王 森，王家序，李俊陽，王 博，雷 源，王 成

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

與傳統(tǒng)的漸開線齒廓相比，擺線齒廓具有滑動率低、強度高、重合度大等突出優(yōu)點，然而擺線齒廓由于嚙合角變化大、傳遞效率低等問題，應用范圍受到了很大的限制，主要應用在鐘表齒輪、擺線針輪傳動、轉子泵等特殊領域[1-4]。近年來，越來越多的專家學者開始研究新型擺線類齒廓。

Pollitt等[5]探討了幾種擺線的生成方法，對擺線的實際應用進行了探索。Lai等[6]以坐標變換、包絡理論和共軛曲面理論為基礎，推導出了擺線行星齒輪的嚙合方程，還開發(fā)了求解網格和共軛曲面方程的程序，得到了外擺線剖面。Zhu等[7]綜合定軸齒輪傳動、擺線針輪傳動和擺線齒輪傳動的優(yōu)點后，提出了一種新型擺線針輪傳動。貴新成等[8]提出了一種具有高重合度的新型內嚙合復合擺線齒輪副，并分析了影響重合度的相關因素。Han等[9]基于傳統(tǒng)擺線的成形原理，提出了一種新的復合擺線，能夠比傳統(tǒng)擺線更加方便地控制齒廓形狀。石萬凱等[10]利用幾何形狀可調性強的四階復合擺線作為內齒廓，建立復合擺線齒輪少齒差行星傳動嚙合理論，分析其傳動特性。劉昶等[11]提出了一種基于漸開線插齒刀具運動控制的復合擺線齒輪加工方法，解決了新型復合擺線齒輪的加工問題。黃思雨[12]等提出了一種少齒差金屬橡膠復合擺線齒輪副，減少了振動和沖擊，提高了傳動精度。

與傳統(tǒng)擺線相比，復合擺線齒形的幾何可控性強，具有很大的應用潛力，但是相關文獻[9～12]沒有考慮齒廓參數對復合擺線少齒差行星齒輪副應力影響的問題?；诖?，筆者采用幾何特性可調性強的四階復合擺線作為內齒廓，設計了復合擺線少齒差行星傳動的共軛齒廓，并針對加工制造誤差進行了修形。最后建立實體模型進行有限元分析，分析各齒廓參數以及不同工作條件對復合擺線齒輪副應力的影響規(guī)律，以期降低齒輪副應力并提高齒輪壽命。

1 復合擺線行星傳動共軛齒廓設計

1.1 復合擺線齒廓成型原理

如圖1所示，A0、A1、A2、A3…An表示連桿轉動中心，r0、r1、r2、r3…rn表示連桿的長度。在開始運動時，An-1依次位于An的左端，各連桿運動的方向均為逆時針，轉動角速度分別為ω0、ω1、ω2、ω3…ωn。轉動時間t后，各連桿的轉角分別為ξ0、ξ1、ξ2、ξ3…ξn，把n+1連桿末端W的運動軌跡定義為廣義的n階擺線。

圖1 復合擺線原理Fig. 1 Composite cycloid principle

文獻[9]詳細地討論了各階復合擺線的優(yōu)缺點。復合擺線的階數過高，齒廓曲線的敏感性下降，不能夠保證加工的精度；反之，階數過小，齒廓的可調性差。綜合考慮，四階復合擺線幾何可調性強并且加工的精度較高。所以本研究中選擇四階復合擺線作為齒廓曲線，建立復合擺線內嚙合共軛傳動理論，并對齒輪副的力學性能進行研究。

當n=4，r1=r2=e1，r3=r4=e2，此時擺線的軌跡為四階復合擺線[9]，四階擺線齒廓的軌跡方程]如下所示:

(1)

