陳萬(wàn)春，于 琦，楊 勁，余文斌，楊 良

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京，102206）

0 引 言

升力體飛行器是一種使用運(yùn)載火箭助推，利用高升阻比特點(diǎn)在大氣層內(nèi)遠(yuǎn)距離高速滑翔的飛行器，與傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈相比，具有機(jī)動(dòng)范圍廣、飛行軌跡不確定性強(qiáng)、敵地面雷達(dá)探測(cè)距離短等優(yōu)點(diǎn)，因而成為目前的研究熱點(diǎn)問(wèn)題。但是，升力體飛行器的飛行環(huán)境惡劣，力熱約束強(qiáng)，其彈道規(guī)劃和制導(dǎo)難度較大。

常規(guī)再入制導(dǎo)律首先需要規(guī)劃再入走廊，在走廊內(nèi)規(guī)劃一條滿足終端條件的參考軌跡[1]，但由于無(wú)法抑制由高升阻比引起的弱阻尼長(zhǎng)周期彈道振蕩，無(wú)法可靠導(dǎo)引以CAV為代表的高升阻比飛行器[2]。為了滿足升力體飛行器起滑條件，對(duì)助推段與滑翔段交班誤差要求嚴(yán)格，因此對(duì)助推段制導(dǎo)律提出了較高要求。為保證對(duì)敵方目標(biāo)的有效打擊，還需要滿足反攔截約束。

陳萬(wàn)春教授及其團(tuán)隊(duì)在飛行動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)領(lǐng)域工作20余年，在再入彈道優(yōu)化、再入機(jī)動(dòng)反攔截彈道規(guī)劃與制導(dǎo)等方面完成多項(xiàng)研究，提出一系列適應(yīng)再入任務(wù)的理論方法[3]。本文針對(duì)升力體飛行器彈道規(guī)劃和制導(dǎo)中的難題，歸納總結(jié)研究團(tuán)隊(duì)近年取得的重要成果。

1 平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔彈道發(fā)現(xiàn)與機(jī)理研究

1.1 平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔彈道的發(fā)現(xiàn)

升力體飛行器滑翔段彈道具有長(zhǎng)周期、弱阻尼振蕩的特性，在彈道谷底時(shí)動(dòng)壓和熱流容易超過(guò)力熱約束且大幅增加控制難度。因此期望滑翔彈道是一條平滑無(wú)振蕩的軌跡，即平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔彈道。在彈道規(guī)劃時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變初始狀態(tài)，可以得到平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔彈道，如圖1所示[4]。

圖1 不同初始狀態(tài)下的滑翔彈道 Fig.1 Glide Trajectories with Different Initial States

1.2 彈道阻尼控制技術(shù)

如果只通過(guò)調(diào)整初始狀態(tài)獲得平穩(wěn)滑翔彈道，則對(duì)初始狀態(tài)有極高的精度要求，幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此需要設(shè)計(jì)一種控制方法，使其在有初始狀態(tài)偏差的情況下，彈道也能迅速收斂到平穩(wěn)滑翔彈道，稱之為彈道阻尼控制技術(shù)（Trajectory Damping Control Technique，TDCT）。

1.2.1 自然穩(wěn)定滑翔彈道阻尼控制技術(shù)

自然穩(wěn)定滑翔彈道阻尼控制技術(shù)的控制機(jī)理是將彈道傾角γ與平穩(wěn)滑翔彈道傾角SGγ的偏差作為反饋?lái)?xiàng)添加到基準(zhǔn)攻角 bslα與基準(zhǔn)傾側(cè)角 bslσ中，以改變升力在鉛垂方向上的分量來(lái)影響高度變化，最終使得彈道穩(wěn)定在平穩(wěn)滑翔彈道傾角附近[5,6]。利用彈道阻尼控制技術(shù)得到的指令攻角為αcmd= αbsl+ kγcosσbsl(γSG-γ)，指令傾側(cè)角為σcmd= σbsl- kγsinσbsl(γSG- γ )α1。其中，kγ是反饋增益系數(shù)。彈道阻尼控制技術(shù)可以有效抑制自然穩(wěn)定滑翔彈道的振蕩，見(jiàn)圖2。

