏微多個(gè)尺度尋找材料的最佳分布位置，組合成不同構(gòu)型的微觀構(gòu)型和宏觀結(jié)構(gòu)，使得材料潛力充分發(fā)揮[3]。由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)引入了微觀尺度，因而擴(kuò)大了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間[4]，賦予了結(jié)構(gòu)更多的功能，如最小頻率響應(yīng)的結(jié)構(gòu)[5-6]、具有良好可制造性的宏觀結(jié)構(gòu)等[7]。

目前，周期性子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法主要有兩類[8-9]：基于均勻化方法的周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[10-11]與基于宏觀結(jié)構(gòu)周期性約束條件的設(shè)計(jì)方法。在基于均勻化方法[12-13]的周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法中，周期性位移邊界條件施加在單胞上[14]，并假設(shè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)诤暧^結(jié)構(gòu)上是周期性變化的[15-16]。而基于周期性約束的方法中，假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)中任意兩個(gè)周期性結(jié)構(gòu)中的單胞具有相同的單元密度和相等的靈敏度值。這兩類方法相比，盡管都能獲得相近的優(yōu)化構(gòu)型，但基于周期性約束條件的設(shè)計(jì)方法的計(jì)算效率要低于均勻化方法。

作為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的熱點(diǎn)分支之一，周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)得到了許多關(guān)注。LI等[17-18]提出基于維度縮減的代理模型來(lái)設(shè)計(jì)周期性結(jié)構(gòu)，降低了結(jié)構(gòu)頻率帶隙計(jì)算的計(jì)算資源消耗。ZHENG等[19]基于不確定性負(fù)載的高斯分布提出了周期結(jié)構(gòu)魯棒拓?fù)鋬?yōu)化框架，研究了周期結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間小的結(jié)構(gòu)對(duì)不確定性載荷的敏感度。HE等[20]針對(duì)不規(guī)則有限元網(wǎng)格提出了一種周期性結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，用非結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)點(diǎn)來(lái)清晰地描述周期結(jié)構(gòu)的拓?fù)洹IVA等[21]提出了一種基于波在細(xì)胞界面反射和傳輸?shù)募兘馕龇椒?，可判斷所提出的解決方案的最優(yōu)性。CHEN等[22]提出了一種用于結(jié)構(gòu)和蜂窩材料拓?fù)洳⑿性O(shè)計(jì)的移動(dòng)等值面閾值(moving iso-surface threshold，MIST)方法，利用均勻化理論推導(dǎo)出了宏觀結(jié)構(gòu)和微觀周期性單元兩個(gè)維度的物理響應(yīng)函數(shù)。CHENG等[23]研究了周期性均質(zhì)多孔材料板和均勻加筋實(shí)心板的最大面外屈曲載荷設(shè)計(jì)，并基于漸進(jìn)均勻化方法和CAI方法建立了結(jié)構(gòu)宏觀和微觀設(shè)計(jì)變量與靈敏度分析的關(guān)系。DAHLBERG等[24]引入周期性結(jié)構(gòu)單元以獲得具有更高對(duì)稱性的結(jié)構(gòu)，提出利用高對(duì)稱性設(shè)計(jì)導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)，大大減小了低頻電波傳輸時(shí)的漏波現(xiàn)象。

趙清海等[25]基于周期性約束提出了多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，并結(jié)合Ordered-RAMP材料插值方法獲得了周期性熱傳導(dǎo)拓?fù)錁?gòu)型。焦洪宇等[26]利用固體各向同性材料懲罰(solid isotropic material with penalization，SIMP)方法，通過(guò)增加周期性約束條件，提出了各向同性微結(jié)構(gòu)材料的周期性拓?fù)鋬?yōu)化方法，并在其隨后的研究中[27]，對(duì)循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu)、梯形結(jié)構(gòu)等進(jìn)行了周期性布局優(yōu)化研究。杜義賢等[28]利用能量均勻化方法建立了基于宏觀力學(xué)性能的微觀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型，以周期性單胞為研究對(duì)象，將材料用量和力學(xué)方程等作為約束條件，獲得了邊界清晰的周期性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)；并在其后的研究中[10]，結(jié)合負(fù)泊松比表征吸能特性，提出了兼具吸能和承載特性的周期性宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)多尺度優(yōu)化方法。

