江蘇省如皋市第一中學(xué)

任 丹

1 引言

HPM(HistoryandPedagogyofMathematics)是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相結(jié)合的教學(xué)模式.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分教師往往將教學(xué)重點放在知識點以及方法的應(yīng)用上，學(xué)生很難在目的性較強的教學(xué)過程中構(gòu)建完整的知識體系，機械化的學(xué)習(xí)活動也會讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏趣味性.在新課改的大背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸強調(diào)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升，尤其是數(shù)學(xué)文化在教學(xué)過程中的滲透.因此,基于HPM教學(xué)理念開展教學(xué)具有重要的理論與實踐意義.本文基于教學(xué)實踐經(jīng)驗，結(jié)合HPM理念，闡述了該模式的教學(xué)意義，并以“等差數(shù)列概念”教學(xué)為例，提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實施路徑，以期為廣大師生提供教學(xué)參考.

2 滲透數(shù)學(xué)文化，樹立數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)史是人類文化歷史的重要組成部分，因此數(shù)學(xué)教育在重視知識與方法的基礎(chǔ)上，還需要強化歷史文化教育.HPM理念能夠促使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過程中提升文化素養(yǎng)，感受知識與方法的起源與發(fā)展過程.在教學(xué)過程中，融入數(shù)學(xué)文化，可以幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念，并通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，進而主動了解數(shù)學(xué)史，理解數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生與發(fā)展，感受知識與技能的更新與變化.

3 引發(fā)深度思考，提升思維能力

對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在觀察認知、空間想象、抽象概括等方面的要求較高.在核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求下，在教學(xué)中科學(xué)融入數(shù)學(xué)史，能夠激發(fā)學(xué)生的深度思考，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)判斷客觀事物，準(zhǔn)確揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象所包含的深刻含義.同時，數(shù)學(xué)史中包含了數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的起源與發(fā)展歷程，是前人長期研究總結(jié)的實踐成果，具備高度的抽象性與凝練性，其中蘊含的思想能夠提升學(xué)生的思維能力.

4 提升趣味性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

不同于物理、化學(xué)等理科學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)中基本不涉及實驗等實踐內(nèi)容，以理論推導(dǎo)與應(yīng)用為主，具有較強的抽象性，這一特征決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒.然而，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展包含了豐富的歷史文化要素，教師可以在教學(xué)過程中科學(xué)融入這些歷史文化內(nèi)容，向?qū)W生展示相關(guān)概念定理的起源以及演繹過程，增強趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5 教學(xué)設(shè)計——以“等差數(shù)列概念”為例

筆者以“等差數(shù)列概念”為例開展數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的研究，探究HPM理念的教學(xué)實施路徑.

5.1 教材及學(xué)情

“等差數(shù)列”的教學(xué)內(nèi)容在教材中是通過生活案例引入，幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，為教學(xué)活動奠定基礎(chǔ).與之類似，本教學(xué)設(shè)計是選用數(shù)學(xué)史內(nèi)容來引入教學(xué)，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5.2 目標(biāo)與重難點

知識與技能方面，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解等差數(shù)列的概念以及通項公式；過程與方法方面，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、歸納總結(jié)、自主探究與知識應(yīng)用能力；情感與價值觀方面，讓學(xué)生體驗由具體到抽象的認知演變規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，通過合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)合作能力.

“等差數(shù)列”這節(jié)的重點是理解等差數(shù)列的概念以及通項公式并能簡單應(yīng)用，難點為通項公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

5.3 教學(xué)過程

5.3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

教師：古時候沒有日歷，那時的人們是怎么確定日期的呢？

學(xué)生1：可以用繩子系扣的方式，每天系一個扣，扣的個數(shù)就是天數(shù).

教師：諸如這位同學(xué)的方法有很多，比如在石頭、木頭上刻記號等，但是如果起始日期不是每個月的第一天，那么記錄的數(shù)據(jù)就不能直接使用.其實，在遠古時期，人們就通過月相來記錄日期，即根據(jù)月亮的圓缺來確定日期.大英博物館收藏的一份公元七世紀(jì)的月相表，每個月的月相情況構(gòu)成一組數(shù)列，如表1所示.觀察表中的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)之間的特點.