圖2 自然穩(wěn)定滑翔彈道阻尼控制結(jié)果 Fig.2 Natural-stable Glide Trajectories with TDCT

1.2.2 自然不穩(wěn)定滑翔彈道阻尼控制技術(shù)

針對(duì)自然不穩(wěn)定彈道（如氣動(dòng)輔助變軌機(jī)動(dòng)滑翔彈道），進(jìn)一步引入高度H與平穩(wěn)滑翔高度 SGH的偏差ΔH 作為反饋?lái)?xiàng)，得到縱向升力系數(shù)的反饋其中 kf1， kf2與當(dāng)前的高度、速度等飛行狀態(tài)相關(guān)；ξ，ω根據(jù)極點(diǎn)配置法確定。當(dāng)不采用彈道阻尼控制時(shí)，由于飛行速度大于第一宇宙速度，在科式力的作用下，飛行器高度迅速上升直至逃逸出大氣層；當(dāng)采用彈道阻尼控制時(shí)，飛行高度將穩(wěn)定到平穩(wěn)滑翔高度附近[7]，見(jiàn)圖3。

圖3 自然不穩(wěn)定滑翔彈道阻尼控制結(jié)果 Fig.3 Natural-unstable Glide Trajectories with TDCT

1.3 平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔空間彈道解析解

利用彈道阻尼控制技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)機(jī)動(dòng)滑翔，進(jìn)而根據(jù)滑翔彈道動(dòng)力學(xué)特性推導(dǎo)空間彈道解析解。研究解析解既可以避免大量的數(shù)值積分、實(shí)現(xiàn)快速?gòu)椀酪?guī)劃，對(duì)于滑翔彈道飛行機(jī)理研究也具有重要意義。

1.3.1 忽略地球自轉(zhuǎn)的彈道解析解

通過(guò)對(duì)不考慮地球自轉(zhuǎn)的再入運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和線化[8]，得到了一個(gè)以縱向升阻比1/L D和橫向升阻比2/L D為關(guān)鍵控制參數(shù)的線性時(shí)變系統(tǒng)，然后通過(guò)基于矩陣譜分解的LTV系統(tǒng)解析法解決了橫程與航向角耦合的問(wèn)題，獲得了可以預(yù)測(cè)縱程xD、橫程xC和廣義航向角ψ~的三維空間再入彈道解析解。設(shè)E為當(dāng)前能量，E0為初始能量，eR為地球半徑，μ為引力常數(shù)，ki和 f (E0)與L1/D相關(guān)， F (E ,E0)與E和L2/D相關(guān)。則解析解的簡(jiǎn)化形式為

1.3.2 考慮地球自轉(zhuǎn)的彈道解析解

為了補(bǔ)償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)的影響，將由地球自轉(zhuǎn)引起的慣性力與氣動(dòng)力組合為等效氣動(dòng)力，然后采用等效縱、

式中 XYCS-2= [xD,xC,,t]T，t為飛行時(shí)間；k =fk( L1D , L2D ,φ ,ψ ,ωe)為系數(shù)矩陣，與當(dāng)前飛行狀態(tài)、升阻比剖面和地球自轉(zhuǎn)角速度ωe等相關(guān)。XYCS-2的詳細(xì)表達(dá)式可見(jiàn)文獻(xiàn)[9～10]。對(duì)于1萬(wàn)多公里的航程，該解析解的相對(duì)位置誤差和飛行時(shí)間相對(duì)誤差在3%以內(nèi)。