在周期性結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)中，為在設(shè)計(jì)域中設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的同時(shí)兼顧微結(jié)構(gòu)在宏觀結(jié)構(gòu)中的最優(yōu)分布[9，29]，本文提出了基于子結(jié)構(gòu)法的周期性結(jié)構(gòu)的宏微觀設(shè)計(jì)方法，并利用子結(jié)構(gòu)法中的自由度凝聚來(lái)實(shí)現(xiàn)周期性單胞的矩陣規(guī)?？s減，提高其計(jì)算效率的同時(shí)，也可利用子結(jié)構(gòu)的反求來(lái)完成周期性單胞結(jié)構(gòu)與宏觀構(gòu)型的協(xié)同設(shè)計(jì)。

與此同時(shí)，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中提出的基于自定義微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的宏微結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)方法ARSP(approximation of reduced substructure with penalization)，由于限定了微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計(jì)范圍，其宏觀結(jié)構(gòu)與自定義微結(jié)構(gòu)構(gòu)型之間存在兼容匹配問(wèn)題。本文為突破預(yù)定義微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計(jì)限制，利用子結(jié)構(gòu)的自由度縮減與反求來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)尺度上結(jié)構(gòu)的協(xié)同設(shè)計(jì)，有助于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模個(gè)性化設(shè)計(jì)[30]。

1 子結(jié)構(gòu)與優(yōu)化插值模型

1.1 子結(jié)構(gòu)凝聚與反求

在優(yōu)化子結(jié)構(gòu)中，單個(gè)子結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程可表示為[31]

(1)

由式(1)的第二式可得子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移向量：

(2)

將式(2)代入式(1)的第一式，可得方程：

(3)

式(3)可簡(jiǎn)單表示為

(4)

(5)

本文中，將利用式(5)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)凝聚組建宏觀本構(gòu)方程的過(guò)程稱為子結(jié)構(gòu)凝聚，通過(guò)凝聚后的本構(gòu)方程進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)稱為宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；利用式(2)計(jì)算子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度的位移的過(guò)程稱為子結(jié)構(gòu)反求，通過(guò)子結(jié)構(gòu)反求獲得對(duì)應(yīng)的周期性單胞的過(guò)程稱為微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[32]。

1.2 優(yōu)化插值模型的構(gòu)建

在周期性宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)由若干個(gè)子結(jié)構(gòu)組成，如圖1所示。

圖1 周期性子結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)

根據(jù)子結(jié)構(gòu)可知，宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域Ω的計(jì)算可直接利用凝聚后的剛度矩陣表示：

KsUs=Fs

(6)

其中，Ks為子結(jié)構(gòu)凝聚后所形成的整體剛度矩陣；Us、Fs為凝聚后子結(jié)構(gòu)交界面上節(jié)點(diǎn)的位移向量及載荷列陣。

針對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)變量設(shè)置為子結(jié)構(gòu)所含的材料體積，由于宏觀結(jié)構(gòu)由周期性結(jié)構(gòu)組成，故只需要判斷子結(jié)構(gòu)材料的含量。此時(shí)宏觀子結(jié)構(gòu)材料含量設(shè)計(jì)變量的取值為(0，1]，對(duì)應(yīng)的剛度矩陣可表示為

(7)

其中，ρ為設(shè)計(jì)變量；p為ρ的懲罰因子。

子結(jié)構(gòu)密度決定了周期性子結(jié)構(gòu)構(gòu)型的材料含量。微觀子結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)密度為子結(jié)構(gòu)中各個(gè)單元的材料含量，利用式(2)可獲得子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)值，通過(guò)優(yōu)化變量更新即可獲得微觀結(jié)構(gòu)的構(gòu)型。假設(shè)子結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元的剛度矩陣為K0，它與子結(jié)構(gòu)優(yōu)化密度變量之間的關(guān)系可表示為

Kb=(ρb)qK0

(8)

其中，ρb為該子結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元的材料相對(duì)含量；q為ρb的懲罰因子。

2 基于周期性微觀單胞的宏微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化

2.1 宏微觀優(yōu)化模型定義

以結(jié)構(gòu)柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)宏微觀結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化：

(9)

式中，X為宏觀結(jié)構(gòu)中所有子結(jié)構(gòu)的密度集合；c為宏觀結(jié)構(gòu)柔度設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)；V為宏觀結(jié)構(gòu)的材料含量總量；K、U、F分別為整體剛度矩陣、位移場(chǎng)和邊界約束；υ為體積約束；ρi為各子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量；ρmin是為避免奇異問(wèn)題設(shè)定的最小密度，ρmin=0.001。

基于有限元子結(jié)構(gòu)方法，優(yōu)化問(wèn)題(式(9))在宏觀層面的優(yōu)化可表示為

(10)

微觀結(jié)構(gòu)是構(gòu)型相同的周期性結(jié)構(gòu)，優(yōu)化模型可表示為

(11)

