河北省唐山市第一中學(xué)

李桂蘭

定義是解決相關(guān)問題的理論基礎(chǔ)和靈魂所在，解題時(shí)要善于回歸定義和應(yīng)用定義.拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)與規(guī)律，恰當(dāng)借助拋物線的定義，能夠有效實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離之間的合理轉(zhuǎn)化.一方面可以將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，建構(gòu)“兩點(diǎn)距離”的直觀問題；另一方面可以將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，建構(gòu)“點(diǎn)線距離”的直觀問題.根據(jù)不同的問題情境，有效轉(zhuǎn)化，合理破解，能起到事半功倍的效果.

1 長(zhǎng)度問題

例1[2021屆貴州省西南名校聯(lián)盟(金太陽(yáng))高三下學(xué)期(3月)開學(xué)考理科數(shù)學(xué)試卷·16]已知拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l0，過F且斜率為1的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，過點(diǎn)A作AP⊥l0，垂足為P，點(diǎn)G為∠PAB的角平分線與l0的交點(diǎn)，則|FG|=______.

分析：借助幾何視角切入，實(shí)現(xiàn)平面解析幾何問題幾何化，通過拋物線的定義以及幾何圖形的直觀，找出相應(yīng)的全等三角形，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的直線方程，結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)的確定，并利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

根據(jù)拋物線的定義，有|AP|=|AF|，又∠PAG=∠FAG，所以△PAG≌△FAG.

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助拋物線的定義，實(shí)現(xiàn)兩線段之間距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化，這也是拋物線的定義的最基礎(chǔ)的應(yīng)用之一.破解此題的基本思路有兩種.①?gòu)拇鷶?shù)視角出發(fā)，設(shè)線，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程是常規(guī)方法；②從幾何視角出發(fā)，借助幾何圖形特征與邏輯推理，找到問題的突破口.而觀察幾何圖形的特征，拋物線的定義的應(yīng)用，可以充分考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 最值問題

分析：借助條件中點(diǎn)、直線、拋物線的數(shù)形結(jié)合以及平面幾何圖形的直觀，利用拋物線的定義加以合理轉(zhuǎn)化，通過動(dòng)點(diǎn)的變化直觀確定最值的條件，進(jìn)而設(shè)出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消參后建立對(duì)應(yīng)的方程，利用判別式法確定參數(shù)的取值，得以求解對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)，最后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

過點(diǎn)B作直線l：x=-1，過點(diǎn)A分別作直線l、拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，如圖1所示.

圖1

根據(jù)拋物線的定義，可得

設(shè)直線AB的方程為x=my-1，將其與拋物線y2=2x聯(lián)立，消去x并整理，可得y2-2my+2=0.

由判別式Δ=4m2-8=0，可得m2=2.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化相應(yīng)的關(guān)系式，為利用平面幾何圖形直觀確定最值的條件奠定基礎(chǔ).涉及此類拋物線中一“動(dòng)”一“靜”的兩個(gè)點(diǎn)的變化問題，關(guān)鍵是利用題目條件“動(dòng)”“靜”結(jié)合以及拋物線定義，“動(dòng)”中取“靜”，確定最值問題的位置，為問題的進(jìn)一步分析與求解指明方向.

3 取值范圍問題

分析：直接將交點(diǎn)P的坐標(biāo)代入已知圓F的方程，通過求解方程來確定參數(shù)的取值；利用平面幾何圖形及拋物線的定義，巧妙將△FAB周長(zhǎng)加以合理轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合直觀分析，進(jìn)而確定其對(duì)應(yīng)的取值范圍.

過點(diǎn)A作拋物線Z的準(zhǔn)線y=-1的垂線，垂足為D，交x軸于點(diǎn)E，如圖2所示.根據(jù)拋物線的定義，可得|FA|=|AD|.

圖2

所以，△FAB周長(zhǎng)為|FA|+|FB|+|AB|=|AD|+2+|AB|=|BD|+2=|BE|+1+2=|BE|+3.

數(shù)形結(jié)合，可知|BE|∈(1，3)，則△FAB周長(zhǎng)|BE|+3∈(4，6).

故填答案：2；(4，6).

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合線段之間的運(yùn)算并通過數(shù)形結(jié)合來確定周長(zhǎng)的取值范圍.避免代數(shù)運(yùn)算中繁雜的運(yùn)算過程，更加簡(jiǎn)單快捷地直達(dá)目的，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙破解，提升解題效益.

在破解涉及拋物線上的點(diǎn)及焦點(diǎn)的一些綜合問題時(shí)，可以考慮利用拋物線的定義，實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之間的合理轉(zhuǎn)化，特別在破解一些拋物線中的長(zhǎng)度、最值、取值范圍等綜合問題中有奇效.利用拋物線定義，回歸問題本質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，有效掌握數(shù)學(xué)思想方法和提升數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).