1.3.3 大橫程機(jī)動(dòng)滑翔彈道解析解

在前期的解析解研究中，往往會(huì)忽略部分縱、橫向耦合因素，假設(shè)飛行器保持在射面附近飛行。為提高大橫程機(jī)動(dòng)下解析解精度，需要充分考慮縱、橫向運(yùn)動(dòng)耦合的影響，通過(guò)采用攝動(dòng)法對(duì)非線性降階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分階處理，進(jìn)而解析求解分階子系統(tǒng)得到高精度的滑翔彈道解析解，表達(dá)形式為

圖4中給出了7個(gè)不同射向的算例。升力體飛行器以約60°大小的傾側(cè)角進(jìn)行大橫程機(jī)動(dòng)時(shí)，最大橫程接近4000 km。與彈道仿真結(jié)果相比，而無(wú)地球自轉(zhuǎn)解析解（YCS-1）和考慮地球自轉(zhuǎn)解析解（YCS-2）的橫程最大相對(duì)誤差超過(guò)45%，而大橫程機(jī)動(dòng)解析解（YCS-3）的精度大幅提升，橫程相對(duì)誤差小于1%。

圖4 大橫程機(jī)動(dòng)解析解精度驗(yàn)證 Fig.4 Verification of Accuracy of the Analytical Solutions

1.3.4 星際航行返回滑翔再入解析解

以月球返回再入任務(wù)為例，飛行器再入速度可接近第二宇宙速度。對(duì)于高升阻比飛行器，可以通過(guò)在大氣層內(nèi)的長(zhǎng)遠(yuǎn)距離滑行來(lái)消耗能量，與傳統(tǒng)的二次再入彈道相比，這種再入方式峰值過(guò)載更小，更適合載人飛行任務(wù)。如圖5所示，這種星際航行返回平穩(wěn)滑翔再入彈道可分為拉起段和滑翔段，其中滑翔段又可分為3個(gè)階段：自然不穩(wěn)定滑翔、跨模態(tài)滑翔、自然穩(wěn)定滑翔。

圖5 星際航行返回平穩(wěn)滑翔再入彈道示意 Fig.5 Sketch of the Special Re-entry Flight Scheme

在拉起段，升力將飛行器拉起至合適的高度以平穩(wěn)切換至滑翔段；在自然不穩(wěn)定滑翔階段，飛行器以大于第一宇宙速度的速度大小飛行，縱向升力向下以平衡科氏力等作用；在跨模態(tài)滑翔階段，飛行器在第一宇宙速度附近飛行，并且會(huì)經(jīng)歷升力方向從向下到向上的飛行模態(tài)變化；自然穩(wěn)定滑翔段為常規(guī)的再入平穩(wěn)滑翔階段。針對(duì)上述各個(gè)階段，目前均已推導(dǎo)了高精度的彈道解析解[7,10～13]。

2 滑翔段在線制導(dǎo)方法

高升阻比再入飛行器滑行距離遠(yuǎn)，橫向機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，具備禁飛區(qū)規(guī)避能力。本章主要介紹基于解析解的平穩(wěn)滑翔在線彈道規(guī)劃與制導(dǎo)方法：基于縱程解析解規(guī)劃縱向升阻比剖面以滿足能量管理需求，基于橫程解析解規(guī)劃傾側(cè)反轉(zhuǎn)點(diǎn)以規(guī)避禁飛區(qū)和滿足終端橫程約束。利用彈道阻尼控制技術(shù)抑制彈道振蕩。