式中，cb為子結(jié)構(gòu)柔度優(yōu)化目標(biāo)；K0、Uj，i分別為第i個(gè)子結(jié)構(gòu)中單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭臀灰茍?chǎng)；Fbb，i為當(dāng)前子結(jié)構(gòu)凝聚后的邊界自由度對(duì)應(yīng)的位移場(chǎng)；m為當(dāng)前子結(jié)構(gòu)中單元總數(shù)；ρb為微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的設(shè)計(jì)變量；Vb為當(dāng)前子結(jié)構(gòu)的體積約束，此時(shí)該約束是變動(dòng)的，與子結(jié)構(gòu)在宏觀結(jié)構(gòu)的分布數(shù)量相關(guān)。

通過(guò)上述宏微觀的優(yōu)化模型可知，結(jié)合SIMP方法計(jì)算，宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型由宏觀子結(jié)構(gòu)的材料含量確定。而在微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，微觀周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的材料約束不是固定值，而是根據(jù)宏觀結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)的材料密度分布進(jìn)行更新。當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)中周期性子結(jié)構(gòu)分布在整個(gè)設(shè)計(jì)域時(shí)，微觀結(jié)構(gòu)的材料含量約束與宏觀材料約束相同；當(dāng)周期性結(jié)構(gòu)分布在宏觀設(shè)計(jì)域的子域時(shí)，微觀結(jié)構(gòu)的材料含量約束將增大。

2.2 宏微觀兩尺度的靈敏度分析

宏觀結(jié)構(gòu)由構(gòu)型相同的周期性結(jié)構(gòu)組成，假設(shè)對(duì)式(10)的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算密度導(dǎo)數(shù)：

(12)

微觀結(jié)構(gòu)的靈敏度可表示為

(13)

微觀上靈敏度與宏觀子結(jié)構(gòu)相關(guān)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中，在微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量增加宏觀的懲罰因子項(xiàng)可加快其收斂速度。

在基于子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法中，兩個(gè)維度上的變量更新策略均采用傳統(tǒng)的優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimality criteria method，OC)[33]：

(14)

在上述更新策略中，ε是變量迭代步長(zhǎng)。η=0.5，而優(yōu)化條件Di可由子結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)和體積導(dǎo)數(shù)定義：

(15)

式中，κ為拉格朗日因子；?V/?ρi=vi為每個(gè)子結(jié)構(gòu)的體積約束。

2.3 周期性結(jié)構(gòu)的宏微觀拓?fù)鋬?yōu)化算法

在該宏微觀結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化中，通過(guò)子結(jié)構(gòu)自由度凝聚和反求計(jì)算，可以獲得設(shè)計(jì)域上所有子結(jié)構(gòu)邊界節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移場(chǎng)。通過(guò)式(12)和式(13)計(jì)算對(duì)應(yīng)的宏觀結(jié)構(gòu)和微觀結(jié)構(gòu)的靈敏度。由于微觀周期性結(jié)構(gòu)的構(gòu)型會(huì)影響宏觀子結(jié)構(gòu)凝聚的剛度矩陣，因此在進(jìn)行變量更新時(shí)，應(yīng)先更新周期性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量，然后更新宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量。對(duì)應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖2所示，關(guān)鍵算法如下所示。

DeginMacroStructure()∥宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) while(判斷是否收斂) { substrcutureMacro(網(wǎng)格劃分參數(shù));∥根據(jù)優(yōu)化參數(shù)獲得凝聚的子結(jié)構(gòu)有限元模型 calcMacroModel(邊界條件);∥計(jì)算宏觀設(shè)計(jì)域的有限元模型 for 1:N iSensitivityMacro();∥計(jì)算宏觀結(jié)構(gòu)每個(gè)子結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量靈敏度 updatingMacro();∥根據(jù)靈敏度值更新設(shè)計(jì)變量 DeginMicroStructure();∥微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) }DeginMicroStructure()∥微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

while(判斷是否收斂) { for 1:N { calcsubstrcutureMicro(子結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)編號(hào));∥反求子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移場(chǎng) iSensitivityMicro();∥計(jì)算宏觀結(jié)構(gòu)每個(gè)子結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量靈敏度 } updatingMicro();∥根據(jù)靈敏度值更新微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量 }

圖2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程

該協(xié)同優(yōu)化計(jì)算框架中，每一步迭代均會(huì)判斷宏微觀結(jié)構(gòu)是否收斂，而微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中，其材料約束受宏觀子結(jié)構(gòu)分布限制，因此，微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中需要從宏觀結(jié)構(gòu)中更新微觀材料約束。