表1 大英博物館收藏的月相表

學(xué)生2：月相數(shù)相鄰兩項之間的差值是相同的.

教師：具備這種規(guī)律的數(shù)列就是我們這堂課要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列.如果從第二項開始，每一項與其前一項的差為某一常數(shù)，那么該數(shù)列就是等差數(shù)列，該常數(shù)就是公差，公差表示為d.

設(shè)計意圖：借助數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲與學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的起源與發(fā)展歷史，感受前人的智慧，加深學(xué)生對問題的思考以及對數(shù)學(xué)的喜愛，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析與歸納總結(jié)的能力.

5.3.2 抽象延伸，理解概念

教師：根據(jù)等差數(shù)列的定義，你能夠用數(shù)學(xué)符號表達等差數(shù)列嗎？

學(xué)生3：an+1-an=d，d為常數(shù)，n∈N*.

教師：根據(jù)等差數(shù)列的定義以及數(shù)學(xué)表達式，試判斷以下數(shù)列是否為等差數(shù)列.

①-5，2，-5，2，-5，2.

②-2，2，4，6，8，10.

③6，6，6，6，6，6.

④1，3，5，7，9，11.

學(xué)生4：①不是等差數(shù)列，相鄰項的差值為7和-7，不恒定；②不是等差數(shù)列，第一項與第二項的差值為4，之后相鄰項的差值為2，不恒定；③和④均為等差數(shù)列，其中數(shù)列③公差為0，數(shù)列④公差為2.

設(shè)計意圖：通過數(shù)學(xué)符號對等差數(shù)列的概念進行深入分析，借助具體問題加深學(xué)生對概念的理解，為后續(xù)的理解、記憶以及應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ).

5.3.3 深入探索，公式推導(dǎo)

教師：我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念，那么如果數(shù)列a1，a2，a3，……，an為等差數(shù)列，公差為d，那么數(shù)列{an}任意一項的值與項數(shù)n之間存在什么關(guān)系？

在用累加法進行求解之前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行探究，通過迭代的方式來確定表達式，即a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，以此類推可以得到an=a1+(n-1)d.

在迭代確定規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行累加計算：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…………

an-an-1=d.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察以上算式，如果進行累加處理就可以消去一部分量，最終得到an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d，此式在n=1時依然成立.因此，在n為任意正整數(shù)的情況下該表達式恒成立，這就是等差數(shù)列的通項公式.

設(shè)計意圖：通項公式的推導(dǎo)需要大膽猜想，通過找規(guī)律的方法能得到初步的結(jié)論，以此提升學(xué)生的自信心.公式的推導(dǎo)需要教師適當(dāng)指導(dǎo)，通過迭代或者累加的方法證明學(xué)生的猜想，啟發(fā)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，豐富學(xué)生的歸納總結(jié)、猜想假設(shè)等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

6 總結(jié)

HPM教學(xué)理念對于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的作用，但是在實際教學(xué)過程中，教師自身數(shù)學(xué)史知識的儲備量、對數(shù)學(xué)史的理解、數(shù)學(xué)史料的收集途徑等都會影響教師借助數(shù)學(xué)史開展數(shù)學(xué)教學(xué)的動力以及教學(xué)效果.因此，需要構(gòu)建專門的教學(xué)資源平臺，方便教師收集與整理資料，教師自身也需要加強積累，深化理解，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)史的教學(xué)效果.

綜上所述，HPM的融入能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)體系更為完善，以培養(yǎng)并提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師需要將HPM理念簡單視為一種教學(xué)形式，只追求數(shù)學(xué)史拼湊的教學(xué)方案很難優(yōu)化教學(xué)效果.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入，不僅只局限在數(shù)學(xué)史教學(xué)層面，更應(yīng)該體現(xiàn)在通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)史進行再創(chuàng)造，對數(shù)學(xué)史進行傳承與創(chuàng)新.