式中：ξ0為連桿r0轉角，這里為了簡化方程，減少參數，將各連桿的轉角進行統(tǒng)一，都為ξ0;z為擺線齒輪的齒數。

1.2 復合擺線行星傳動共軛理論

圖2 Lewis齒輪嚙合定理Fig. 2 Lewis gear meshing theorem

將四階復合擺線齒廓方程作為內齒輪(齒輪2)齒廓的方程，再根據齒輪嚙合定理求出與其共軛的外齒輪(齒輪1)的齒廓方程。

如圖2所示，根據Lewis定理，共軛齒形在嚙合點M處的公法線與回轉中心線O1O2相交于瞬時回轉中心點N，點N將回轉中心線O1O2分為兩段O1N和O2N，兩線段的關系如下：

(2)

基于Lewis定理的嚙合方程為：

(3)

內嚙合齒輪副同樣符合Lewis定理。如圖3所示：O2為已知齒廓的內齒輪的中心，O1為待求的外齒輪的中心，兩齒輪中心到公共瞬時回轉中心N的差值O1O2為齒輪1與齒輪2之間的偏心距e;xfO1yf為齒輪1的固定坐標系，x1O1y1為其動坐標系；xpO2yp為齒輪2的固定坐標系，x2O2y2為其動坐標系；齒輪1以角速度ω1繞圓心O1旋轉，轉過的角度為α；齒輪2以角速度ω2繞圓心O2旋轉，轉過的角度為β。

圖3 內嚙合齒輪副運動包絡坐標系Fig. 3 Internal enveloping gear pair motion envelope coordinate system

由圖3可知，瞬時回轉中心N在坐標系x2O2y2中的坐標為：

(4)

根據式(3)和(4)可求出ξ0和β之間的關系：

f(ξ0,β)=(XN-x2)Ny2-(YN-y2)Nx2=0。

(5)

根據各坐標系之間的關系將嚙合點在坐標系x2O2y2的坐標(x2,y2)轉換得到在坐標系x1O1y1的坐標(x1,y1)，運動坐標系x2O2y2到x1O1y1的坐標變換矩陣為：

(6)

經過坐標轉換得到共軛齒廓的坐標向量：

(7)

共軛齒廓方程即：

(8)

式中：z1為外齒輪齒數，z2為內齒輪齒數。

2 復合擺線齒廓修形

由于加工裝配誤差以及工作時產生的振動和變形等原因，會使齒輪副嚙合時產生干涉，因此理論齒廓不能直接使用，需要對擺線齒廓進行修形。齒廓修形的目的是改善輪齒嚙合載荷的分布，可以盡可能地使齒輪在受載變形后齒面壓力分布均勻，同時還起到提高傳動精度、增加齒輪強度、減小振動和噪聲的作用。

如圖4所示，擺線齒廓可能產生的干涉主要有兩種：(a)齒頂干涉，若齒輪因加工誤差或運行時產生的振動等原因使齒輪1整體上移，這時在嚙合點處的齒就有可能產生干涉；(b)嚙合齒廓干涉，若齒輪2因加工誤差導致齒厚增加，就會使齒輪副產生齒廓干涉。

圖4 齒輪干涉示意圖Fig. 4 Schematic diagram of gear interference

2.1 修形方法和修形量確定

對復合擺線齒廓的修形可以參考擺線針輪傳動中擺線輪的修形[13]。根據《現代機械設計手冊》中所述，擺線輪合理的修形應當滿足：1)能夠形成合理的嚙合側隙和徑向間隙來補償實際的加工和安裝誤差，并且保證有足夠的齒同時嚙合；2)齒廓的主要嚙合區(qū)域應最大限度逼近共軛齒形，使傳動平穩(wěn)；3)工藝簡單。擺線齒輪的修形主要有移距修形法、等距修形法、轉角修形法?？紤]到上文分析的復合擺線齒廓可能發(fā)生的干涉情況，在這里采用“負移距+轉角”的修形方法，減小齒高和齒厚以增加徑向間隙和側隙，避免干涉產生。選取的復合擺線齒輪副的參數如表1所示。