3 周期性結(jié)構(gòu)優(yōu)化實(shí)例

3.1 懸臂梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)(實(shí)例1)

以懸臂梁的計(jì)算為例，如圖3所示，設(shè)計(jì)域大小為L(zhǎng)1×L2=2×1，其左側(cè)固定，右上角承受F=1 N的垂直向下壓力。所選用材料的彈性模量為E0=1，泊松比υ0=0.3，體積約束為0.4。Nx與Ny分別是水平與垂直方向上的子結(jié)構(gòu)數(shù)目。

圖3 優(yōu)化模型(實(shí)例1)

設(shè)計(jì)域劃分為320×160個(gè)四邊形平面單元，并選擇不同大小的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行宏觀結(jié)構(gòu)凝聚。宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，懲罰因子p設(shè)置為2，過(guò)濾半徑設(shè)置為與單元邊長(zhǎng)相等；微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，懲罰因子q設(shè)置為3，過(guò)濾半徑設(shè)置為1.1。具體參數(shù)設(shè)置如表2所示?；赟IMP方法，不考慮宏微觀協(xié)同設(shè)計(jì)時(shí)，該模型的優(yōu)化構(gòu)型和柔度值c如圖4所示。

表2 宏微觀優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)

圖4 基于傳統(tǒng)SIMP方法的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)

在不同子結(jié)構(gòu)大小下的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。從優(yōu)化結(jié)果可看出，設(shè)計(jì)域劃分的子結(jié)構(gòu)越多則結(jié)構(gòu)桿系特征越明顯，隨著子結(jié)構(gòu)數(shù)量的增多，其宏觀結(jié)構(gòu)的柔度值先增大后減小。

(a)Nx×Ny=2×1, (b)Nx×Ny=8×4,c=79.72 c=90.03

微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中，隨著宏觀結(jié)構(gòu)的桿系特征越來(lái)越明顯，材料逐漸向微結(jié)構(gòu)中集中，使得微觀結(jié)構(gòu)周期性子結(jié)構(gòu)中的材料增多，微結(jié)構(gòu)的桿系特征越來(lái)越不明顯。

隨著設(shè)計(jì)域中的子結(jié)構(gòu)數(shù)量增多，通過(guò)式(11)可得出宏觀結(jié)構(gòu)的材料會(huì)逐漸集中到各個(gè)子結(jié)構(gòu)中，使得周期子結(jié)構(gòu)單胞中的材料逐步增多。對(duì)比圖5c與圖5d，宏觀結(jié)構(gòu)的桿系特征越明顯，材料在子結(jié)構(gòu)單胞中的集中程度越大。由此可以推導(dǎo)出，在利用所提出的周期性子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，需要平衡宏觀結(jié)構(gòu)劃分和周期子結(jié)構(gòu)單胞大小。

3.2 固端梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)(實(shí)例2)

如圖6所示的固端梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中，設(shè)計(jì)域大小為L(zhǎng)1×L2=2×1，其左右兩側(cè)固定，設(shè)計(jì)域中心受F=1 N的載荷。宏觀結(jié)構(gòu)劃分為Nx×Ny=8×4個(gè)子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)大小m×m分別設(shè)置為10×10、20×20、30×30、40×40，體積約束為0.3。宏微觀優(yōu)化參數(shù)同上一實(shí)例。

圖6 優(yōu)化模型(實(shí)例2)

在不同子結(jié)構(gòu)大小下，該優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7所示。從優(yōu)化構(gòu)型來(lái)看，宏觀結(jié)構(gòu)基本相似，其結(jié)構(gòu)柔度值隨著子結(jié)構(gòu)的增大先增大后減小。從微觀構(gòu)型來(lái)看，無(wú)論子結(jié)構(gòu)尺寸的大小，均可得到相似的微觀構(gòu)型，隨著子結(jié)構(gòu)尺寸的增大，構(gòu)型越來(lái)越清晰，其周期性子結(jié)構(gòu)如圖8所示。

(a)m×m=10×10, (b)m×m=20×20,c=12.97 c=13.55

(a)m×m=10×10 (b)m×m=20×20

從優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)分析，本文所提的周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法所得結(jié)構(gòu)柔度值均小于ARSP方法[1]所得結(jié)構(gòu)柔度值。相比于ARSP方法，本文方法由于擴(kuò)展了子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的設(shè)計(jì)空間，可以得到柔度更小的優(yōu)化構(gòu)型。