2.1 考慮多禁飛區(qū)的傾側(cè)反轉(zhuǎn)點(diǎn)解析迭代規(guī)劃方案

本節(jié)介紹一種反轉(zhuǎn)次數(shù)漸增的傾側(cè)反轉(zhuǎn)點(diǎn)解析迭代規(guī)劃策略[9]：a）在首次規(guī)劃中僅根據(jù)終端橫程要求安排兩次反轉(zhuǎn)；b）逐個(gè)檢測(cè)所有有效禁飛區(qū)約束滿足情況：如果不滿足某一個(gè)禁飛區(qū)約束，則進(jìn)入c；如果滿足，則保留原有反轉(zhuǎn)點(diǎn)；c）基于解析解調(diào)整或增加傾側(cè)反轉(zhuǎn)點(diǎn)以規(guī)避禁飛區(qū)；d）重新規(guī)劃后續(xù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)以滿足終端橫程要求。當(dāng)出現(xiàn)無(wú)法全部規(guī)避的情況時(shí)，優(yōu)先規(guī)避威脅等級(jí)較高的禁飛區(qū)，并且在每處理完一個(gè)禁飛區(qū)約束之后就立即考慮終端橫程約束規(guī)劃后續(xù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)，這樣有利于防止軌跡為了規(guī)避禁飛區(qū)而偏離目標(biāo)太遠(yuǎn)，從而導(dǎo)致最終無(wú)法抵達(dá)目標(biāo)。

為了檢驗(yàn)制導(dǎo)律的效果，這里提供2個(gè)算例：算例1中，飛行器需要面對(duì)16個(gè)半徑為200 km的小型禁飛區(qū)；算例2中，飛行器需要規(guī)避3個(gè)半徑為500～800 km不等的大型禁飛區(qū)。仿真結(jié)果如圖6所示，飛行器成功規(guī)避所有禁飛區(qū)。

圖6 繞禁飛區(qū)仿真結(jié)果 Fig.6 Simulation Results of No-fly Zone Avoidance

2.2 多飛行器協(xié)同再入彈道規(guī)劃與制導(dǎo)

本節(jié)介紹基于時(shí)間解析解的多飛行器協(xié)同再入彈道規(guī)劃與制導(dǎo)方法[10]。由于飛行時(shí)間和縱程都與縱向升阻比相關(guān)，這里將原本的常值縱向升阻比部分設(shè)計(jì)為線性縱向升阻比，從而增加一個(gè)關(guān)鍵剖面參數(shù)，并利用縱程解析解和時(shí)間解析解規(guī)劃縱向升阻比剖面關(guān)鍵參數(shù)，從而在滿足能量管理要求的同時(shí)控制飛行時(shí)間。

為展示協(xié)同制導(dǎo)律具備應(yīng)對(duì)復(fù)雜情況的能力，圖7給出了繞64個(gè)隨機(jī)分布禁飛區(qū)（半徑均為200 km）的協(xié)同再入飛行算例。飛行器V1～V3的初始高度為80 km，初始速度為7100 m/s，初始時(shí)間誤差為30 s。終端誤差如表1所示，從中可以看出協(xié)同再入制導(dǎo)律可以在保證終端精度的前提下很好地實(shí)現(xiàn)時(shí)間協(xié)同。

圖7 繞64個(gè)隨機(jī)分布禁飛區(qū)的再入?yún)f(xié)同飛行 Fig.7 Simulation Results of Coordinate Flight with 64 No-fly Zones

表1 協(xié)同制導(dǎo)終端誤差 Tab.1 Terminal Error for Cooperative Guidance

2.3 基于解析解的橫向大機(jī)動(dòng)智能橫程協(xié)同制導(dǎo)

為充分發(fā)揮橫向機(jī)動(dòng)能力，本節(jié)介紹一種基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的智能橫程機(jī)動(dòng)再入?yún)f(xié)同制導(dǎo)方法[14]。在縱向制導(dǎo)中，仍然采用基于縱程解析解的制導(dǎo)策略，以滿足射程要求。在橫向制導(dǎo)中，基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)，尋找滿足期望的最佳傾側(cè)反轉(zhuǎn)策略，以實(shí)現(xiàn)飛行時(shí)間協(xié)同，其算法結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 DQN算法結(jié)構(gòu) Fig.8 Structure Diagram of DQN Algorithm