表1 復合擺線齒輪副的基本參數

擺線輪單個齒距偏差Δfpt是指的兩個輪齒間在接近齒高中部的一個與擺線輪軸線同軸心的圓上，實際弧長尺寸與公稱弧長尺寸的偏差，而徑向跳動Δfrt則指的是擺線輪回轉表面在同一橫剖面內實際表面上各點到基準軸線間距離的最大變動量。根據兩者定義，轉角修形量以單個齒距偏差為參考，而移距修形量則以徑向跳動為參考。根據《JB 10419—2016-T 擺線針輪行星傳動擺線齒輪和針輪精度》[14]提到的不同精度以及不同齒數的相關偏差數值進行選取，取齒數按照5級精度在標準中查到的Δfpt和Δfrt如表2所示。

表2 擺線齒輪偏差數值

2.2 移距及轉角修形

擺線齒廓的具體修形方法如下。首先進行移距修形，在擺線齒輪最后進行精加工時采用砂輪磨削的方法磨削擺線輪齒廓，這時將砂輪向擺線齒輪方向或者向遠離擺線齒輪方向移動特定的距離Δ1。如圖5所示，若將擺線齒輪2作為砂輪，齒輪1作為移距修形的齒輪，對齒輪1進行負移距修形就是把齒輪1和齒輪2的中心距增加Δ1。根據復合擺線齒廓方程，經過移距修形后的坐標轉換矩陣為：

(9)

圖5 磨削加工原理Fig. 5 Schematic diagram of grinding process

齒輪1經過移距修形后的齒廓方程為：

(10)

取移距修形量Δ1=Δfrt=0.016 mm，修形后的齒廓如圖6所示。

圖6 擺線齒廓移距修形Fig. 6 Cycloid tooth profile displacement modification

移距修形可以準確控制齒頂高的修形量，但同時也產生了一定的齒側間隙，在進行轉角修形時要考慮到這一部分的值。轉角修形主要是對砂輪在磨削擺線齒輪時偏轉了的微小角度δ進行修形。復合擺線的修形與針齒擺線的修形區(qū)別較大，通過改變復合擺線的齒形調控參數進行控制，可以達到針齒擺線轉角修形的效果。如圖6所示，單邊側隙量達到了0.008 mm，而標準中查取的單個齒距偏差Δfpt為0.008 mm，轉化為單邊側隙量0.004 mm，因此轉角修形需要將齒厚增大以減小擺線齒輪的側隙。轉角修形的齒廓方程如下：

(11)

(12)

將式(11)中的x2和y2代入式(12)，得到轉角修形后的擺線齒廓。經過多次嘗試，轉角修形齒廓側隙變量和轉角修形量Δ2之間存在2倍關系，當轉角修形量Δ2取0.002 mm時，齒廓側隙變量為0.004 mm。修形后的齒廓曲線如下圖7所示。

圖7 擺線齒廓轉角修形Fig. 7 Cycloid tooth profile corner modification

如圖7所示，通過改變齒形調控參數對擺線齒輪進行轉角修形，擺線齒廓單邊側隙量增加了0.004 mm，實現了精準的擺線齒廓側隙調控。

綜合以上兩種修形方法，得到最終的齒廓方程為:

(13)

(14)

經過“轉角+移距”修形后的齒廓曲線如圖8所示。

圖8 擺線齒廓轉角+移距修形Fig. 8 Modification of rotation angle and displacement of cycloid tooth profile

3 復合擺線行星齒輪副有限元分析

3.1 仿真實體建模

將上文得到的齒廓數據導入到三維建模軟件SolidWorks中進行實體建模，齒寬設置為5 mm，建立的復合擺線齒輪副如圖9所示。

為了減少網格的數量以提高計算效率，需要對實體模型進行簡化。如圖10所示，截取了嚙合處附近的輪齒，將網格劃分為四面體單元，全局網格尺寸為1 mm，齒面網格尺寸為0.1 mm。內齒輪和外齒輪的材料均設置為40CrMo，材料屬性如表3所示。