在宏微觀協(xié)同優(yōu)化過(guò)程中，由于微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化嵌入到了宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，為了得到清晰的微觀構(gòu)型，微觀優(yōu)化變量迭代步長(zhǎng)應(yīng)小于宏觀優(yōu)化步長(zhǎng)，避免迭代步長(zhǎng)太大使得微觀構(gòu)型變化劇烈，從而引起宏觀優(yōu)化時(shí)的收斂速度緩慢的問(wèn)題。圖7d的優(yōu)化收斂過(guò)程如圖9所示。在迭代計(jì)算中，最后一步的柔度值有較大程度的減小，這是由于在該迭代步的前一步已經(jīng)得到了最優(yōu)構(gòu)型，即該迭代步不屬于優(yōu)化過(guò)程的迭代步，而是為了獲得優(yōu)化構(gòu)型的實(shí)際柔度值，通過(guò)有限元方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的直接計(jì)算，即懲罰因子設(shè)置為1時(shí)獲得的結(jié)構(gòu)柔度值。通過(guò)SIMP方法，在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中宏觀材料含量不變，其材料在微觀周期性單胞構(gòu)型和宏觀周期性結(jié)構(gòu)分布之間進(jìn)行匹配，以同時(shí)獲得宏微觀構(gòu)型。

圖9 圖7d的收斂過(guò)程

對(duì)比上述兩個(gè)實(shí)例，為了避免由于宏觀子結(jié)構(gòu)數(shù)增多而導(dǎo)致的周期性子結(jié)構(gòu)大小減小，進(jìn)而導(dǎo)致材料在周期性子結(jié)構(gòu)中過(guò)度集中，難以獲得具有明顯幾何特征的周期性子結(jié)構(gòu)，在利用所提方法進(jìn)行周期性宏微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，盡量采用固定周期性子結(jié)構(gòu)單胞大小的形式進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，既可獲得清晰的宏觀構(gòu)型，又可避免由于材料集中引起的周期子結(jié)構(gòu)單胞結(jié)構(gòu)特征不清晰的問(wèn)題。

4 結(jié)論

本文提出了基于子結(jié)構(gòu)法的周期性微觀構(gòu)型的宏微觀協(xié)同設(shè)計(jì)方法，根據(jù)子結(jié)構(gòu)凝聚和反求構(gòu)建對(duì)應(yīng)的宏微觀優(yōu)化模型。基于SIMP方法的優(yōu)化框架，利用子結(jié)構(gòu)的自由度凝聚實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的宏觀構(gòu)型設(shè)計(jì)，利用子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度反求來(lái)實(shí)現(xiàn)周期性微觀構(gòu)型設(shè)計(jì)，同時(shí)給出了該優(yōu)化方法的靈敏度計(jì)算和變量更新迭代方法。通過(guò)兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的合理性。

相比于傳統(tǒng)基于均勻化的宏微觀協(xié)同優(yōu)化方法，基于子結(jié)構(gòu)的宏微觀協(xié)同優(yōu)化方法可利用子結(jié)構(gòu)及其對(duì)應(yīng)超單元實(shí)現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)的快速迭代和微觀結(jié)構(gòu)的再設(shè)計(jì)。由于子結(jié)構(gòu)是宏觀設(shè)計(jì)域的一部分，網(wǎng)格、節(jié)點(diǎn)等是一一對(duì)應(yīng)的，故解決了均勻化方法的尺度分離問(wèn)題。同時(shí)通過(guò)子結(jié)構(gòu)自由度凝聚提高了宏觀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)效率。

盡管本文基于子結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了周期性結(jié)構(gòu)的宏微觀協(xié)同設(shè)計(jì)，但仍然存在以下幾個(gè)問(wèn)題，需要進(jìn)一步研究。一是優(yōu)化效率需要進(jìn)一步研究。通過(guò)構(gòu)建子優(yōu)化問(wèn)題實(shí)現(xiàn)微觀周期性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，子結(jié)構(gòu)劃分的網(wǎng)格數(shù)越多，則微結(jié)構(gòu)構(gòu)型越精細(xì)，但也制約著整個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算效率。二是宏微觀設(shè)計(jì)參數(shù)的匹配仍需要進(jìn)一步研究。較大的迭代步長(zhǎng)會(huì)加快結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的收斂速度，本文中宏觀結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)通過(guò)兩個(gè)關(guān)聯(lián)的優(yōu)化問(wèn)題分別設(shè)計(jì)，較小的子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量迭代步長(zhǎng)將影響宏觀結(jié)構(gòu)的收斂，較大的宏觀設(shè)計(jì)變量迭代步長(zhǎng)可能會(huì)讓子結(jié)構(gòu)得不到合適的微觀構(gòu)型。