在訓(xùn)練好的智能體的基礎(chǔ)上，開(kāi)展仿真試驗(yàn)，結(jié)果如圖9所示。將本節(jié)的制導(dǎo)算法稱為“解析-智能制導(dǎo)”，2.2節(jié)的制導(dǎo)律稱為“純解析制導(dǎo)”。從圖9中可以看出：針對(duì)不同再入任務(wù)，基于DQN的橫向智能決策器擺脫了原來(lái)基于規(guī)則的橫向制導(dǎo)邏輯約束，具備自主智能調(diào)節(jié)反轉(zhuǎn)策略的能力和良好的任務(wù)適應(yīng)性。通過(guò)較少的傾側(cè)反轉(zhuǎn)次數(shù)使得末段橫向機(jī)動(dòng)范圍擴(kuò)大約1000 km，令再入彈道橫向設(shè)計(jì)具有更多的可能性。

圖9 智能橫程機(jī)動(dòng)協(xié)同制導(dǎo)地面軌跡 Fig.9 Ground Tracks for Multi-vehicle Cooperative Attack

3 廣義標(biāo)控脫靶量在線最優(yōu)制導(dǎo)方法

與零控脫靶量相比，標(biāo)控脫靶量是指當(dāng)飛行器采用任意已知控制律時(shí)，導(dǎo)彈和目標(biāo)最終錯(cuò)過(guò)的距離。在此基礎(chǔ)上，每一項(xiàng)終端約束的偏差均可視為廣義標(biāo)控脫靶量，可以大幅提升制導(dǎo)律的適應(yīng)性。

3.1 助推段廣義標(biāo)控脫靶量制導(dǎo)律

3.1.1 助推段高精度彈道解析解

為快速計(jì)算廣義標(biāo)控脫靶量[15,16]，推導(dǎo)助推段高精度彈道解析解。根據(jù)泰勒展式，將彈道解析解分解為零控基準(zhǔn)解、非零攻角增量解和非零側(cè)滑角增量解，再使用攝動(dòng)法分別求解。解析解的形式可表示為

式中 X =[V ,γ, h,ψ]T；α和αsqu為插值節(jié)點(diǎn)處攻角和其平方組成的向量；β和squβ為插值節(jié)點(diǎn)處側(cè)滑角和其平方組成的向量；1αX～5αX，1βX和 2βX為系數(shù)矩陣。

3.1.2 助推段多約束在線彈道規(guī)劃方法

在進(jìn)行標(biāo)控攻角曲線設(shè)計(jì)時(shí)，需滿足終端彈道傾角和高度約束。考慮如下性能泛函：

利用Gauss積分將性能泛函中的積分項(xiàng)進(jìn)行離散，使用序列二次規(guī)劃，可以求解插值節(jié)點(diǎn)處的攻角向量。最后，通過(guò)拉格朗日插值得到標(biāo)稱攻角。

為了滿足終端速度及彈道偏角約束，設(shè)計(jì)如下標(biāo)控側(cè)滑角曲線：

式中0β，m為待優(yōu)化參數(shù)，可利用牛頓迭代法求解。

3.1.3 助推段多約束在線最優(yōu)制導(dǎo)律

當(dāng)飛行中存在擾動(dòng)時(shí)，為了提升終端精度，還需設(shè)計(jì)助推段在線最優(yōu)制導(dǎo)律。第1級(jí)程序轉(zhuǎn)彎段可使用文獻(xiàn)[17]中的方案。在制導(dǎo)段中，根據(jù)最優(yōu)控制理論，可以推導(dǎo)得到最優(yōu)制導(dǎo)律形式為

式中 Δ hf， Δγf， ΔVf， Δψf為廣義標(biāo)控脫靶量；Nh， Nγ，VN，Nψ為制導(dǎo)系數(shù)。

為了驗(yàn)證所提出的助推段制導(dǎo)律的效果，設(shè)終端彈道傾角為0°，終端高度可變，仿真結(jié)果如圖10所示。當(dāng)使用不同終端高度約束時(shí)，所得彈道簇與鵝頭較為類似（見(jiàn)圖10a），因此稱之為鵝頭彈道。

圖10 助推段制導(dǎo)律仿真結(jié)果 Fig.10 Simulation Results of Guidance Law in Boost Phase