圖9 復合擺線齒輪副示意圖Fig. 9 Schematic diagram of composite cycloid gear pair

圖10 簡化后的齒輪副有限元模型Fig. 10 Simplified finite element model of gear pair

表3 齒輪材料屬性

圖11 邊界條件的設定Fig. 11 Setting of boundary conditions

3.2 應力分析

圖12為齒輪副的等效應力云圖，可見復合擺線行星齒輪傳動為多齒嚙合傳動，在嚙合接觸位置應力值最大，為399.2 MPa，且在嚙合接觸位置呈現典型的赫茲接觸的應力分布特征，應力分布呈環(huán)形不斷擴散；在齒根處有輕微的應力集中區(qū)域，而齒頂部分應力很小。圖13為齒輪副受拉側的齒根彎曲應力云圖，由于輪齒的疲勞折斷通常發(fā)生在受拉側，所以將受拉側的彎曲應力作為齒輪的齒根彎曲應力。從云圖中可以看出，內、外齒輪的齒根彎曲應力分別為282.1 MPa和 295.6 MPa，內齒輪的齒根彎曲應力比外齒輪的略小。圖14為齒輪副的接觸應力云圖，最大接觸應力為491.8 MPa。

圖12 擺線齒輪副等效應力云圖Fig. 12 Equivalent stress nephogram of cycloid gear pair

圖13 擺線齒輪副齒根彎曲應力云圖Fig. 13 Tooth root bending stress nephogram of cycloidal gear pair

圖14 擺線齒輪副接觸應力云圖Fig. 14 Contact stress nephogram of cycloidal gear pair

4 基于有限元法的復合擺線行星齒輪副應力規(guī)律分析

根據式(1)～(8)可知，影響復合擺線齒輪齒廓的參數有半徑r0、齒數z1和z2、連桿長度e1、e2。為了使參數不失一般性，這里引入模數m，令：

(15)

如圖15(a)所示，f1的取值為0.2，h1的取值分別是0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，隨著h1增大，擺線齒廓逐漸增高，定義h1為擺線齒廓的齒高調節(jié)系數。同時，隨著齒高調控系數增大，分度圓和齒頂圓之間的齒厚增加，而分度圓與齒根圓之間的齒厚減??；如圖15(b)所示，h1的取值為0.30，f1的取值分別是0.10，0.15，0.20，0.25，0.30，隨著f1增加，擺線齒廓的齒形發(fā)生變化，分度圓和齒頂圓之間的齒厚增加，而分度圓與齒根圓之間的齒厚減小，定義f1為齒形調節(jié)系數。

圖15 齒廓參數對復合擺線齒形的影響Fig. 15 Influence of tooth profile parameters on the profile of composite cycloid

由于齒數由減速比決定，所以應選取模數m，齒高調節(jié)系數h1以及齒形調節(jié)系數f1作為變量去優(yōu)化復合擺線齒廓的力學性能。

4.1 模數對齒輪副應力的影響規(guī)律分析

為了研究模數對齒輪副應力的影響，取模數m分別為1.0,1.5,2.0,2.5 mm，齒輪副的其他結構參數和作用載荷見表4。

表4 齒輪參數和作用載荷

經仿真計算，得到不同模數下齒輪副的應力變化曲線如圖16～17所示。

可見，隨著模數增大，兩齒輪齒根彎曲應力以及齒面接觸應力顯著減小，因此，在可能的情況下，可以取較大的模數以提高齒輪副的承載能力；當模數為1.0 mm時，根據表3數據可知，此時齒輪副的接觸應力已經超過許用接觸應力，而齒根彎曲應力只達到許用彎曲應力的一半，所以，齒輪副的承載能力主要受限于齒面接觸疲勞強度。