續(xù)圖10

3.2 滑翔段線性偽譜廣義標(biāo)控脫靶量制導(dǎo)律

偽譜法因其不需要推導(dǎo)復(fù)雜的協(xié)態(tài)方程、對(duì)初值不敏感、具有指數(shù)收斂性質(zhì)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于最優(yōu)控制問(wèn)題的求解中。但偽譜法還存在收斂速率無(wú)理論證明、計(jì)算量大無(wú)法在線應(yīng)用等難題。本節(jié)將介紹偽譜法收斂速率的理論證明方法和線性偽譜廣義標(biāo)控脫靶量制導(dǎo)方法，解決了上述難題。

3.2.1 偽譜法收斂性國(guó)際公開(kāi)問(wèn)題證明

自2006年起，Hager教授[18]開(kāi)始對(duì)偽譜法收斂性證明問(wèn)題進(jìn)行研究，并將問(wèn)題歸結(jié)為狀態(tài)、控制、協(xié)態(tài)和其最優(yōu)解之差的范數(shù)需滿足下式：

教師可結(jié)合上述問(wèn)題與實(shí)際教學(xué)情況向?qū)W生提出：“三角形與直角坐標(biāo)系具有哪些特殊的性質(zhì)與特征？”等問(wèn)題。其中教師的主要活動(dòng)為結(jié)合實(shí)際問(wèn)題提出科學(xué)的疑問(wèn)，并讓中等生對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行解答。學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行回答期間若不完整，教師則應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)充與說(shuō)明。其主要目的是讓學(xué)生利用對(duì)以往數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，使學(xué)生在解答這一函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題期間可更好地想起以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并為其解題創(chuàng)造良好的條件。

進(jìn)一步可歸結(jié)為四類微分矩陣存在最大范數(shù)邊界，由于證明難度太大，Hager教授于2015年將其作為數(shù)學(xué)公開(kāi)問(wèn)題發(fā)布。文獻(xiàn)[18]中，通過(guò)推導(dǎo)歐式范數(shù)的解析表達(dá)式給出了Gauss配點(diǎn)和Radau配點(diǎn)下矩陣范數(shù)邊界值的嚴(yán)格證明，攻克了這一國(guó)際計(jì)算數(shù)學(xué)公開(kāi)問(wèn)題，使該長(zhǎng)達(dá)13年懸而未結(jié)的問(wèn)題得到最終解決。

3.2.2 基于線性偽譜法滑翔段廣義標(biāo)控脫靶量在線最

優(yōu)制導(dǎo)律

在本節(jié)中，將介紹線性偽譜模型預(yù)測(cè)控制方法（Linear Pseudospectral Model Predictive Control， LPMPC）[19,20]。其主要由4部分組成，分別是積分預(yù)測(cè)、擬線性化、線性偽譜求解和控制解析修正，流程如圖11所示。該制導(dǎo)律的效果如圖12所示。

圖11 線性偽譜制導(dǎo)律流程 Fig.11 Flowchart of LPMPC

圖12 線性偽譜制導(dǎo)律仿真結(jié)果 Fig.12 Simulation Results of LPMPC

為了檢驗(yàn)該制導(dǎo)方法規(guī)避禁飛區(qū)的效果，開(kāi)展如圖13所示的仿真試驗(yàn)。10個(gè)升力體飛行器從不同的起點(diǎn)攻擊3個(gè)目標(biāo)，滑翔段中存在24個(gè)禁飛區(qū)約束。從圖13中可以看出，10個(gè)飛行器均能規(guī)避全部禁飛區(qū)。

圖13 繞多禁飛區(qū)線性偽譜制導(dǎo)律仿真結(jié)果 Fig.13 Simulation Results of LPMPC with Mutiple No-fly Zones

4 末段反攔截彈道規(guī)劃方法

對(duì)于末段彈道而言，無(wú)法通過(guò)繞飛規(guī)避敵末段攔截系統(tǒng)。常用的反攔截機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)方法有2種：選擇合適的方向側(cè)向繞飛；通過(guò)最優(yōu)機(jī)動(dòng)反攔截。

4.1 滿足落角和落速約束的末段彈道規(guī)劃

該方法是將空間彈道分解為縱平面彈道和水平面彈道，分別使用幾何曲線獨(dú)立設(shè)計(jì)得到的。當(dāng)使用不同終端速度約束時(shí)，所得彈道簇與蝴蝶較為類似（見(jiàn)圖14），因此稱之為蝴蝶彈道。為了驗(yàn)證此類彈道的反攔截能力，使用PAC-3型攔截彈進(jìn)行攔截仿真，攔截概率如表2所示。從表2中可以看出當(dāng)落點(diǎn)偏角為-90°時(shí)，攔截概率可以縮小到0.1%。但受限于幾何彈道的特點(diǎn)，當(dāng)落點(diǎn)傾角確定后，落點(diǎn)偏角和落速相互耦合，無(wú)法獨(dú)立調(diào)節(jié)。

圖14 用于攔截仿真的蝴蝶彈道 Fig.14 Butterfly Trajectories for Intercept Simulation

續(xù)圖14

表2 蝴蝶彈道對(duì)抗PAC-3攔截概率表 Tab.2 Penetration Probabilities of Butterfly Trajectories Against PAC-3

4.1.2 同時(shí)滿足落角和落速約束的末段制導(dǎo)律

為了同時(shí)滿足落角和落速約束，我們將制導(dǎo)律的形式分解為兩部分[21]，即：acmd= aTSG+aspeed。其中，aTSG是彈道整形制導(dǎo)律生成的制導(dǎo)指令，其可以導(dǎo)引飛行器從預(yù)定方向命中目標(biāo)，speeda是終點(diǎn)速度控制方案生成的機(jī)動(dòng)指令，其控制飛行器做適當(dāng)?shù)臋M向機(jī)動(dòng)，以調(diào)節(jié)終點(diǎn)速度大小。

為了導(dǎo)引飛行器從期望方向命中目標(biāo)，這里采用文獻(xiàn)[22]提出的彈道整形制導(dǎo)律，如式（9）所示：

式中 C1，C2為制導(dǎo)律系數(shù)，其余各變量的定義可見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。使用譜分解方法可以求得加速度指令的廣義解析公式，并據(jù)此可得制導(dǎo)律系數(shù)穩(wěn)定域，如圖15所示，可以保證終端指令收斂到0。

圖15 彈道整形制導(dǎo)律系數(shù)穩(wěn)定域 Fig.15 The Stability Domain of the Guidance Coefficients

終點(diǎn)速度控制方案產(chǎn)生加速度指令speeda方向在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)并垂直于包含速度矢量的縱平面，形式為

式中 kvf＞0，用于控制飛行器橫向機(jī)動(dòng)幅度，從而調(diào) 節(jié)終點(diǎn)速度，可由割線法求解；0ψ為初始航向角為初始視線方位角。

為驗(yàn)證制導(dǎo)律的效果，給出了與傳統(tǒng)彈道整形制導(dǎo)律對(duì)比的仿真結(jié)果，如圖16所示，可以看出，所提出的制導(dǎo)律對(duì)終端速度和終端攻角的控制效果更好。

圖16 彈道整形制導(dǎo)律仿真結(jié)果 Fig.16 Simulation Results of Trajectory-shaping Guidance

4.2 最優(yōu)機(jī)動(dòng)反攔截策略

4.2.1 多對(duì)象、多段、多約束反攔截彈道優(yōu)化

為了反映較為復(fù)雜的攻防對(duì)抗場(chǎng)景，同時(shí)考慮進(jìn)攻彈、攔截彈、打擊目標(biāo)3個(gè)對(duì)象，將攻防對(duì)抗時(shí)序分為彈目交戰(zhàn)、攔截彈指令飽和、對(duì)地攻擊等3個(gè)不同階段，考慮熱流、過(guò)載、動(dòng)壓、攔截彈動(dòng)力學(xué)等約束，建立多對(duì)象、多段、多約束最優(yōu)控制問(wèn)題[23]。綜合考慮反攔截性能、精確打擊性能、控制平滑性能設(shè)計(jì)性能泛函，使用Radau偽譜法求解該最優(yōu)控制問(wèn)題，即可得到最優(yōu)反攔截彈道。