圖16 不同模數齒輪的齒根彎曲應力Fig. 16 Tooth root bending stress of gears with different modules

圖17 不同模數齒輪副的接觸應力Fig. 17 Contact stress of gear pairs with different modules

4.2 齒高調節(jié)系數對齒輪副應力的影響規(guī)律分析

為了研究齒高調節(jié)系數對齒輪副應力的影響，取齒高調節(jié)系數h1分別為0.20、0.25、0.30、0.35、0.40，齒輪副的其他結構參數和作用載荷見表5。

表5 不同齒高調節(jié)系數的齒輪參數和作用載荷

經仿真計算，得到不同齒高調節(jié)系數下齒輪副的應力變化曲線如圖18、19所示。

圖18 不同齒高調節(jié)系數下齒輪的齒根彎曲應力Fig. 18 Tooth root bending stress of gears with different tooth height adjustment coefficients

圖19 不同齒高調節(jié)系數下齒輪副的接觸應力Fig. 19 Contact stress of gear pairs with different tooth height adjustment coefficients

可見，隨著齒高調節(jié)系數增大，兩齒輪齒根彎曲應力增大，齒面接觸應力減小。對承載能力起決定性作用的是齒面接觸強度，因此在其他條件滿足時，選擇較大的齒高調節(jié)系數可以提高齒輪副的承載能力。

4.3 齒形調節(jié)系數對齒輪副應力的影響規(guī)律分析

為了研究齒形調節(jié)系數對齒輪副應力的影響，取齒形調節(jié)系數f1分別為0.100、0.125、0.150、0.175、0.200，齒輪副的其他結構參數和作用載荷見表6。

表6 不同齒形調節(jié)系數的齒輪參數和作用載荷

經仿真計算，得到不同齒形調節(jié)系數下齒輪副的應力變化曲線如圖20、21所示。

圖20 不同齒形調節(jié)系數下齒輪的齒根彎曲應力Fig. 20 Tooth root bending stress of gears with different tooth profile adjustment coefficients

圖21 不同齒形調節(jié)系數下齒輪副的接觸應力Fig. 21 Contact stress of gear pairs with different tooth profile adjustment coefficients

可見，隨著齒形調節(jié)系數的增大，齒輪齒根彎曲應力和齒面接觸應力都有所增大，不過，這種影響很小，即減小齒形調節(jié)系數對齒輪副承載能力的提高作用有限。

5 結 語

1)復合擺線行星齒輪傳動為多齒嚙合傳動，在嚙合接觸的位置應力最大，且呈現典型的赫茲接觸的應力分布特征，應力分布呈環(huán)形不斷擴散，在齒根有輕微的應力集中區(qū)域，且內齒輪的齒根彎曲應力比外齒輪的略小。

2)移距修形可以準確控制齒頂高的修形量，但同時也產生了一定的齒側間隙，而轉角修形的齒廓側隙的值和轉角修形量Δ2之間存在2倍關系，通過轉角修形可以精確地調整側隙。因此，通過移距修形和轉角的組合修形方法能夠得到期望的頂隙和側隙，且修形后的齒廓主要嚙合區(qū)域比較接近共軛齒形。

3)影響復合擺線齒輪齒廓的參數有模數m、齒數z1和z2、齒高調節(jié)系數h1和齒形調節(jié)系數f1。由于齒數是由傳動比決定的，因此在擺線齒廓設計時，應重點關注模數m、齒高調節(jié)系數h1、齒形調節(jié)系數f1。

4) 擺線齒輪副的承載能力主要受限于齒面接觸疲勞強度，且受模數影響最大，受齒高調節(jié)系數影響次之，而受齒形調節(jié)系數影響最小。在可能的情況下，應選取較大的模數、較大的齒高調節(jié)系數和較小的齒形調節(jié)系數，以提高齒輪副的承載能力。