為了驗(yàn)證最優(yōu)機(jī)動(dòng)彈道的優(yōu)越性，與垂直S機(jī)動(dòng)彈道進(jìn)行對(duì)比，兩種機(jī)動(dòng)的控制曲線如圖17所示。最優(yōu)機(jī)動(dòng)的攔截彈脫靶量為234.6 m，垂直S機(jī)動(dòng)的攔截彈脫靶量為119.7 m，可見(jiàn)最優(yōu)機(jī)動(dòng)的反攔截效果更好。

圖17 數(shù)值最優(yōu)機(jī)動(dòng)和程序機(jī)動(dòng)對(duì)比 Fig.17 Comparison between Numberical Optimal Maneuver and Program Maneuver

4.2.2 基于脫靶量級(jí)數(shù)解的最優(yōu)機(jī)動(dòng)反攔截策略

由于Radau偽譜法計(jì)算量較大，不適合在線應(yīng)用。利用伴隨法，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得當(dāng)目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)時(shí)，使用比例導(dǎo)引律的攔截彈的脫靶量解析解為[24,25]

式中 k為衰減常數(shù)；n為需計(jì)算的項(xiàng)數(shù)；dn為系數(shù)。

最優(yōu)機(jī)動(dòng)的目的是使攔截彈脫靶量最大，因此最 優(yōu) 反 攔截控制律可表 示為其中，tgo為剩余飛行時(shí)間。

為驗(yàn)證所提出最優(yōu)制導(dǎo)律的性能，開(kāi)展如圖18所示的攻防對(duì)抗仿真。從圖18中可以看出最優(yōu)機(jī)動(dòng)的反攔截效果明顯。而當(dāng)使用階躍機(jī)動(dòng)或蛇形機(jī)動(dòng)等機(jī)動(dòng)時(shí)，無(wú)法保證反攔截可靠性。

圖18 基于脫靶量級(jí)數(shù)解的最優(yōu)機(jī)動(dòng)結(jié)果 Fig.18 Optimal Maneuver based on Power Series Solution of Miss Distance

綜上：a）階躍機(jī)動(dòng)只有在彈目相對(duì)距離較短時(shí)可以產(chǎn)生與最優(yōu)機(jī)動(dòng)相同的效果，但機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)的選擇是關(guān)鍵。b）以蛇形機(jī)動(dòng)、方波機(jī)動(dòng)為代表的等周期機(jī)動(dòng)在交戰(zhàn)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，被攔截的機(jī)會(huì)也較多。c）數(shù)值最優(yōu)機(jī)動(dòng)和基于脫靶量級(jí)數(shù)解的最優(yōu)機(jī)動(dòng)都展現(xiàn)了最優(yōu)機(jī)動(dòng)是非等周期機(jī)動(dòng)，只要制導(dǎo)時(shí)間足夠長(zhǎng)，最優(yōu)機(jī)動(dòng)的脫靶量可達(dá)階躍機(jī)動(dòng)數(shù)倍，但脫靶量解析解和機(jī)動(dòng)變號(hào)時(shí)機(jī)是關(guān)鍵。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)升力體飛行器彈道規(guī)劃和制導(dǎo)中遇到的難題，總結(jié)了研究團(tuán)隊(duì)近年來(lái)提出的相關(guān)重要成果。在本文的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步提升反攔截效能，今后將深入開(kāi)展體系對(duì)抗環(huán)境下的升力體飛行器作戰(zhàn)運(yùn)用方法研究。